LỚP BỒI DƯỠNG ĐỘI TUYỂN HỌC SINH – QUẬN 5

CHỦ ĐỀ Phương trình nghiệm nguyên
Lời dẫn : Dạng toán này là một trong những dạng toán khó trong bộ môn Toán Số , những phần mà tôi nêu ra dưới đây chỉ là những dạng cơ bản nhất . Tuy nhiên, để hiểu được nó trước hết cần nắm được Lý thuyết số .
Dạng PHƯƠNG TRÌNH
( Phương trình một ẩn - hệ số nguyên








( Phương trình bậc nhất hai ẩn ( Phương trình Diophante - Giải tích Diophante)
{Diophante - Người đầu tiên nghiên cứu có hệ thống về Phương trình vô định , sống ở thế kỷ thứ III.Tập sách “Số học “ của ông có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của Lý thuyết Số}
Thật vậy , vì (xo , yo) là một nghiệm nguyên của (2) ( axo + byo = 1
( axo + byo = ax + by ( x = = xo +
( { (a , b) = 1 ( Z ( y = yo - at }
( Phương trình vô định dạng x2 + y2 = z2 ( Phương trình Pithago )

( Ví dụ
* Khi u = 3 ; v = 1 ( x = 3 ; y = 4 ; z = 5
* Khi u = 5 ; v = 3 ( x = 15 ; y = 8 ; z = 17
( Phương trình vô định dạng
x2 - Py2 = 1 ( Phương trình Pell ) ( P (Z+ , không là số chính phương )
{ Đây là một dạng phương trình Diophante bậc 2, xuất phát từ một bài toán do Archimède đặt ra, bài toán có 8 ẩn số thỏa mãn 7 phương trình, đưa đến việc tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 - 4729494y2 = 1 (1). Năm 1880 người ta đã tìm ra nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của (1) với x là số có 45 chữ số , y có 38 chữ số }

Tại sao P là số nguyên dương không chính phương ? . Ta hãy xét phương trình tổng quát hơn, đó là phương trình : x2 - Py2 = 1 (*) trong đó P là số nguyên dương cho trước .
_Vì x, y có mặt ở vế trái của (*) dưới dạng bình phương nên ta có thể hạn chế ở việc tìm các nghiệm nguyên không âm .
_Hiển nhiên rằng x = 1 ; y = 0 là một nghiệm - gọi là nghiệm tầm thường của (*). Ta còn phải tìm các nghiệm không tầm thường (x, y > 0)
_Nếu trong phương trình P là một số chính phương P = k2 (k(Z+) thì (*) chỉ có nghiệm tầm thường, thật vậy khi đó (*) có dạng x2 - (ky)2 = 1 và chú ý rằng hiệu của hai số chính phương bằng 1 khi hai số chính phương ấy là 1 hoặc 0
( x2 = 1 ; (ky)2 = 0 ( x = 1 ; y = 0 .
Như vậy :
Điều kiện cần để phương trình (*) có nghiệm không tầm thường là P không phải là một số chính phương .


ª Để tìm sự thú vị khi nghiên cứu phương trình nghiệm nguyên, mời các Bạn nghiên cứu kỹ dãy các minh họa sau :

MINH HỌA
Tìm nghiệm (x , y) nguyên của phương trình : y2 = x5 + 2x4 - 3x3 - 4x2 + 4x
Ta có y2 = x.(x - 1)2(x + 2)2 ( x = t2 với t ( Z
( y = ( t.(t2 - 1)(t2 + 2) hoặc khi x = -2 thì y = 0
Cho p là một số nguyên tố , hãy giải phương trình trong tập Z
Ta có y = x + 1 + p +
( x - 1 = ( 1 ; ( p
Tồn tại hay không nghiệm nguyên của phương trình : 2x - 3y = - 5xy + 39
Ta có 2x - 3y = - 5xy + 39 ( 2x = y.(3 - 5x) + 39 ( y =
Để y nguyên thì điều kiện cần ( chưa là đk đủ ) là (2x - 39(( (3 - 5x(
( (2x - 39)2 ( (3 - 5x)2
( (2x - 39)2 - (3 - 5x)2 ( 0 ( ( -3x - 36)(7x - 42) ( 0 ( -12 ( x ( 6
Chứng minh rằng phương trình : 4x2 + 231y2 = 1613 vô nghiệm trong tập số nguyên
Đặt X = x2 ( 0 ; Y = y2 ( 0 ( 4X + 231Y = 1613
( X =
( 1 + Y = 4t ( t(Z ) ( Y = 4t - 1 ; X = 403 - 58(4t - 1) + t = 461 - 231t
Ta thấy Y ( 0 khi t ( ; X ( 0 khi t ( < 2 ( để X ,