Lớp Toán Thầy Đức
Đc: 149/25 Lê Đình Lý ( Gần ngã ba Lê Đình Lý – Nguyễn Hoàng)

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG
MỤC LỤC
SỐ
THỨ
TỰ

CHỦ ĐỀ

Trang

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12B

Nguyên Hàm Cơ Bản
Nguyên Hàm Bằng Cách Đổi Biến Số
Nguyên Hàm Từng Phần
Tích Phân
Tích Phân Đổi Biến Số
Tích Phân Từng Phần
Tích Phân Hàm Ẩn
Ứng Dụng Diện Tích
Ứng Dụng Thể Tích
Ứng Dụng Diện Tích Có Đồ Thị Đạo Hàm
Bài Toán Thực Tế Diện Tích
Bài Toán Thực Tế Thể Tích
Bài Toán Thực Tế Liên Môn

1

Một số dặn dò: ( Tuỳ từng nhóm, sẽ có dặn dò phù hợp)
1.…..………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
2.………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
3.………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….

20
27
35
49
60
66
75
91
99
109
110
115

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

CHỦ ĐỀ 1. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Dạng 1.1: Sử Dụng Lí Thuyết………………………………………………………………4
Dạng 1.2: Áp Dụng Trực Tiếp Bảng Nguyên Hàm………………………………….…….5
Dạng 1.3: Nguyên Hàm Các Phân Thức Hữu Tỉ…………………………………….…...11
Dạng 1.4: Nguyên Hàm Hàm Số Vô Tỉ……………………………………….…………...13
Dạng 1.5: Nguyên Hàm Hàm Số Lượng Giác ……………………………………………14
Dạng 1.6: Nguyên Hàm Hàm Số Mũ Lôgarit………………………………………..……17

CHỦ ĐỀ 2A. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH
ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 2.1: Hàm Đa Thức, Phân Thức………………………………………………..…….20
Dạng 2.2: Hàm Chứa Căn Thức……………………………………………………..…….22
Dạng 2.3: Hàm Lượng Giác………………………………………………………………..23
Dạng 2.4: Hàm Mũ –Lôgarit…………………………………………………………..…...25

CHỦ ĐỀ 2B. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH
ĐƯA VÀO VI PHÂN (ĐỔI BIẾN TRỰC TIẾP)
27
CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Dạng 3.1: ……………………………………………………………………………………31
Dạng 3.2: ……………………………………………………………………………………32
Dạng 3.3: …………………………………………………………………………………....32
Dạng 3.4: ……………………………………………………………………………………34

CHỦ ĐỀ 4. TÍCH PHÂN
Dạng 4.1: Áp Dụng Định Nghĩa, Tính Chất Và Bảng Nguyên Hàm………………..…...35
Dạng 4.2: Tích Phân Hàm Vô Tỉ…………………………………………………………..41
Dạng 4.3: Tích Phân Hữu Tỉ Thông Thường……………………………………………..42
Dạng 4.4: Tích Phân Hữu Tỉ (Sử Dụng Đồng Nhất Thức) ………………………………44
Dạng 4.5: Tích Phân Hàm Lượng Giác …………………………………………….…….45
Dạng 4.6: Tích Phân Hàm Mũ – Lôgarit………………………………………………….48

CHỦ ĐỀ 5. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 5.1: Phương Pháp Tích Phân (Đổi Biến Số Dạng 1) ………………………………49
Dạng 5.1.1: Hàm Đa Thức Và Hàm Hữu Tỉ…………………………………….....49
Dạng 5.1.2: Hàm Vô Tỉ ………………………………………………………..…....50

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

1

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

Dạng 5.1.3: Hàm Lượng Giác………………………………………………………52
Dạng 5.1.4: Hàm Mũ – Lôgarit………………………………………………….….55
Dạng 5.2: Phương Pháp Tích Phân Hàm Vô Tỷ (Đổi Biến Số Dạng 2) …………….…..58

CHỦ ĐỀ 6. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Dạng 6.1: ……………………………………………………………………………………60
Dạng 6.2: ……………………………………………………………………………………61
Dạng 6.3: ……………………………………………………………………………………62

CHỦ ĐỀ 7. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN HÀM ẨN
Dạng 7.1: Tích Phân Hàm Ẩn Đổi Biến (loại 1) ……………………………………..…...66
Dạng 7.2: Phương Pháp Từng Phần……………………………………………………....70

CHỦ ĐỀ 8. ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ
Dạng 8.1:Tính Diện Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi Đồ Thị Hàm Số y = f ( x) , Trục
Hoành Và Hai Đường Thẳng x = a, x = b ( a < b ) ……………………………..…..…..…….75
Dạng 8.2: Diện Tích Hình Phẳng Liên Quan Đến Điều Kiện Phức Tạp…………..…....78
Dạng 8.3: Diện Tích Hình Phẳng Liên Quan Đến Đồ Thị……………………………..…79
Dạng 8.4: Tính Diện Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi Nhiều Đường Cong (>2 Đường
Cong) ……………………………………………………………………..…..…..…..……..86
Dạng 8.5: Diện Tích S Giới Hạn Bởi Các Đường x = f ( y ) :………………..…..…...……89

