Dạng 7.2: Phương Pháp Từng Phần
Câu 1. [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x) liên tục trên [ 0;2] và f ( 2) = 3 ,
2

2

 f ( x ) dx = 3 . Tính  x. f ' ( x ) dx .
0

0

A. −3 .

B. 3.

C. 0.

D. 6.

Câu 2. [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f '( x) liên tục trên đoạn [0; 1] và f (1) = 2 . Biết
1



1

f ( x ) dx = 1 , tính tích phân I =  x. f ' ( x ) dx .

0

0

A. I =1.

B. I = −1 .

Câu 3. [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x) thỏa mãn

C. I = 3 .

D. I = −3 .

1

 ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 và 2 f (1) − f ( 0) = 2 . Tính
0

1

I =  f ( x ) dx .
0

A. I = 8 .

B. I = −8 .

C. I = 4 .

D. I = −4 .

Câu 4. [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;2] và thỏa mãn f ( 2) = 16 ,
2



1

f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân I =  x. f ' ( 2 x ) dx .

0

0

A. I =12.

B. I = 7 .

C. I = 13 .

D. I = 20 .

Câu 5. [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn f ( −2 ) = 1 ,
2



f ( 2 x − 4 ) dx = 1 . Tính

0

 xf ' ( x ) dx .

−2

1

B. I = 0 .

A. I = 1 .

C. I = −4 .

D. I = 4 .

Câu 6. [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;5] và f ( 5) = 10 ,
5

5

 xf ' ( x ) dx = 30 . Tính

 f ( x ) dx .

0

0

A. 20 .

B. −30 .

C. −20 .

Câu 7. [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x) liên tục trong đoạn [1;e] , biết

D. 70 .
e


1

f ( x)
x

dx = 1 , f ( e) = 1 . Khi đó

e

I =  f ' ( x ) .ln xdx bằng
1

A. I = 4 .

B. I = 3 .

C. I =1.

D. I = 0 .

Câu 8. [Mức độ 3] Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f ( x 3 + 3 x + 1) = 3 x + 2, ∀x ∈ ℝ. Tính
5

I=

∫

x. f ' ( x ) dx .

1

A.

5
.
4

B.

17
.
4

C.

33
.
4

D. −1761 .

Câu 9. [Mức độ 3] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
π

2
π 
f ( x ) + f  − x  = sin x.cos x , với mọi x∈R và f ( 0) = 0. Giá trị của tích phân  x. f ' ( x ) dx bằng
2 
0

A. −

π
.
4

B.

1
.
4

C.

π
.
4

D. −

1
.
4

1

Câu 10. [Mức độ 3]

Cho hàm số f ( x) thỏa f ( 0) = f (1) = 1. Biết  e x  f ( x ) + f ' ( x )  dx = ae + b . Tính
0

biểu thức

Q = a2018 + b2018 .

A. Q = 8 .

B. Q = 6 .

Câu 11. [Mức độ 2]

C. Q = 4 .

D. Q = 2 .

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn

1

 x  f ' ( x ) − 2  d x = f (1) .
0

1

Giá trị của I =  f ( x ) dx bằng
0

A. −2.

C. −1.

B. 2.

Câu 12. [Mức độ 2]

D. 1.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1;2] và

2

 ( x − 1) f ' ( x ) dx = a . Tính
1

2

 f ( x ) dx

theo

a và b = f ( 2 ) .

1

A. b − a .
Câu 13. [Mức độ 2]

B. a − b .

C. a + b .

D. − a − b .

Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và f ( 2) = 16 ,

2

 f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân
0

1

I =  x. f ' ( 2 x ) d x .
0

A. I = 13 .
Câu 14. [Mức độ 2]

B. I =12.

C. I = 20 .

Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn

[1;2] . Biết rằng F (1) = 1, F ( 2 ) = 4 , G (1 ) = 3 , G ( 2 ) = 2 và
2

11
A. .
12

D. I = 7 .

2



f ( x ) G ( x ) dx =

1

145
B. −
.
12

11
C. − .
12

2

67
. Tính  F ( x ) g ( x ) dx
12
1
D.

145
.
12

π

Câu 15. [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn

2

 sin x. f ( x ) dx = f ( 0 ) =1. Tính
0

π
2

I =  cos x. f ' ( x ) d x .
0

A. I =1.
Câu 16. [Mức độ 3]

B. I = 0 .

C. I = 2 .

Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và f ( 2) = 16 ,

D. I = −1 .
2

 f ( x ) dx = 4 . Tính
0

4

x
I =  xf '   d x
2
0

A. I =12.

B. I =112.

Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ biết đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua

Câu 17. [Mức độ 3]

 1 
điểm M  − ;4  và
 2 

D. I =144.

C. I = 28 .

1
2

0

f ( t ) dt = 3 , tính I =


0

π sin 2 x. f ' ( sin x ) dx .

−

6

B. I = −2 .

A. I = 10 .

C. I =1.

D. I = −1 .

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn

Câu 18. [Mức độ 3]

f ' ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x2017 .e2018 x với mọi x∈ℝ và f ( 0) = 2018. Tính giá trị f (1) .
2018
A. f (1) = 2019e .

−2018
B. f (1) = 2018.e
.

2018
C. f (1) = 2018.e .

2018
D. f (1) = 2017.e .

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x .

Câu 19. [Mức độ 3]
π
2

Tính I =

π f ( x ) dx ?

