Khảo sát gián tiếp
Việc tìm GTLN, GTNN của hàm số
bằng phơng pháp gián tiếp đợc thực hiện thông qua việc sử dụng đối số mới
để đa hàm số ban đầu về dạng
đơn giản hơn. Với chú ý, ta phải đi tìm tập giá trị của hàm số
, giả sử tập giá trị đó là D. đó tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên miền D.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau


Giải:
Đặt
ta có
và

Do đó

Khi đó, hàm số đợc chuyển về dạng:

Miền xác định D =

Đạo hàm



đạt đợc khi



đạt đợc khi

Chú ý: Đối với bài trên ta có rhể giải cách thông thờng là áp dụng tính chất của tam thức bậc 2.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Giải:
Đặt
, điều kiện

Khi đó
và

Vậy

Xét hàm số
Miền xác định

Đạo hàm


thoả mãn


luôn đồng biến.
Vậy:
- Với
ta có
luôn đồng biến .
- Với
ta có
luôn nghịch biến.
Bảng biến thiên




-2 2




-

+





-2




2


Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có
, đạt đợc khi


Ví dụ 5: Cho
và
. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau:
S =

( HVQHQT - 1999 )
Giải:
Ta có:

Đặt
ta có
và vì :
hay

Xét hàm số
trên

Đạo hàm
Hàm số nghịch biến trên D.
Do đó
đạt đợc khi
.


Chú ý: Đôi khi ta cần phải biến đổi hoặc sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski, ..., đa hàm số cần tìm GTLN, GTNN về một hàm số trung gian khác.
Ví dụ 6: Cho các số thực
thoả mãn điều kiện
.

. Tìm maxP. ( TH & TT)
Giải:
Ta có


( Bất đẳng thức Cauchy)


Do vai trò
bình đẳng, nên không mất tính tổng quát ta giả sử


.
Ta xét hàm số
trên
.
Ta có:

Bảng biến thiên


0 1/3



0 + 0








Nhờ bảng biến thiên trên ta thấy:

với
hay


khi: