MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CHỨNG MINH DỰA VÀO BẤT ĐẲNG THỨC
.


Bất đẳng thức là một trong những bài toán gây nhiêu khó khăn đối với học sinh. Bất đẳng thức xuất hiện ở nhiều dạng khác nhau do đó việc chứng minh bất đẳng thức cũng rất phong phú. Khi giải toán bất đẳng thức thông thường chúng ta thường suy nghĩ hướng giải bài toán bằng cách sử dụng các bất đẳng thức cở bản như: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpski, hoặc sử dụng các phép biến đổi sơ cấp cơ bản…Trong quá trình đọc tài liệu tôi bắt gặp một số bài toán đã được sử dụng trong đề thi toán quốc tê IMO, thi tuyển sinh đại học và trên tạp chí báo toán học tuổi trẻ. Thoạt nhìn các bài toán bất đẳng thức đó không hề có mối liên hệ với nhau. Nhưng thực chất chúng đều có chung một cách giải. Trong khuôn khổ bài viết tôi xin giới thiệu một cách để giải các bài toán bất đẳng thức đã nêu trên bằng cách sử dụng bất đẳng thức sau:







Bài 1 Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.

Chứng minh: Dựa vào tính chất

.
Khi đó


.

.Dấu bằng xảy ra
.
Tương tự ta có:

.Dấu bằng xảy ra
.

.Dấu bằng xảy ra
.
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :

.

.

.
Vậy
.

Bài 2 Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.

Chứng minh: Dựa vào tính chất

.
Khi đó
.

.

.Dấu bằng xảy ra
.
Tương tự ta có:

.Dấu bằng xảy ra
.

.Dấu bằng xảy ra
.
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :

.

.

.
Vậy
.

Bài 3 Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.

Chứng minh: Dựa vào tính chất

.
Khi đó
.

.

Dấu bằng xảy ra
.
Tương tự ta có:

Dấu bằng xảy ra
.

Dấu bằng xảy ra
.
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :

.

.

.
Vậy
.
Bài 4 Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.
Chứng minh: Dựa vào tính chất:

.
Khi đó


.

.Dấu bằng xảy ra
.
Tương tự ta có:

. Dấu bằng xảy ra
.

. Dấu bằng xảy ra
.
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :

.

.

.
Vậy
.
Bài 5 Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.

Chứng minh: Dựa vào tính chất

.
Khi đó
.

.

.Dấu bằng xảy ra
.
Tương tự ta có:

.Dấu bằng xảy ra
.

.Dấu bằng xảy ra
.
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :

.

.

.
Vậy
.

Bài 6 Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.

Chứng minh: Dựa vào tính chất

.
Khi đó
(do
).

.

(do
) Dấu bằng xảy ra
.
Tương tự ta có:

(do
) Dấu bằng xảy ra
.

(do
) Dấu bằng xảy ra
.
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :

.

.
Vậy
.

Hoàn toàn tương tự ta có thể tạo ra được hàng loạt các bất đẳng thức có phương pháp chứng minh dựa vào tính chất :

,(
).

Bài 7 Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.

Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất:

.

Bài 8 Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.
Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất:

.

Bài 9 Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.
Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất:

.

Bài 10. Giả sử
,
Tìm giá trị max của biểu thức sau :

.
Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất:

.

Bài 11 Giả sử