PHAÀN I
ÑAËT VAÁN ÑEÀ
I . Lý do chän ®Ò tµi:
- Trong thôøi ñieåm hieän nay, chuùng ta ñang noã löïc xaây döïng vaø ñaåy maïnh coâng nghieäp hoùa vaø hieän ñaïi hoùa ñaát nöôùc nhaèm tieán tôùi moät xaõ hoäi vaên minh hieän ñaïi. Muoán vaäy con ngöôøi phaûi coù tri thöùc. Chính vì vaäy Ñaûng ta ñaõ xaùc ñònh giaùo duïc laø quoác saùch haøng ñaàu. Trong nhöõng naêm gaàn ñaây, Ñaûng vaø nhaø nöôùc ta luoân quan taâm ñeán giaùo duïc, töøng böôùc coù nhöõng caûi caùch giaùo duïc töø baäc maàm non ñeán ñaïi hoïc vaø sau ñaïi hoïc nhaèm ñöa neàn giaùo duïc nöôùc nhaø phaùt trieån ngang taàm khu vöïc. Trong chöông trình giaùo duïc trung hoïc phoå thoâng,moân toaùn laø moân hoïc quan troïng, laø thaønh phaàn khoâng theå thieáu cuûa neàn vaên hoùa phoå thoâng cuûa con ngöôøi môùi. Moân toaùn coù tieàm naêng coù theå khai thaùc goùp phaàn phaùt trieån naêng löïc trí tueä chung, reøn luyeän vaø phaùt trieån caùc thao taùc tö duy vaø caùc phaåm chaát tö duy.
Trong quaù trình giaûi toaùn ôû nhaø tröôøng cuõng nhö trong caùc kyø thi hoïc sinh sinh gioûi caùc caáp, chuyeân ñeà veà baát ñaúng thöùc laø moät chuyeân ñeà hay vaø lyù thuù chính vì vaäy maø noù thöôøng xuyeân coù maët trong caùc kyø thi choïn hoïc sinh gioûi caùc caáp ñaëc bieät laø caáp THCS vaø kyø thi vaøo lôùp 10.
Trong chuyeân ñeà veà baát ñaúng thöùc thì vieäc söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñeå giaûi caùc loaïi toaùn vaø baøi toaùn khaùc laø khaù hieäu quaû thoâng qua ñoù maø lôøi giaûi ñöôïc ñôn giaûn hôn, thu ñöôïc keát quaû nhanh choùng. Baát ñaúng thöùc Bunhiacopski laø moät baát ñaúng thöùc kinh ñieån nhö vaäy. Vì vaäy neáu khai thaùc baát ñaúng thöùc naøy vaøo vieäc giaûi caùc baøi toaùn khaùc thì coù theå ñem laïi keát qua nhieàu maët, kích thích tính saùng taïo cuûa hoïc sinh.Vôùi yù nghó nhö vaäy toâi giôùi thieäu vieäc söû duïng baát ñaúng thöùc bunhiacopxki vaøo giaûi moät soá baøi toaùn nhö : chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc ñaïi soá vaø hình hoïc, hoaëc giaûi moät soá baøi toaùn cöïc trò ñaïi soá vaø hình hoïc.