CHỦ ĐỀ 9. ỨNG DỤNG THỂ TÍCH
Dạng 9.1: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Sinh Bởi Miền ( D ) Giới Hạn Bởi
y = f ( x ) ; y = 0 Và x = a, x = b Khi Quay Quanh Trục Ox. ……………………………….91

Dạng 9.2: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Khi Cho Hình Phẳng Giới Hạn Bởi:
y = f ( x ) Và y = g ( x ) Quay Quanh Trục Ox. ……………………………..…..…..…..…....92
Dạng 9.3:Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Khi Cho Hình Phẳng Giới Hạn Bởi Nhiều
Hàm Số (3 Hs Trở Lên) ………………………………………………………..…..…..…..94
Dạng 9.4: Thể Tích Tính Theo Mặt Cắt S(x) ………………………………………...…..97

CHỦ ĐỀ 10. ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH CÓ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM

99

CHỦ ĐỀ 11. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH 109
CHỦ ĐỀ 12. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH 110
HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

2

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

CHỦ ĐỀ 13. ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ LIÊN MÔN

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

115

3

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

1. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Dạng 1.1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
Câu 1. [Mức độ 1] Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên ℝ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.   f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .
B.   f ( x ) .g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .
C.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .
D.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k ≠ 0;k ∈ ℝ ) .
Câu 2. [Mức độ 1] Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số xác định và liên tục trên ℝ . Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào sai?

 f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx .
C.   f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

A.

 2 f ( x ) dx = 2  f ( x ) d x .
D.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

B.

Câu 3. [Mức độ 1] Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k ∈ ℝ .
B.

  f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục trên ℝ .

C.

x

D.

(

1 α +1
x với α ≠ −1 .
α +1
'
f ( x ) dx = f ( x ) .

α

dx =

)

Câu 4. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) xác định trên K và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f ' ( x ) = F ( x ) , ∀x ∈ K .

C. F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K .

B. F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K .

D. F ' ( x ) = f ' ( x ) , ∀x ∈ K .

Câu 5. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .

B. Nếu f ( x ) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K .

C. Hàm số F ( x ) được gọi là một nguyên hàm của f ( x ) trên K nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi

x∈K .
D. Nếu hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì hàm số F ( − x ) là một nguyên

hàm của f ( x ) trên K .

Câu 6. [Mức độ 2] Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có đạo hàm trên [ a; b] .
(2): Mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có nguyên hàm trên [ a; b] .

(3): Mọi hàm số đạo hàm trên [ a; b] đều có nguyên hàm trên [ a; b ] .

(4): Mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ a; b] .

A. 2 .

B. 3 .

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

C. 1 .

D. 4 .

4

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

Dạng 1.2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.
1
, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
x+2
A. Trên ( −2; +∞ ) , nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x ) = ln ( x + 2 ) + C1 ; trên khoảng ( −∞; −2 )

Câu 7. [Mức độ 2] Cho f ( x ) =

, nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x ) = ln ( − x − 2 ) + C2 ( C1 , C2 là các hằng số).

B. Trên khoảng ( −∞; −2 ) , một nguyên hàm của hàm số f ( x ) là G ( x ) = ln ( − x − 2 ) − 3 .
C. Trên ( −2; +∞ ) , một nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x ) = ln ( x + 2 ) .

D. Nếu F ( x ) và G ( x ) là hai nguyên hàm của của f ( x ) thì chúng sai khác nhau một hằng số.
Câu 8. [Mức độ 1] Khẳng định nào đây sai?

1

 x dx = ln x + C .
D.  e dx = e + C .

A.  cos x dx = − sin x + C .

B.

C.  2 x dx = x 2 + C .

x

x

Câu 9. [Mức độ 1] Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

x4 + C
.
4
C.  sin xdx = C − cos x .
A.

3
 x dx =

1

 x dx = ln x + C .
D.  2e dx = 2 ( e + C ) .
B.

x

x

Câu 10. [Mức độ 1] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

x n+1
+ C ( C là hằng số; n ∈ℤ ).
n +1
D.  e x dx = e x − C ( C là hằng số).

A.  dx = x + 2C ( C là hằng số).

B.

C.  0dx = C ( C là hằng số).

n
 x dx =

Câu 11. [Mức độ 1] Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5 x 4 − 6 x 2 + 1 là
A. 20 x 3 − 12 x + C .

B. x 5 − 2 x 3 + x + C .
x4
+ 2 x2 − 2 x + C .
D.
4

C. 20 x 5 − 12 x 3 + x + C .
Câu 12. [Mức độ 1] Khẳng định nào sau đây sai?
A.  0 dx = C .

B.

4
 x dx =

x5
+C .
5

C.

Câu 13. [Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số y = x 2 − 3x +

x3 3 x 2
−
− ln x + C .
A.
3
2
x3 3 x 2
−
+ ln x + C .
C.
3
2

1

 x dx = ln x + C .

D.  e x dx = e x + C .

1
là
x

x3 3 x 2 1
−
+ +C .
B.
3
2 x2
x 3 3x 2
−
+ ln x + C .
D.
3
2

Câu 14. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) =

a b
+ + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
x2 x

1

 f ( x ) dx = 2 − 3ln 2 . Tính T = a + b .
1
2

A. T = − 1 .

B. T = 2 .

C. T = − 2 .

D. T = 0 .

Câu 15. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 5 là

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

5

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

A. F ( x ) = x3 + x 2 + 5 .

B. F ( x ) = x3 + x + C .

C. F ( x ) = x 3 + x 2 + 5 x + C .

D. F ( x ) = x3 + x 2 + C .

Câu 16. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

− x4 + x2 + 3
+C .
3x

B.

