Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số
Các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN) của hàm số liên quan chặt chẽ tới các bài toán bất đẳng thức. Tất cả các bài toán bất đẳng thức mà có dấu “=” xảy ra đều có thể thay đổi câu hỏi để đưa về các bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số. Sự phân chia ở đây chỉ mang tính hình thức.
- Chứng minh bất đẳng thức là dạng toán cho trước cận đánh giá. Tức là bài toán bất đẳng thức yêu cầu chứng minh
còn đối với bài toán tìm GTLN, GTNN thì số
được giấu đi.
- Tìm GTLN, GTNN của hàm số là dạng toán giấu cận đánh giá.
Vì vậy các phương pháp để chứng minh bất đẳng thức cũng là phương pháp tìm GTLN, GTNN.
Khảo sát trực tiếp
Ta thực hiện theo các bước:
- Tìm tập xác định;
- Tính đạo hàm
,rồi giải phương trình
;
- Lập bảng biến thiên;
- Kết luận dựa vào bảng biến thiên.
Nếu hàm số
xác định trên
thì ngoài cách trên ta có thể làm theo cách sau:
- Tính đạo hàm
;
- Tìm các điểm tới hạn
của
trên đoạn
;
- Tính

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ví dụ 1: Cho hàm số
với
là số tự nhiên,
và
. Tìm
.
( ĐHBK Hà Nội - 1999 )
Giải:
Ta có :



Khi đó



Ta có bảng biến thiên


0





 - 0 +



1 1



Vậy
đạt được khi
.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

với

Giải:
Xét hàm số trên D =

Đạo hàm:

Khi đó

Ta có

Vậy
đạt được khi


đạt được khi
hoặc