- Xuaát phaùt töø thöïc teá giaûng daïy chöông trình THCS, ñaëc bieät laø trong caùc kyø thi choïn hoïc sinh gioûi caùc caáp, ñöùng tröôùc moät baøi toaùn coù raát nhieàu phöông phaùp giaûi khaùc nhau song moät trong nhöõng phöông phaùp giaûi töông ñoái coù hieäu löïc laø vieäc söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñeå giaûi. Hoïc sinh ñöôïc tieáp xuùc raát nhieàu veà caùc phöông phaùp giaûi caùc baát ñaúng thöùc vaø söû duïng caùc baát ñaúng thöùc ñeå giaûi caùc loaïi toaùn khaùc nhö: chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc ñaïi soá va hình hoïc hoaëc giaûi moät soá baøi toaùn cöïc trò ñaïi soá vaø hình hoïc.
II. PHAÏM VI ÑEÀ TAØI
Tuy noäi dung ñeà caäp khaù roäng vaø caùc baøi toaùn daïng naøy cuõng phong phuù song trong khuoân khoå thôøi gian coù haïn toâi chæ neâu ra moät soá baøi toaùn ñieån hình vaø saép xeáp trình töï töø ñôn giaûn ñeán phöùc taïp.
III. ÑOÁI TÖÔÏNG
Ñeà taøi naøy ñöôïc aùp duïng cho hoïc sinh khaù gioûi THCS lôùp 8-9.
IV. MUÏC ÑÍCH
Nhaèm muïc ñích naâng cao môû roäng hieåu bieát cho hoïc sinh nhaát laø vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi, giuùp caùc em hieåu saâu saéc hôn veà baát ñaúng thöùc.Qua ñoù giuùp hoïc sinh coù ñieàu kieän hoaøn thieän caùc phöông phaùp veà baát ñaúng thöùcvaø reøn luyeän tö duy saùng taïo cho hoïc sinh.






PHAÀN II
NOÄI DUNG
I. CÔ SÔÛ LYÙ LUAÄN KHOA HOÏC
1. CÔ SÔÛ LYÙ LUAÄN KHOA HOÏC.
- Trong chöông trình giaùo duïc trung hoïc phoå thoâng,moân toaùn laø moân hoïc quan troïng, laø thaønh phaàn khoâng theå thieáu cuûa neàn vaên hoùa phoå thoâng cuûa con ngöôøi môùi. Moân toaùn coù tieàm naêng coù theå khai thaùc goùp phaàn phaùt trieån naêng löïc trí tueä chung, reøn luyeän vaø phaùt trieån caùc thao taùc tö duy vaø caùc phaåm chaát tö duy.
Trong quaù trình giaûi toaùn ôû nhaø tröôøng cuõng nhö trong caùc kyø thi hoïc sinh sinh gioûi caùc caáp, chuyeân ñeà veà baát ñaúng thöùc laø moät chuyeân ñeà hay vaø lyù thuù chính vì vaäy maø noù thöôøng xuyeân coù maët trong caùc kyø thi choïn hoïc sinh gioûi caùc caáp, ñaëc bieät laø caáp THCS vaø kyø thi vaøo lôùp 10.
- Ñöùng tröôùc moät baøi toaùn coù theå coù nhieàu caùch giaûi khaùc nhau song vieäc tìm ra moät lôøi giaûi hôïp lyù, ngaén goïn, thuù vò vaø ñoäc ñaùo laø moät vieäc khoâng deã thoâng qua ñoù maø thu ñöôïc keát quaû nhanh choùng. Baát ñaúng thöùc Bunhiacopski laø moät baát ñaúng thöùc kinh ñieån nhö vaäy. Vì vaäy neáu khai thaùc baát ñaúng thöùc naøy vaøo vieäc giaûi caùc baøi toaùn khaùc thì coù theå ñem laïi keát quûa nhieàu maët, kích thích tính saùng taïo cuûa hoïc sinh.
2. ÑOÁI TÖÔÏNG PHUÏC VUÏ
ñeà taøi naøy duøng ñeå giaûng daïy cho caùc hoïc sinh tham gia thi hoïc sinh gioûi lôùp 8-9.
3. NOÄI DUNG PHÖÔNG PHAÙP NGHIEÂN CÖÙU
A. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ®Ó chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc
I. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc ñaïi soá
- Ñeå chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc coù khi aùp duïng ngay vaø cuõng nhieàu khi phaûi bieán ñoåi baøi toaùn ñeå ñöa veà tröôøng hôïp thích hôïp roài môùi söû duïng. Sau daây laø 3 kyõ thuaät thöôøng gaëp:
Ñaùnh giaù töø veá lôùn sang veá nhoû vaø ngöôïc laïi.
Doàn phoái hôïp.
Kyõ thuaät nghòch ñaûo.