−2
− 2x + C .
x2

1
1
− x 2 − là
2
x
3
C. −

x4 + x2 + 3
+C .
3x

D.

− x3 1 x
− − +C .
3
x 3

1 1
+ − 2 là
x x2
1
B. x 7 + ln x + − 2 x + C .
x
1
D. x 7 + ln x − − 2 x + C .
x

Câu 17. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 7 x 6 +

1
A. x7 + ln x − − 2 x .
x
1
C. x7 + ln x + − 2 x + C .
x

Câu 18. [Mức độ 1] Nguyên hàm của f ( x ) = x 3 − x 2 + 2 x là:

1 4 3 4 3
x −x +
x +C .
4
3
1
2 3
x +C .
C. x 4 − x3 +
4
3

1 4 1 3 4 3
x − x +
x +C.
4
3
3
1
1
2 3
x +C.
D. x 4 − x3 +
4
3
3

A.

B.

Câu 19. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. 4 x + 3 ln x + C .

(

C. 4 x

)

−1

2 3
+ là :
x x
B. 2 x + 3 ln x + C .

+ 3ln x + C .

D. 16 x − 3 ln x + C .

4
Câu 20. [Mức độ 1] Tính  ( 3 x 2 + ) dx
x
3
A. − 3 x5 + 4ln x + C .
5
5
C. 3 x5 + 4 ln x + C .
3

33 5
x − 4 ln x + C .
5
3
D. 3 x5 + 4ln x + C .
5

B.

Câu 21. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x + x 2018 là

x 2019
+C.
673
1 x2019
+
+C.
C.
x 673
A.

x+

B. 2 x3 +
D.

1
2 x

x 2019
+C .
2019

+ 6054 x 2017 + C .

 1 3 1+ 3 5 
a 4 b 6
x  dx có dạng
x + x + C , trong đó a , b là hai số hữu tỉ. Giá trị
Câu 22. [Mức độ 1]   x +
5
12
6
3

a bằng:
36
1+ 3 .
A. 1 .
B. 12 .
C.
D. Không tồn tại.
5

(

Câu 23. [Mức độ 1]
A. 2 .

(x

2

+ 2 x 3 ) dx có dạng
B. 1 .

)

a 3 b 4
x + x + C , trong đó a , b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:
3
4
C. 9 .
D. 32 .

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

6

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

Câu 24. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số y = (2 x + 1)5 là:

1
(2 x + 1)6 + C .
12
1
C. (2 x + 1)6 + C .
2

A.

B.

1
(2 x + 1)6 + C .
6

D. 10(2x + 1)4 + C .

Câu 25. [Mức độ 1] Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( 3 x + 1) ?
5

A. F ( x )

( 3x + 1)
=

C. F ( x )

( 3x + 1)
=

6

+8.

18

6

18

.

B. F ( x )

( 3x + 1)
=

D. F ( x )

( 3x + 1)
=

6

−2.

18

6

6

.

Câu 26. [Mức độ 1] Hàm số F ( x) = e x + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào

1
sin 2 x

e− x 
C. f ( x ) = e x  1 +

2
 cos x 

1
sin 2 x
1
D. f ( x ) = e x +
cos 2 x

A. f ( x) = e x −

B. f ( x) = e x +

Câu 27. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm F ( x ) =  π 2 dx .
A. F ( x ) = π 2 x + C .
C. F ( x ) =

π3
3

B. F ( x ) = 2π x + C .
D. F ( x ) =

+C .

π 2 x2
2

+C .

Câu 28. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + cos x + 2018 là
A. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x + C .

B. F ( x ) = e x − sin x + 2018 x + C .

C. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x .

D. F ( x ) = e x + sin x + 2018 + C .

Câu 29. [Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x3 − 9 là:
A.

1 4
x − 9x + C .
2

B. 4 x 4 − 9 x + C .

C.

1 4
x +C .
4

D. 4 x 3 − 9 x + C .

Câu 30. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e.x e + 4 là
B. e 2 .x e −1 + C .

A. 101376 .
Câu 31. [Mức độ 1] Nếu
A. f ( x ) = −
C. f ( x ) =

1

 f ( x ) dx = x + ln 2 x + C

C.

xe+1
+ 4x + C .
e +1

D.

e.xe+1
+ 4x + C .
e +1

với x ∈ ( 0; +∞ ) thì hàm số f ( x ) là

1 1
+ .
x2 x

1
+ ln ( 2 x ) .
x2

1
.
2x
1
1
D. f ( x ) = − 2 + .
x 2x

B. f ( x ) = x +

1
là
sin 2 x
B. F ( x ) = 3 x + tan x + C .

Câu 32. [Mức độ 1] Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 3 −
A. F ( x ) = 3 x − tan x + C .

