SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TƯƠNG TỰ HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA,
TỔNG QUÁT HÓA TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN
I. PHẦN MỞ ĐẦU.
1. Lí do chọn đề tài.
a. cơ sơ ký luận
Trong nhiều năm giảng dạy môn Toán ở khối lớp 9 tại trường THCS Tăng Bạt Hổ, tôi nhận thấy rằng: học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải một bài toán, cho dù đó là những bài toán đơn giản và tương tự như một bài toán mà giáo viên đã chữa cho học sinh tại lớp. Hay là đó là một bài toán được phát triển từ một bài toán chứa các yếu tố đặc biệt nhưng học sinh vẫn không tìm ra được phương pháp giải kể cả những học sinh khá giỏi, chính vì vậy mà có nhiều học sinh không yêu thích môn toán dẫn đến tỉ lệ học sinh có điểm kiểm tra yếu kém ngày càng cao, và học sinh học giỏi môn toán ngày càng ít đi.

b. Cơ sở thực tiễn.
Trong thực tế, ta nhận thấy rằng khi tổ chức cho học các em học toán thường thì giáo viên dựa trên các bài tập ở sách giáo khoa, sách bài tập để cho học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, chưa xây dựng các bài toán tương tự, chưa giúp được cho học sinh thấy được đó là một trường hợp đặc biệt hay là một trường hợp khái quát từ một bài toán đã cho, từ đó học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc phân tích và tìm lời giải cho bài toán.

Để giúp cho các em có được kỹ năng phân tích và tìm lời giải cho một bài toán một cách nhanh chóng giáo viên cần phải giúp cho học sinh có một thói quen đặt và trả lời cho các câu hỏi: Bài toán này ta đã gặp lần nào chưa? Bài toán này tương tự như bài toán nào? "bài toán này có phải là một đường hợp đặc biệt không? Ta có thể khái quát bài toán này để được một bài toán khác không? Ta có thể chia bài toán này thành những bài toán nhỏ nào? Còn cách giải nào cho bài toán không? . Khi đã có thói quen như vậy sẽ giúp cho các em tìm ra được lời giải cho bài toán và nhớ nó lâu hơn, tạo cho các em có hứng thú với môn học hơn.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Quá trình dạy học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội
cần. Vì vậy, môn Toán phải góp phần cùng môn học khác thực hiện mục tiêu chung của giáo dục THCS thể hiện ở các mặt.
Làm cho HS nắm vững toán phổ thông, cơ bản, thiết thực..
Có kỹ năng thực hành giải toán.
Hình thành cho HS những phẩm chất đạo đức và năng lực cần thiết.
Dạy toán không chỉ nhằm cung cấp cho HS một số kiến thức toán mà dạy cho HS phải biết tính toán. Ngoài kiến thức còn có phương pháp, kĩ năng, phát triển các năng lực trí tuệ và hình thành ở HS các phẩm chất đạo đức.
Chuyên đề "Tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa trong dạy và học Toán" Nhằm giúp cho HS nắm tổng quát các kiến thức, các mạch kiến thức trong chương trình, có kỹ năng phân tích các dạng bài tập, các cách trình bày một bài toán sao cho khi người học tiếp cận nó xong thì có thể vận dụng một cách hiệu quả trong thực tế. Nếu giáo viên làm được như vậy thì có thể chuẩn bị cho tiết dạy một hệ thống bài tập tốt hơn, xây dựng được các bài toán phù hợp cho từng đối tượng học sinh. Hiệu quả giảng dạy sẽ cao hơn.

3. Phương pháp tiến hành.
Trên cơ sở việc rút kinh nghiệm các tiết dạy trên lớp và kết quả làm bài kiểm tra của học sinh và bằng cách thử nghiệm việc tổ chức rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán ở trên lớp và phần giao việc về nhà cho học sinh, yêu cầu học sinh tìm ra các bài toán tương tự về nội dung và tương tự về quy trình suy luận phân tích tìm lời giải. Học sinh tự đặt ra các bài toán mang tính khái quát hơn hay đặc biệt hơn . Tổ chức kiểm tra đánh giá thường xuyên trên cơ sở đi từ đơn giản đến phức tạp để rút ra những ưu điểm và nhược điểm nhằm nâng cao hiệu quả giải toán.