−

A.

2

2
.
2019

B.

2
.
2018

C.

2
.
1009

D.

4
.
2019

Cho hàm số f ( x) và g ( x ) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn

Câu 20. [Mức độ 3]

2

f ' ( 0) . f ' ( 2) ≠ 0 và g ( x ) f ' ( x ) = x ( x − 2) ex . Tính giá trị của tích phân I =  f ( x ) .g ' ( x ) dx ?
0

A. −4.

B. e − 2.

D. 2 − e.

C. 4.

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai f '' ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 1] thoả

Câu 21. [Mức độ 2]

mãn f (1) = f ( 0) = 1, f ' ( 0) = 2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1

1

A.  f '' ( x )(1 − x ) dx = −2018 .

B.

0
1

0
1

C.  f '' ( x )(1 − x ) dx = 2018 .

D.

0

4

f ( x)

 f '' ( x )(1 − x ) dx = 1 .
0

 π
π 
thỏa mãn f   = 3 ,

 4
 4

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên 0;

Câu 22. [Mức độ 3]
π

 f '' ( x )(1 − x ) dx = −1 .

π

π

4

4

0

0

 cos x dx = 1 và   sin x. tan x. f ( x ) dx = 2 . Tích phân  sin x. f ' ( x ) d x
0

A. 4.

B.

2+3 2
.
2

C.

1+ 3 2
.
2

bằng:

D. 6.

Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện f (1) = 1 và

Câu 23. [Mức độ 3]

2
'
f ( 2 ) = 4 . Tính J =   f ( x ) + 2 − f ( x 2) + 1  dx .
1

A. J = 1 + ln 4 .



x

x



B. J = 4 − ln 2 .

C. J = ln 2 −

1
.
2

D. J =

1
+ ln 4 .
2

Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0; 2] . Biết

Câu 24. [Mức độ 4]

f ( 0) = 1 và f ( x ) . f ( 2 − x ) = e

2 x2 − 4 x

, với mọi x∈[ 0; 2] . Tính tích phân I =

2



(x

3

0

A. I = −

16
.
3

B. I = −

16
.
5

C. I = −

14
.
3

− 3x2 ) f ' ( x )
f ( x)

D. I = −

π 
2

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f   = 0 ,

Câu 25. [Mức độ 4]

dx .

32
.
5

π

  f ' ( x )
π

2

dx =

π
4

và

2

π

π
π cos x f ( x ) dx = 4 . Tính f ( 2018π ) .
2

A. −1.

B. 0 .

1

x
  f ' ( x ) dx =  ( x + 1) e f ( x ) dx =
2

0

0

A. I = 2 − e .

 ( x − 1)

1

C. I =

e
.
2

A. I =

7
.
5

2

7
5

B. I = − .

1

3
 x f ( x ) dx =

0

0

2

2
.
3

B.

2

0

A. 7 .
5

1
. Tích phân
2

π

π

4

4

 f ( x ) dx
C.

1

1
0 x f ( x ) dx = 3 . Tích phân
2

bằng

7
.
4

D.

6
.
5

1

 f ( x ) dx

bằng

0

C. 7 .

D. 4 .

4

 π
π 
và f   = 0 . Biết

 4
4

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;

2

0

A. I =1.

7
.
20

0

π
π
 f ( x ) d x = 8 ,  f ' ( x ) sin 2xdx = − 4 . Tính tích phân
0

D. I =

1

5
.
2

B. 1.

Câu 30. [Mức độ 4]

7
.
20

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0 ,

Câu 29. [Mức độ 4]

  f ' ( x ) dx = 7 và

C. I = −

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 1,

  f ' ( x ) dx = 9 và

1

e −1
.
2

2
1
f ( x ) dx = − , f ( 2 ) = 0 và   f ' ( x )  dx = 7 . Tính tích phân I =  f ( x ) dx .
3
1
1

Câu 28. [Mức độ 4]
1

D. I =

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn
2

2

1

A.

D. 1.

e2 − 1
. Tính tích phân I =  f ( x ) dx .
4
0

B. I = e − 2 .

Câu 27. [Mức độ 4]
2

1
.
2

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0 và

Câu 26. [Mức độ 4]
1

C.

B. I =

1
.
2

π

I=

8

 f ( 2 x ) dx
0

C. I = 2 .

D. I =

1
.
4

Câu 31. [Mức độ 4]
1



f 2 ( x ) dx =

0

A.

1
,
2

1



f ' ( x ) cos (π x ) dx =

0

π.

B.

Câu 32. [Mức độ 4]
1

 ( f ' ( x ))

2

dx =

π
2

π

π.

e −1
.
2

0

C.

2

π

.

D.

3π
.
2

1

 f ( x ) dx .
0

C.

1

π

.

D.

2

π

.

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn

1

0

A.

 f ( x ) dx .

.

x
  f ' ( x ) dx =  ( x + 1) e f ( x ) dx =
0

2

1

. Tính

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ' ( x) liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa f (1) = 0 ,

B.

.

2

π

1
π
1
và  cos  x  f ( x ) dx = . Tính
8
2
2 
0

Câu 33. [Mức độ 4]
1

1

π2

0

A.

. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và f ( 0) + f (1) = 0 . Biết

e2 − 1
và f (1) = 0 . Tính
4

1

 f ( x ) dx
0

2

B.

e
.
4

C. e − 2.

D.

e
.
2