TẬP HỢP – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
I. Tập hợp
HĐ1. Có hai cách cho một tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử của tập hợp; Chẳng hạn: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Chẳng hạn: A = {x ∈ N |0 ≤ x ≤5}
HĐ2.
a)
A = {a; b; c}.
b) d ∉ A.

HĐ3.
+ C = {x ∈ ℝ | x2 < 0}
Ta có với mọi số thực x thì x2 ≥ 0, suy ra không tồn tại số thực x để x2 < 0.
Vậy tập hợp C không có phần tử nào.
+ D = {a}; Tập hợp D có 1 phần tử, là phần tử a.
+ E = {b; c; d}; Tập hợp E có 3 phần tử.
+ ℕ= {0; 1; 2; …}. Tập hợp ℕ là tập hợp các số tự nhiên. Tập hợp này có vô số phần tử.
Nhận xét:
- Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng (tập rỗng), kí hiệu Ø.
- Một tập hợp có thể không có phân tử nào, cũng có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô
số phần tử.
Chú ý: Khi tập hợp C là tập hợp rỗng, ta viết C= Ø và không được viết là C= { Ø }.

Luyện tập 1:
+ G ={x ∈ Z| x2 +1 = 0}. Tập hợp G không chứa phần tử nào
vì: x2 +1

với mọi x

+ N ¿={1;2;3;..}.Tập hợp N ¿có vô số phần tử.
II. Tập con và tập hợp bằng nhau.
1. Tập con

HĐ4.
a) A = {−2; −1; 0; 1; 2};

B={−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}

b) Mỗi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B.
Kết luận:
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là môt tập hợp con của
B và viết là A ⸦ B. Ta còn đọc A chứa trong B.
Quy ước: Tập hợp Ø được coi là tập hợp con của mọi tập hợp.
Chú ý:
+ A ⊂ B ⇔(∀ x , x ∈ A ⇒ x ∈ B)
+ Khi A ⊂ B , ta cũng có thể viết B ⸧ A
+ Nếu A không phải tập hợp con của B, ta viết A ⊄ B .

Luyện tập 2:Lấy n bất kì thuộc tập hợp B.
Ta có: n chia hết cho 9 ⇒ n đều viết được dưới dạng:
n = 9k (k∈ N )
⇒ n = 3.(3k) ⋮ 3 (k ∈ N ¿⇒ n ∈ A
Như vậy, mọi phần tử của tập hợp B đều là phần tử
của tập hợp A hay B ⸦ A.
2. Tập hợp bằng nhau
HĐ5.

Ta có: B = {0; 6 ; 12 ; 18 }
a) Tất cả các phần tử của tập A đều thuộc tập B nên A ⊂ B là mệnh đề đúng.
b) Tất cả các phần tử của tập B đều thuộc tập A nên B⊂ A là mệnh đề đúng.
Kết luận:
Khi A ⸦ B và B ⸦ A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau, viết là A = B.
Chú ý: A = B ⇔ (Ɐ x, x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Ví dụ 3 (SGK -tr14)
Luyện tập 3.
Ta có: n chia hết cho 3 và 4 khi và chỉ khi n chia hết
cho 12 do (3, 4) =1.
Vậy E = G.

III. Giao của hai tập hợp

HĐ6.

Danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ là: An, Chung.
Kết luận: Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B được gọi là
giao của hai tập hợp A và B. Kí hiệu là A ∩ B.

Lưu ý: x ∈ A ∩ B khi và chỉ khi x ∈ A và x ∈ B.

IV. Hợp của hai tập hợp

HĐ7.

Danh sách những môn thi đấu mà cả hai trường đã đề xuất là: Bóng bàn, Bóng đá, Bóng rổ, Cầu
lông.
Kết luận: Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc
thuộc tập hợp B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B. Kí
hiệu là A ∪ B .
Chú ý: x ∈ A ∪ B . khi và chỉ khi x ∈ A và x ∈ B

Luyện tập 4.

A ∩ B={0 }
A ∪ B=R

V. Phần bù. Hiệu của hai tập hợp.

HĐ8.
Tập hợp những số thực không phải là số vô tỉ chính là tập hợp Q  các số hữu tỉ.
Kết luận:
Cho tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B. Tập hợp
những phân tử thuộc B mà không thuộc A được gọi là phần
bù của A trong B, kí hiệu là CBA.

LT5: A={ x ∈ Z | −2 ≤ x ≤ 3}= {−2; −1; 0; 1; 2; 3}
Và B= { x ∈ R | x 2−x−6=0}= { −2; 3}
Khi đó:
Tập hợp A∖B gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Vậy A∖B={−1; 0; 1; 2}.
Tập hợp B∖A gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Vậy B∖A= ∅

VI. Các tập hợp số
1. Các tập hợp số đã học
Mối quan hệ giữa các tập hợp số: N ⊂ Z ⊂ Q⊂ R.

2. Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực
Cho a và b là hai số thực với a < b.

Các tập con của tập hợp X là:
+) Tập hợp rỗng: ∅
+) Các tập con chỉ chứa 1 phần tử của tập hợp X: {a}, {b}, {c}.
+) Các tập con chứa 2 phần tử của tập hợp X: {a; b}, {b; c}, {c; a}
+) Tập con chứa 3 phần tử của tập hợp X: là tập hợp X = {a; b; c}

( 2;

( 2; 5) ⊂ [ 2; 5) ⊂ [ 2; 5] ⊂ ( 1; 5].

Đặt A=[−3;7] ∩(2;5); Tập hợp A là khoảng (2; 5) và được biểu diễn là:

b) Đặt B=(−∞;0]∪(−1;2)
Tập hợp B là khoảng (−∞;2) và được biểu diễn là:

c) Đặt C = R∖ (−∞;3)

a)

Tập hợp C là nửa khoảng [3;+∞) và được biểu diễn là:

d) Đặt D = (−3;2) ∖ [1;3)
Tập hợp D là khoảng (−3;1) và được biểu diễn là:

Ta có: x 2+ x−2=0 ⇔ x=1 hoặc x=−2 ⇒A={1; −2}
3
3
2
Ta có: 2 x + x−6=0 ⇔ x= 2 hoặc x=−2 ⇒B={ 2 ; -2}

Vậy C = A ∩ B = { −2}.

−3

−3

a) Ta có: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 ⇒ E ={ x ∈ R | x ≥ 2 }
– x +5 ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 ⇒ G= {x ∈ R | x ≤ 5}⇒ D = E ∩ G ={x ∈ R |

Ta có: A là tập nghiệm của đa thức P(x)⇒A={x ∈ R | P(x) = 0}
1

Để biểu thức P (x) xác định thì P(x )≠ 0 ⇔ x ∉ A
1

Gọi B là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức P ( x) xác định.
⇒B={ x ∈ R | P(x )≠ 0 }= R ∖A.

−3
2 ≤ x ≤ 5}