C. F ( x ) = 3 x + cot x + C .

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

D. F ( x ) = 3 x − cot x + C .

7

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55
1
trên ( 0; + ∞ ) .
x2
1
C. 3cos x + + C .
D. 3cos x + ln x + C .
x

Câu 33. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3cos x +
A. −3sin x +

1
+C.
x

B. 3sin x −

1
+C .
x

Câu 34. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 + sin x là
A. x 3 + cos x + C .

B. x 3 + sin x + C .

C. x 3 − cos x + C .

D. 3 x 3 − sin x + C .

Câu 35. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x 2 + 8sin x .

 f ( x ) dx = 6 x − 8cos x + C .
C.  f ( x ) dx = x − 8cos x + C .
A.

3

 f ( x ) dx = 6 x + 8cos x + C .
D.  f ( x ) dx = x + 8cos x + C .
B.

3

Câu 36. [Mức độ 1] Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + cos x .
A.
C.

x2
+ sin x + C .
2



f ( x ) dx =



f ( x ) dx = x sin x + cos x + C .

B.
D.

 f ( x ) dx = 1 − sin x + C .



f ( x ) dx =

x2
− sin x + C .
2

 x
Câu 37. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2  
2
A.

 f ( x ) dx = x + sinx + C .

C.

 f ( x ) dx = 2 + 2 sinx + C .

x

1

B.

 f ( x ) dx = x − sinx + C .

D.

 f ( x ) dx = 2 − 2 sinx + C .

x

1

π 
Câu 38. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện: f ( x ) = 2 x − 3cos x, F   = 3
2
A. F ( x) = x 2 − 3sin x + 6 +
C. F ( x) = x 2 − 3sin x +

π

π2
4

2

4

B. F ( x) = x 2 − 3sin x −

π2
16

C. F( x) = −cotx + x2

x2 1 1
− +
2 x 2
x2 1 1
C. F ( x) = − −
2 x 2

π2
4

1
π
thỏa mãn F( ) = −1 là:
2
sin x
4

B. F( x) = cotx − x 2 +

π2
16

D. F( x) = −cotx + x 2 −

Câu 40. [Mức độ 1] Tìm một nguyên hàm F(x) của f ( x) =
A. F ( x) =

4

D. F ( x) = x 2 − 3sin x + 6 −

Câu 39. [Mức độ 1] Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) = 2 x +
A. F( x) = −cotx + x 2 −

π2

π2
16

x3 − 1
biết F(1) = 0
x2

x2 1 3
+ +
2 x 2
x2 1 3
D. F (x) = + −
2 x 2
B. F ( x) =

Câu 41. [Mức độ 1] Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) = 4 x3 − 3x2 + 2x − 2 thỏa mãn F(1) = 9 là:
A. F( x) = x 4 − x3 + x2 − 2 .

B. F( x) = x4 − x3 + x2 + 10 .

C. F( x) = x4 − x3 + x2 − 2 x .

D. F( x) = x4 − x3 + x 2 − 2 x + 10 .

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

8

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

Câu 42. [Mức độ 1] Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x 2 + x 3 − 4 thỏa mãn điều kiện F ( 0 ) = 0 là
A. 2 x 3 − 4 x 4 .

B.

Câu 43. [Mức độ 1] Cho hàm số
f ( x)
Tìm
.

2 3 x4
x + − 4x .
3
4

f ( x)

C. x 3 − x 4 + 2 x .

thỏa mãn đồng thời các điều kiện

x2
− cos x + 2 .
2
x2
C. f ( x ) = + cos x .
2

D. Đáp án khác.

f ' ( x ) = x + sin x

và

f (0) = 1

.

x2
− cos x − 2 .
2
x2
1
+ cos x + .
D. f ( x ) =
2
2

A. f ( x ) =

B. f ( x ) =

Câu 44. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) = 3 − 5cos x và f ( 0 ) = 5 . Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. f ( x ) = 3 x + 5sin x + 2 .

B. f ( x ) = 3 x − 5sin x − 5 .

C. f ( x ) = 3 x − 5sin x + 5 .

D. f ( x ) = 3 x + 5sin x + 5 .

Câu 45. [Mức độ 2] Biết F ( x ) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x ) = sin x và đồ thị hàm số

π 
y = F ( x ) đi qua điểm M ( 0;1) . Tính F   .
2
π 
A. F   = 2 .
2

π 
B. F   = −1 .
2

π 
C. F   = 0 .
2

π 
D. F   = 1 .
2

Câu 46. [Mức độ 2] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , giá
trị của F (1) bằng

A. 4 .

B.

13
.
3

C. 2 .

Câu 47. [Mức độ 2] Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ax +

F (1) = 4 ,

f (1) = 0

D.

11
.
3

b
( x ≠ 0 ) , biết rằng F ( −1) = 1 ,
x2

.

3x 2 3 7
+ + .
4 2x 4
3x 2 3 7
+ − .
C. F ( x ) =
2 4x 4

A. F ( x ) =

3x 2 3 7
− − .
4 2x 4
3x 2 3 1
− − .
D. F ( x ) =
2 2x 2
B. F ( x ) =

Câu 48. [Mức độ 2] Biết hàm số y = f ( x ) có f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 x − m + 1 , f ( 2 ) = 1 và đồ thị của hàm số

y = f ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −5 . Hàm số f ( x ) là
A. x 3 + x 2 − 3 x − 5 .