1. Ñaùnh giaù töø veá lôùn sang veá nhoû vaø ngöôïc laïi.
Ví duï 1: Cho
, a,b
R
Chöùng minh raèng:
2
Lôøi giaûi:
Ta vieát a4+b4=

Aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacopski

(ñfcm)
Ví duï 2: cho

Chöùng minh raèng:

Lôøigiaûi:
Tö øgiaû thieát ta coù:


B.C.S








Ví duï 3: cho x,y
. Chöùng minh raèng neáu x,y>0 vaø x+y=1 thì

Lôøi giaûi:
Ta söû duïng


Khi ñoù ta coù:


maø

vaäy


2. Kyõ thuaät doàn phoái hôïp
Ví duï 1: Cho 3x-4y=7 Chöùng minh raèng:

Lôøi giaûi:
Ta vieát

Ví duï 2: Cho a,b,c,p,q laø 5 soá döông tuøy yù. Chöùng minh raèng


Lôøi giaûi






Goïi S laø veá traùi ta coù:

(2)
Maø
(3)
Vì (3)

Töø (2), (3)


(ñpcm)
Ví duï 3:
Cho
Chöùng minh raèng:
(1)
Lôøi giaûi : Xeùt hai daõy soá:
vaø

Ta coù:
(2)
Xeùt hieäu



(3)
Töø (2), (3) suy ra ñpcm

3. Kyõ thuaät nghòch ñaûo
Daïng 1


Chöùng minh:
Ta vieát


Ví duï Chöùng minh raèng
(1)
Lôøi giaûi
Ta coù



Ví duï 2 Chöùng minh raèng

(1)

a,b,c laø ñoä daøi caïch cuûa
ABC
Lôøi giaûi




Ví duï 3: Chöùng minh raèng

(1)
Lôøi giaûi:


Theo baát ñaúng thöùc B.C.S :


Maët khaùc ta coù:



Daïng 2


Chöùng minh:
Theo baát ñaúng thöùc B.C.S ta coù:


Ví duï 1 Chöùng minh raèng

Lôøi giaûi:
Ta vieát


(Ñpcm)
Ví duï 2: Chöùng minh raèng:


Lôøi giaûi:
Ta coù

Ta seõ chöùng minh



II. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc hình hoïc
Cho
coù AB=c, AC=b, BC=a. Chöùng minh raèng

(1)
Lôøi giaûi:
Theo kyù hieäu nhö hình veõ thì luoân toàn taïi x,y,z>0
Sao cho a=x+z
b=z+x
c=x+y




Theo baát ñaúng thöùc B.C.S


(ñpcm)
Ví duï 2:
coù AB=c, AC=b, BC=a. p laø nöûa chu vi. Chöùng minh raèng

(1)
Lôøi giaûi



(2)
Theo CoâSi:





(3)
Töø (2)vaø (3) suy ra ÑPCM. (daáu baèng xaåy ra khi
ñeàu)
Ví duï 3:
Cho ñöôøng troøn noäi tieáp tieáp xuùc vôùi 3 caïch cuûa
taïi M,N,P. Chöùng minh raèng: S(MNP)

(S- Dieän tích tam giaùc)
Lôøi giaûi:
Ñaët S(ANP)=S1; S(BPM)=S2 , S(CMN)=S3
Ta phaûi chöùng minh:
(1)






(Daáu “=” xaåy ra khi
ñeàu)

B. Sö dông bÊt ®¼ng thøc BUNHIACOPSKI ®Ó gi¶ng c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè :
Söû duïng keát quaû:
a. Neáu
, C laø haèng soá thì


Daáu “=” xaåy ra khi

b. Neáu
thì


Daáu “=”xaåy ra khi

Ví duï 1: Cho
tìm

Lôøi giaûi:




Ví duï 2: Cho
Tìm Max, Min cuûa A=(y-2x+5)
Lôøi giaûi:
Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacopski ta coù:










Ví duï 3: cho x,y, z thoûa maõn xy+yz+zx=4 Tìm MinA bieát A=x4+y4+z4
Lôøi giaûi:
Töø giaû thieát 42=(xy+yz+zx)2
(x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2)
Suy ra: (x2+y2+z2)2
42






Ví duï 4: Cho x,y,z thoûa maõn x,y,z
vaø x+y+z=1. Tìm MaxA bieát


Lôøi giaûi: Theo B.C.S ta coù




Ví duï 5: cho

Tìm Max (x+v)
Lôøi giaûi: Aùp duïng baát ñaúng thöùc B.C.S ta coù:




Maët khaùc







,
,

Ví duï 6: Tìm caùc caëp soá (x,y) x,y>0 ñeå

ñaït giaù trò nhoû nhaát. Tìm giaù trò nhoû nhaát ñoù.
Lôøi giaûi:
Ñaët


,



Do





C. Moät soá baøi taäp aùp duïng
1. Cho
(a,b,c). Chöùng minh:


2. Cho a,b,c,d >0 . Chöùng minh raèng:


3. Cho
(a,b,c). Chöùng minh raèng:


4. Cho
nhoïn. H laø tröïc taâm. Chöùng minh

5. Cho
(a,b,c). Chöùng minh:

6. Cho 2 soá x,y thoûa maõn 2x+5y=7
Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa:
a, A=x2+y2
b, B=2x2+5y2
7. Cho x,y,z thoûa maõn x2+y2+z2 =1. Tìm Max = x+2y+3z
Cho a+b+c=1 vaø veá traùi coù nghóa. Chöùng minh


8. Coù toàn taïi hay khoâng 3 soá: a
1, b
1, c
1 thoûa maõn ñieàu kieän:


9. Cho x, y, z
0 thoûa maõn ñieàu kieän x+y+z=1 . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc bieåu thöùc
a, A=x2+y2+z2
b, B=x4+y4+z4
10. Cho: a, b,c

vaø a+b+c=3 . Chöùng minh:

11. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá:

Trong ñoù x
0, y
0, z
0, x+y+z=1.
12. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá:f(x,y)=2

Trong ñoù x
0, y
0,

4. KEÁT QUÛA
Ñeà taøi naøy ñaõ ñöôïc thöïc hieän giaûng daïy khi toâi tham gia daïy ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi lôùp 8-9 voøng huyeän vaø voøng tænh. Trong quaù trình hoïc ñeàø taøi naøy, hoïc sinh thöïc söï thaáy töï tin khi gaëp caùc baøi toaùn veà baát ñaúng thöùc, taïo höùng thuù vôùi hoïc toaùn, taïo cho hoïc sinh nieàm ñam meâ, yeâu thích moân toaùn, môû ra cho hoïc sinh caùch nhìn nhaän, vaän duïng, linh hoaït, saùng taïo caùc kieán thöùc ñaõ hoïc, taïo neàn cho hoïc sinh töï hoïc töï nghieân cöùu.
5. GIAÛI PHAÙP MÔÙI
- Baøi toaùn noùi chung raát ña daïng vaø phong phuù. Moãi baøi toaùn laïi coù raát nhieàu caùch giaûi khaùc nhau, vieäc löïa choïn söû duïng linh hoaït caùc kieán thöùc ñaõ hoïc seõ laøm cho hoïc sinh phaùt trieån tö duy saùng taïo. Chuyeân ñeà naøy chæ mang tính chaát gôïi môû cung caáp cho hoïc sinh caùch nhìn môùi, phaùt huy söï saùng taïo. Do ñoù hoïc sinh caàn coù theâm nhieàu thôøi gian ñeå söu taàm caùc taøi lieäu tham khaûo lieân quan.
II. THÖÏC TIEÃN GIAÛNG DAÏY
1. QUAÙ TRÌNH AÙP DUÏNG
- Baèng moät chuùt voán hieåu bieát vaø kinh nghieäm gia