TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PT BẬC 2 CÓ NGHIỆM CHUNG
CHỨNG MINH RẰNG MỘT TRONG 2 PT CÓ NGHIỆM

A) Tìm ĐK của tham số để PT bậc 2 có nghiệm chung:

Phương pháp giải:
Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 PT. Thay x =x0 vào 2 PT ta được hệ với ẩn là các tham số.
Giải hệ tìm tham số.
Thử lại với tham số vừa tìm, 2 PT có nghiệm chung hay không.

Bài tập:
Bài 1: Cho 2 PT: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0.
Xác định a để 2 PT trên có nghiệm chung.
Xác định a để 2 PT tương đương.
Giải
Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 PT đã cho, ta có hệ:


Trừ từng vế 2 PT tacó:
x0 (1 – a) + a – 1 = 0
(1 – a) (x0 – 1) =0


Với a = 1 ta có PT: x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm.
Với x0 = 1, thay vào PT (1) ta được a = -2. Ngược lại với a = -2 thì PT x2+ x – 2 = 0 có nghiệm x1 = 1, x2 = -2 và PT x2 – 2x + 1 =0 có nghiệm kép x = 1.
Vậy với a = -2 thì 2 PT đã cho có nghiệm chung x = 1.
Hai PT tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm. Nếu chúng có nghiệm chung thì theo câu a) 2 PT có tập nghiệm khác nhau.
Vậy để 2 PT tương đương thì chúng phải cùng vô nghiệm. Tức là:





Bài 2:Tìm m để 2 PT sau có nghiệm chung:
2x2 – (3a + 2)x + 12 = 0
4x2 – (9a – 2)x + 36 = 0

Bài 3: Xác định m để 2 PT sau có nghiệm chung:
x2 + mx + 2 =0 và x2 + 2x + m = 0

Bài 4: CMR nếu 2 PT sau : x2 +ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0, có nghiệm chung thì :
(b – d)2 + (a –c) (ad – bc) = 0
Gợi ý: Giá sử x0 là nghiệm chung, ta có:


x02 + axx + b = 0 và x02 + cx0 + d = 0. Tìm x0 và x02 rồi so sánh
Bài 5: Với giá trị nào của m thì 2 PT sau có nghiệm chung:
2x2 + (3m – 1)x – 3 = 0 và 6x2 – (2m – 3)x -1 = 0.

B) CMR một trong 2 PT có nghiệm:
I. Lí thuyết: Cho 2 số A + B
0 thì ít nhất một trong 2 số A, B
0.
Khi cho một trong 2 PT bậc 2 có nghiệm thì:
Tính
rồi chứng minh:

Hoặc tính
rồi chứng minh:

Hoặc tính
rồi chứng minh:

Hoặc tính
rồi chứng minh:

Tuỳ từng bài áp dụng một trong 4 hệ thức trên.

II.Bài tập:
Bài 1:
Cho PT: x2 + bx + c = 0 và x2 + mx + n = 0.
CMR: nếu ta có bm = 2 (c + n) thì ít nhất một trong 2 PT trên có nghiệm
Giải:
Δ1 = b2 – 4 c
Δ2 = m2 – 4n
Δ1 + Δ2 = b2 + m2 – 4 (c + n)
= b2 + m2 – 2 bm ( Vì bm = 2 (c + n) )
= (b – m)2
0
Δ1 + Δ2
0, nên ít nh ất m ột trong hai biệt số Δ1 , Δ2
0.
Chứng tỏ rằng một trong hai PT có nghiệm.
B ài 2:
Cho PT : x2 + 4mx + 4 = 0 v à x2 + (m – 2)x + m2 – 1 = 0.
CMR một trong hai PT có nghiệm
B ài 3:
Cho 2 số b v à c sao cho
( b, c ≠ 0)
CMR ít nhất một trong hai PT sau có nghiệm:
x2 + bx + c = 0 v à x2 + cx + b = 0
B ài 4:
Cho ac ≥ 2 (b + d). CMR có ít nhất một trong hai PT x2 + ax + b = 0 v à x2 + cx + d = 0 có nghiệm