B. x 3 + 2 x 2 − 5 x − 5 .

C. 2 x 3 + x 2 − 7 x − 5 .

D. x 3 + x 2 + 4 x − 5 .

1
2
Câu 49. [Mức độ 2] Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x − 3) thỏa mãn F ( 0 ) = . Giá trị
3
của biểu thức log 2 3F (1) − 2 F ( 2 )  bằng
A. 10 .
B. −4 .

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

C. 4 .

D. 2 .

9

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

Câu 50. [Mức độ 2] Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x 3 + 2 ( m − 1) x + m + 5 , với m là tham
số thực. Một nguyên hàm của f ( x ) biết rằng F (1) = 8 và F ( 0 ) = 1 là:

A. F ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 6 x + 1
C. F ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 1 .

B. F ( x ) = x 4 + 6 x + 1 .
D. Đáp án A và B

f x
f ' x = x −1
Câu 51. [Mức độ 2] Hàm số ( ) xác định, liên tục trên ℝ và có đạo hàm là ( )
. Biết rằng
f (0) = 3
f ( 2) + f ( 4)
. Tính
?
B. 12 .
C. 4 .
D. 11.
A. 10 .

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

10

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

Dạng 1.3: Nguyên Hàm Các Phân Thức Hữu Tỉ
Câu 1. [Mức độ 1] Cho hàm số f (x) =

5 + 2x4
. Khi đó:
x2

2x3 5
− +C
3 x
2x3 5
f
(
x
)
dx
=
+ +C
C. 
3 x

A.

 f (x)dx =

D.  f (x)dx =

Câu 2. [Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số y =

2x3 3
− +C .
A.
3 x

−1
2 ( 3 + 2x )

B.

1
4 (3 − 2x )

−

5
+C
x

2x3
+ 5lnx2 + C
3

2x3 3
+ +C .
C.
3 x

3
B. − 3x − + C .
x
3

+C .

2

3

2 x4 + 3
là:
x2

Câu 3. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A.

 f ( x ) dx = 2 x

B.

x3 3
− +C .
D.
3 x

2
là :
(3 − 2x)3

+C.

C.

2

(3 − 2x)

2

+C .

D.

1
2 (3 − 2x)

2

+C .

 1 
 dx
 2x + 3 

Câu 4. [Mức độ 1] Tính nguyên hàm  
A.

1
ln 2 x + 3 + C .
2

B.

1
ln ( 2 x + 3 ) + C .
2

Câu 5. [Mức độ 1] Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) = 2 ln 2 x + 1 −
C. F ( x ) =

1
.
2

1
ln 2 x + 1 + 1 .
2

C. 2ln 2x + 3 + C .

 e −1  3
1
, biết F 
 = là:
2x +1
 2  2
B. F ( x ) = 2ln 2 x + 1 + 1.
D. F ( x ) = ln 2 x + 1 +

1
Câu 6. [Mức độ 1] Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x ) =

B. 2 + ln 2 .

A. ln 2 .

x +1

b
ln 3 trong đó a, b,
c

D. 4.

C. 3.

a + b + c bằng.
A. 4.

c là các số nguyên dương và
B. 9.

1
.
2

và F ( 0 ) = 2 thì F (1) bằng.

Câu 7. [Mức độ 2] F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 +
F (1) = a +

D. ln 2x + 3 + C .

1
. Biết F ( 0 ) = 0 ,
2x +1

b
là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức
c

D. 12 .

C. 3.

Câu 8. [Mức độ 1] Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) =

x2 − x −1
A.
.
x +1

x2 + x −1
B.
.
x +1

x2 + x + 1
C.
.
x +1

x(2 + x)
( x + 1)2

x2
D.
.
x +1

2

 x2 + 1 
Câu 9. [Mức độ 1] Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x) = 
 là hàm số nào trong các hàm số sau?
 x 

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

11

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức
A. F ( x) =

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

x3 1
− + 2x + C .
3 x

B. F ( x) =

x3
+x
3
+C .
C. F ( x) =
x2
2

x3 1
+ + 2x + C .
3 x
3

 x3

+x

D. F ( x ) =  3 2  + C .
 x



 2 

2x +1
Câu 10. [Mức độ 1] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
thỏa mãn F (2) = 3 . Tìm
2x − 3

F ( x) :
A. F ( x) = x + 4ln 2 x − 3 + 1 .

B. F ( x ) = x + 2 ln(2 x − 3) + 1 .

C. F ( x) = x + 2ln 2x − 3 + 1.

D. F ( x ) = x + 2 ln | 2 x − 3 | − 1 .

Câu 11. [Mức độ 1] Tính 
A.

1
dx .
x( x − 3)

1
x
ln
+C .
3 x−3

Câu 12. [Mức độ 2] Cho biết

A.

1
x
ln
+C.
3 x+3

D.

2

C. 2a − b = 8 .

D. a − b = 8 .

1
dx , kết quả là:
− 4x + 3

1 x −1
+C .
ln
2 x −3

Câu 14. [Mức độ 1] Nguyên hàm

1 x −3
+C .
ln
2 x −1

B.

x

2

C. ln x 2 − 4 x + 3 + C . D. ln

1
dx là:
− 7x + 6

A.

1 x −1
ln
+C .
5 x−6

B.

C.