4. Cơ sở và thời gian tiến hành.
Môn toán là một môn học có vận dụng nhiều trong cuộc sống, là môn học có bổ trợ cho nhiều môn học khác và rèn luyện cho học sinh khả năng tuy duy sáng tạo. Căn cứ vào kết quả các bài kiểm tra môn toán HKI và HKII của học sinh các lớp 9 từ năm học 2003 -2004 đến năm học 2004 - 2005 cho thấy tỉ lệ học sinh các lớp tôi phụ trách giảng dạy môn toán có điểm dưới trung bình khá cao từ 30% đến 40%, tỉ lệ học sinh có điểm khá, giỏi từ 12% đến 20%. Tỷ lệ này chưa cao, chưa xứng tầm với yêu cầu của môn học. Trong thời gian từ năm học 2004 - 2005 đến nay, bản thân tôi cố gắng tìm ra cách phương pháp dạy học mới phù hợp với khả năng nhận thức và tuy duy của các đối tượng học sinh giúp cho các em đã có nhiều tiến bộ hơn trong việc phân tích và tìm lời giải cho một bài toán.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững kiến thức còn cần phải có những phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được trong quá trình học tập, rèn luyện. Trong môn Toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán tương tự nhau về cách giải hoặc có những bài toán được xây dựng trên cơ sở của một bài toán khác hoặc nó là một trường hợp đặc biệt của bài toán đã cho. Để giải bài toán như vậy đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận lôgíc và biết cách xây dựng được các dạng toán khác tương tự như bài toán đã cho hoặc tìm ra các trường hợp đặc biệt của giả thiết thì kết luận có gì đặc biệt (đặc biệt hóa bài toán) từ đó xem xét bài toán ở mức độ tổng quát hơn.

Tương tự hóa
Từ hai dối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu ta rút ra kết luận rằng hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác thì suy luận ấy gọi là tương tự.
Chẳng hạn, hai đối tượng X, Y cùng có dấu hiệu a, b, c và X có dấu hiệu d thì ta kết luận Y cũng có dấu hiệu d.
Như vậy, kết luận rút ra từ những suy luận tương tự chỉ là một dự đoán, một giả thiết. Cũng giống như quy nạp không hoàn toàn, những dự đoán, giả thiết này có tác dụng góp phần thúc đẩy Toán học phát triển. Nói riêng, trong hoạt động giải toán, sử dụng suy luận tương tự để liên hệ giữa bài toán cần giải với bài toán đã giải, có thể giúp ta nhanh chóng tìm ra được lời giải của bài toán.
Ví dụ1: (Bài tập 35 chương III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN SBT Toán 9)
Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ nửa đường tròn đường kính AM và nửa đường tròn đường kính AD. Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn đường kính AD cắt nửa đường tròn lớn tại C và tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn lớn cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn nhỏ tại B. P là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC đường thẳng PD cắt nửa đường tròn nhỏ tại K. Chứng minh AP là tia phân giác góc BAK

DA = AM, CD
AD tại D
GT BA
AD tại A, CB
CD tại C
P


KL AP phân giác

Phân tích:
Gọi Q là giao điểm của AK và nửa đường tròn đường kính AM.
-Muốn chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK ta phải chứng minh

=

-Muốn chứng minh
=
ta phải chứng minh
=

-Muốn chứng minh
=
ta phải chứng minh DP
AQ tại K vì
= 1v (góc nội tiếp chắn � đường tròn)

Lời giải tóm tắt:
Ta có:
= 1v (góc nội tiếp chắn � đường tròn)
Suy ra DP
AQ tại K
Do đó:
=
(T/c đường kính vuông góc với dây trong đường tròn)
Từ đó suy ra
=
(cùng chắn hai cung bằng nhau)
Vậy AP là tia phân giác của góc BAK (đpcm)

Khai thác bài toán:
Sau khi giải xong bài toán VD1 ta nhận thấy tứ giác ABCD là một hình vuông, ta có thể thay đổi giả thiết ta có các bài toán mới như sau:

Ví dụ1.1: Cho hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính AD, lấy D làm tâm vẽ cung tròn AC trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AD. Nối D với một điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD tại K. Kẻ PN vuông góc với AB. Chứng minh rằng tam giác AKN vân tại A.

Việc giải bài toán này tương tự như
cách giải ở DV1. Ở đây việc đi chứng minh

được thay bằng chứng minh hai
đoạn thẳng AN = AK




Ví dụ1.2: Cho hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính AD, lấy D làm tâm vẽ cung tròn AC trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AD. Nối D với một điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD tại K. Kẻ PN vuông góc với AB. Chứng minh rằng AP
NK.



Việc giải bài toán này tương tự như
cách giải ở DV1.1. Ở đây việc đi chứng minh
AP
NK ta đưa về chứng minh tam giác AKN
Cân tại A và có
.



Ví dụ 2: ( Trích câu a bài tập 30 trang 116 SGK HH 9 tập I)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. chứng minh rằng:
= 90o.
(O) có AB là đường kính
GT Ax
AB; By
BA
CD
OM tại M

KL
= 90o


Phân tích:
Có nhiều cách để đi chứng minh
= 90o, chẳng hạn ta đi chứng minh Ô1 = Ô2 và Ô3 = Ô4 rồi suy ra OC
OD, suy ra (đpcm)
Hoặc ta có thể đi chứng minh các tứ giác BDMO và ACMO nội tiếp rồi suy ra
mà
= 90o suy ra
= 90o

Lời giải tóm tắt:
Tứ giác BDMO nội tiếp ( vì có
)
Suy ra