1
ln x 2 − 7 x + 6 + C .
5

D. − ln x 2 − 7 x + 6 + C .

1
2
1
C. I = ln
4

1
d x.
4 − x2

x+2
+ C.
x−2
x−2
+ C.
x+2

Câu 16. [Mức độ 2] Tìm nguyên hàm

1 x−6
ln
+C .
5 x −1
1
5

Câu 15. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm I = 
A. I = ln

1
2
1
D. I = ln
4
B. I = ln

x

2

x−2
+ C.
x+2
x+2
+ C.
x−2

x+3
dx .
+ 3x + 2

x+3
d x = 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C .
+ 3x + 2
x+3
B.  2
d x = 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C .
x + 3x + 2
x+3
C.  2
d x = 2 ln x + 1 + ln x + 2 + C .
x + 3x + 2

A.

x

1 x−3
ln
+C .
3
x

2x −13

B. a + b = 8 .

x

C.

 (x +1)(x − 2) dx = a ln x +1 + b ln x − 2 + C . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a + 2b = 8 .
Câu 13. [Mức độ 1] Tính

1 x+3
ln
+C.
3
x

B.

2

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

12

x−3
+C .
x −1

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức
D.

x

2

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

x+3
d x = ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C .
+ 3x + 2

Câu 17. [Mức độ 2] Nguyên hàm

3x + 3
dx là:
2
−x+2

 −x

A. 2ln x −1 − ln x + 2 + C .

B. −2ln x −1 + ln x + 2 + C .

C. 2ln x −1 + ln x + 2 + C .

D. −2ln x −1 − ln x + 2 + C .

2x3 − 6x2 + 4x +1
dx là:
Câu 18. [Mức độ 2] Nguyên hàm 
x2 − 3x + 2
x −1
1 2
x−2
2
+C .
+C .
A. x + ln
B. x + ln
x−2
2
x −1
1 2
x −1
x−2
2
+C .
+C.
C. x + ln
D. x + ln
2
x−2
x −1
Câu 19. [Mức độ 2] Nguyên hàm của hàm số f ( x) =

x2
2 13
+ x+
− .
2
x +1 6
x2
2
.
C. F ( x ) = + x +
2
x +1

A. F ( x) =

x3 + 3x2 + 3x −1
1
khi biết F (1) = là
2
x + 2x + 1
3
2
x
2 13
+ .
B. F ( x ) = + x +
2
x +1 6
x2
2
+ C.
D. F ( x ) = + x +
2
x +1

Dạng 1.4: Nguyên Hàm Hàm Số Vô Tỉ
Câu 20. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x + 3x 3 x2 là :

2 x 3 x 9 x x2
+
+C .
A.
4
8
2x x 9x2 3 x
−
+C.
C.
3
5

5x x 27 x2 3 x2
+
+C .
B.
3
8
D.

Câu 21. [Mức độ 1] Nguyên hàm của f ( x) =

2 x x 9 x2 3 x2
+
+C .
3
8

1
2
+ 3 + 3 là:
x
x

3 2
4
A. 2 x + 3 x + 3x + C . B. 2 x + 3 x 2 + 3 x + C .

3

1
C.
2

x + 3 x + 3x + C .
3

2

Câu 22. [Mức độ 1] Tính
A.



D.

1
2

x+

4
3

3

x 2 + 3x + C .

dx
thu được kết quả là:
1− x

C
1− x

B.

−2 1− x +C

C.

2
+C
1− x

D.

1− x +C

1
Câu 23. [Mức độ 1] Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + 1 − 2 . Nguyên hàm của f ( x ) biết
x

F ( 3) = 6 là:
2
3
2
C. F ( x ) =
3

A. F ( x ) =

( x + 1)

3

( x + 1)

3

1 1
+ .
x 3
1 1
− − .
x 3
−

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

2
3
2
D. F ( x ) =
3

B. F ( x ) =

( x + 1)

3

( x + 1)

3

1 1
+ .
x 3
1 1
+ − .
x 3

+

13

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức
Câu 24. [Mức độ 2] Cho
A.



Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

dx
= a(x+ 2) x + 2 + b(x+1) x +1 + C . Khi đó 3a + b bằng:
x + 2 + x +1

−2
.
3

B.

1
.
3

C.

4
.
3

Câu 25. [Mức độ 1] Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

F ( 3) = 7 . Khi đó, giá trị của tham số
A. −2.

D.

2
.
3

1
+ m −1 thỏa mãn F ( 0 ) = 0 và
2 x +1

m bằng
C. −3 .

B. 3.

D. 2.

Câu 26. [Mức độ 2] Hàm số F ( x ) = ( ax + b ) 4 x + 1 ( a , b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của

12x
. Tính a + b .
4x + 1

f ( x) =

B. 1 .

A. 0.

C. 2.

D. 3.

Câu 27. [Mức độ 2] Biết F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 ( a, b, c∈ℤ) là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

20 x2 − 30 x + 11
3

trên khoảng  ; +∞  . Tính T = a + b + c .
2x − 3
2

B. T = 5 .
C. T = 6 .
A. T = 8 .

D. T = 7 .

Dạng 1.5: Nguyên Hàm Hàm Số Lượng Giác
Câu 28. [Mức độ 1] Cho F ( x ) = cos 2x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Tính f ( π ) .
A. f ( π ) = −3 .

B. f ( π) = 1.

C. f ( π) = −1.

D. f ( π ) = 0 .

Câu 29. [Mức độ 1] Hàm số F ( x ) = ln sin x − 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số
sau đây?
sin x − 3 cos x
.
cos x + 3 sin x
cos x + 3 sin x
.
C. f ( x ) =
sin x − 3 cos x

A. f ( x ) =

B. f ( x ) =

− cos x − 3 sin x
.
sin x − 3 cos x

D. f ( x ) = cos x + 3sin x .

Câu 30. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2cos 2 x là
A. −2sin 2x + C .

B. sin 2x + C .

C. 2sin 2x + C .

D. sin 2x + C .

Câu 31. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 5x + 2 là
1
5

A. 5cos5x + C .

B. − cos 5 x + 2 x + C . C.

Câu 32. [Mức độ 1] Nguyên hàm

 ( sin 2 x + cos x ) dx

1
cos 5 x + 2 x + C . D. cos5x + 2 x + C .
5

là:

1
cos 2 x + sin x + C . B. − cos 2 x + sin x + C .
2
1
C. − cos 2 x + sin x + C . D. − cos 2 x − sin x + C .
2

A.




Câu 33. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos  3x +
A.



π

 f ( x) dx = 3sin  3x + 6  + C .
HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

B.

π

.
6
1



π

 f ( x ) dx = − 3 sin  3x + 6  + C .
14

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức
C.



π

 f ( x) dx = 6sin  3x + 6  + C .

D.

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55
1 
π
f ( x ) dx = sin  3x +  + C .
3 
6



Câu 34. [Mức độ 1] Nguyên hàm  sin ( 2 x + 3) + cos ( 3 − 2 x )  dx là:
A. −2cos ( 2x + 3) − 2sin ( 3 − 2x ) + C .

B. −2cos ( 2x + 3) + 2sin ( 3 − 2x ) + C .

C. 2cos ( 2 x + 3) − 2sin ( 3 − 2x ) + C .

D. 2cos ( 2x + 3) + 2sin ( 3 − 2 x ) + C .

x
Câu 35. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = −3sin 2x + 2cos x − e là

A. − 6 cos 2 x + 2 sin x − e x + C .
C.

B. 6 cos 2 x − 2 sin x − e x + C .

3
cos 2 x − 2 sin x − e x + C .
2

Câu 36. [Mức độ 2] Tính: 
A. 2 tan

D.

3
cos 2 x + 2 sin x − e x + C .
2

C.

1
x
tan + C .
2
2

dx
1 + cos x

x
+C.
2

B. tan

x
+C .
2

Câu 37. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số
A. cot x − x + C .

D.

1
x
tan + C .
4
2

f (x) = tan2 x là:

B. tan x − x + C .

C. − cot x − x + C .

D. − tan x − x + C .

2
Câu 38. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = cot x là:

A. cot x − x + C

B. − cot x − x + C

C. cot x + x + C

Câu 39. [Mức độ 1] Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 2 2 x +



1
2
1
 2
C.   tan 2x +  dx = tan 2x − x + C .
2


A.

1 cos 4 x
+
+C .
2
8

B.

1
.
2



1
x
2
2
1
tan 2x x
 2
− +C .
D.   tan 2x +  dx =
2
2
2






2
A.  tan 2x +  dx = 2 tan 2x − 2x + C .

Câu 40. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số

D. tan x + x + C

2
B.  tan 2x +  dx = tan 2x − + C .

f (x) = cos2 2x là:

x cos 4 x
−
+C.
2
2

C.

1 cos 4 x
−
+C .
2
2

D.

x cos 4 x
+
+C.
2
8

Câu 41. [Mức độ 1] Nguyên hàm  sin 2 ( 3 x + 1) + cos x dx là:
B. x − 3sin ( 6x + 2) + sin x + C .

1
x − 3 sin ( 6 x + 2 ) + sin x + C .
2
1
C. x − 3sin ( 3 x + 1) + sin x + C .
2

A.

Câu 42. [Mức độ 2] Biết

 ( sin 2 x − cos 2 x )

D.
2

dx = x +

1
x − 3 sin ( 6 x + 2 ) − sin x + C .
2

a
a
là
cos 4 x + C , với a, b là các số nguyên dương,
b
b

phân số tối giản và C ∈ ℝ . Giá trị của a + b bằng
A. 5.
B. 4.

C. 2.

D. 3.

4
Câu 43. [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) = sin 2x . Khi đó:

1

1



1

1



A.

 f ( x ) dx = 8  3x + sin 4x + 8 sin8x  + C .

B.

 f ( x) dx = 8  3x − cos 4x + 8 sin8x  + C .
HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

15

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

1

1



1

1



C.

 f ( x) dx = 8  3x + cos 4x + 8 sin8x  + C .

D.

 f ( x ) dx = 8  3x − sin 4x + 8 sin8x  + C .

Câu 44. [Mức độ 2] Tính I =  8sin 3 x cos xdx = a cos 4 x + b cos 2 x + C . Khi đó, a − b bằng
B. −1.

A. 3.

C. 1.

D. 2.

Câu 45. [Mức độ 2] F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2 sin x cos 3 x và F ( 0 ) = 0 , khi đó
A. F ( x ) = cos 4 x − cos 2 x .
C. F ( x ) =

cos 2 x cos 4 x 1
−
− .
4
8
8
cos 4 x cos 2 x 1
D. F ( x ) =
−
+ .
4
2
4

B. F ( x ) =

cos 2 x cos 4 x 1
−
− .
2
4
4

Câu 46. [Mức độ 1] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = −

F ( x) là:
A. − tan x .

B. − tan x + 1 .

1
và F ( 0) = 1. Khi đó, ta có
cos 2 x

C. tan x + 1 .

D. tan x − 1 .

Câu 47. [Mức độ 1] Biết rằng F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin (1 − 2x ) và thỏa mãn

1
F   = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 2
A. F ( x ) = − cos (1 − 2 x ) + .

B. F ( x ) = cos (1 − 2 x ) .

C. F ( x ) = cos (1 − 2 x ) + 1.

D. F ( x ) =

1
2

3
2

1
1
cos (1 − 2 x ) + .
2
2

π 
4

2
Câu 48. [Mức độ 1] Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan x và F   = 1. Tính

 π
F −  .
 4
 π π
−1 .
 4 4

A. F  −  =

 π π
−1 .
 4 2

B. F  −  =

 π
 4

 π π
+1 .
 4 2

C. F  −  = −1.

D. F  −  =

 π  3π
=
2 4

Câu 49. [Mức độ 1] Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = (1 + sin x ) biết F 
2

3
x + 2 cos x −
2
3
C. F ( x ) = x − 2 cos x +
2

A. F ( x ) =

1
sin 2 x.
4
1
sin 2 x.
4

3
1
x − 2 cos x − sin 2 x.
2
4
3
1
D. F ( x ) = x + 2 cos x + sin 2 x.
2
4

B. F ( x ) =

π 
2

Câu 50. [Mức độ 3] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;π ] \   thỏa mãn f ' ( x) = tan x ,

 π 5π  π 
 2π 
π 
∀x ∈  − ;  \   , f ( 0) = 0 , f (π ) = 1. Tỉ số giữa f 
 và f   bằng:
 4 4  2
 3 
4
A. 2 ( log 2 e + 1) .

B. 2.

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

C.

1(1+ ln2)
.
2 + ln2

D. 2 (1 − log 2 e ) .

16

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55

Dạng 1.6: Nguyên Hàm Hàm Số Mũ Lôgarit
2x
Câu 51. [Mức độ 1] Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5 .

A.  5 dx = 2.
2x

52x
+C .
ln5

25x
+C .
2ln5
25x+1
+C .
D.  52 x dx =
x +1
B.  5 dx =
2x

C.  52 x dx = 2.5 2 x ln 5 + C .
Câu 52. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 32x − 2−3x là :

32 x
2−3x
+
+C.
A.
2.ln 3 3.ln 2
3−2 x
23 x
+
+C .
C.
2.ln 3 3.ln 2

32 x
2−3x
−
+C .
B.
2.ln 3 3.ln 2
3−2 x
23x
−
+C .
D.
2.ln 3 3.ln 2

Câu 53. [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = e2x − e−3x là :

e3 x e−2 x
+
+C .
A.
3
2
e3 x e−3 x
+
+C .
C.
2
2

e2 x e−3 x
+
+C .
B.
2
3
e−2 x e3 x
+
+C .
D.
3
2

Câu 54. [Mức độ 1] Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1

A.
C.

 f ( x ) d x = 2018 .e

 f ( x ) dx = 2018e

2018 x

2018 x

+C

+C

.

.

f ( x) = e2018x .

 f ( x ) dx = e
f ( x ) dx = e
D. 

2018 x

B.

2018 x

+C

.
ln 2018 + C

.

Câu 55. [Mức độ 1] Tính  (2 + e3 x ) 2 dx
4
1
3
6
4 3x 1 6 x
C. 4 x + e − e + C
3
6

4
5
3
6
4 3x 1 6x
D. 4 x + e + e + C
3
6

A. 3 x + e 3 x + e 6 x + C

Câu 56. [Mức độ 1] Nguyên hàm

B. 4 x + e 3 x + e 6 x + C

e2 x+1 − 2
 3 ex dx là:

5 53 x+1 2 − 3x
A. e − e + C .
3
3
5
5 x+1 2 x
C. e 3 − e 3 + C .
3
3

5 53 x+1 2 3x
+ e +C .
B. e
3
3
5
5 x+1 2 − x
D. e3 + e 3 + C .
3
3


2x
x
Câu 57. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2  3 −



12x 2x x
−
+C .
ln12
3
22 x  3x x x 
−
C. F ( x ) =

.
ln 2  ln 3 4x 

A. F ( x ) =

HỌC PHẢI HIỆU QUẢ

x
.
4x 

B. F ( x ) = 12x + x x + C .

22 x  3x x x ln 4 
−
D. F ( x ) =

.
ln 2  ln3
4x 

17

Lớp Toán Dễ Thương Thầy Đức

Đc: 149/25 Lê Đình Lý - Đà Nẵng
Sđt:0899 86 86 55


2018e − x 
Câu 58. [Mức độ 1] Tính nguyên hàm của hàm số f ( ...