CÁC GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

A. Kiếnthức cơ bản







1
. Góc ở tâm. Số đo cung
a) Địnhnghĩagóc ở tâm: Góccóđỉnhtrùngvới tâm củađtrònđglgóc ở tâm
b) Số đo cung:
- Số đo của cung nhỏbằngsố đo củagóc ở tâm chắn cung đó
- Số đo của cung lớnbằnghiệugiữa 3600vàsố đo của cung nhỏ (có chung 2 mútvới cung lớn)
- Số đo củanửađtrbằng 1800
c) Tínhchấtcủasố đo cung: Nếu C làmộtđiểmnằm trên cung AB thìsđ
=sđ
+sđ

2. Liên hệgiữa cung và dây
a) Định lý 1: Với 2 cung nhỏ trong mộtđtròn hay trong 2 đtrònbằng nhau:
- 2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau
- 2 dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau
b) Định lý 2: Với 2 cung nhỏ trong 1 đtròn hay trong 2 đtrònbằng nhau:
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn















3. Gócnộitiếp
a) Địnhnghĩa: Gócnộitiếplàgóccóđỉnhnằm trên đtrònvà 2 cạnhchứa 2 dây cung củađtrònđó. Cung nằm trong gócgọilà cung bịchắn
b) Địnhlý: Trong 1 đtrònsố đo củagócnộitiếpbằngnửasố đo của cung bịchắn
c) Cáchệquả: Trong mộtđtròn
- Cácgócntbằng nhau chắncác cung bằng nhau
- Cácgócntcùngchắn 1 cung hoặcchắncác cung bằng nhau thìbằng nhau
- Gócnt (nhr hơn hoặcbằng 900) cósó đo bằngnửasố đo củagóc ở tâm cùngchắnmột cung
- Gócntchắnnửađtrònlàgóc vuông
4. Góctạobởi tia tiếptuyếnvà dây cung
a) Địnhnghĩa: Góctạobởi tia tiếptuyếnvà dây cung làgóccóđỉnhtạitiếpđiểm, mộtcạnhlàtiếptuyếnvàcạnhcònlạichứa dây cung
b) Địnhlý: Sđcủagóctạobởi tia tiếptuyếnvà dây cung bằngnửasố đo của cung bịchắn
c) Địnhlýđảo: Nếu
cóđỉnhnằm trên đtròn, mộtcạnhchứa dây cung AB, cósđbằngnửasđ cung AB căng dây đóvà cung nàynằm bên trong gócđóthìcạnhAxlà 1 tia tiếptuyếncủađtròn
d) Hệquả: Trong 1 đtròn, góctạobởi tia tiếptuyếnvà dây cung vàgócnộitiếpcùngchắn 1 cung thìbằng nhau
5. Góccóđỉnh ở bên trong đtròn. Góccóđỉnh ở bên ngoàiđtròn
a) Góccóđỉnh ở bêntrongđtròn
- Địnhlý: Sđcủagóc.....bằngnửatổngsđcủa 2 cungbịchắn
b) Góccóđỉnh ở bênngoàiđtròn
- Địnhlý: Sđcủagóc.....bằngnửahiệusđcủa 2 cungbịchắn
B. Bàitậpápdụng
Bài 1: Cho (O) và 1 điểm M cốđịnhkhôngnằmtrênđtròn. Qua M kẻ 2 đườngthẳng, đườngthẳngthứnhấtcắtđtròn (O) tại A và B, đườngthẳngthứhaicắtđtròn (O) tại C và D. CMR: MA.MB = MC.MD
LG
/
* TH1: điểm M nằmbêntrongđtròn (O)
- Xét tam giác MAC và tam giác MDB, ta có:

(đốiđỉnh)

(gócntchắncung BC)




/
* TH2: điểm M nằmbênngoàiđtròn (O)
- Xét tam giác MAD và tam giác MCB, ta có:

(chung)

(gócntchắncung AC)



Bài 2: Trênmộtđtrònlấyliêntiếpbacung: AC, CD, DB saochosđ
=sđ
=sđ
=600. haiđườngthẳng AC và BD cắtnhautại E, haitiếptuyếncủađtròntại B và C cắtnhautại T. CMR:
a)

b) CD là tiaphângiáccủagócBCT?
LG
/
a) Ta có:




Do đó:

b) Ta có:

(góctạobởitiatiếptuyếnvàdâycung)


(gócnộitiếp)

. Do đó CD làphângiáccủagóc BCT
Bài 3: Cho tam giác ABC nộitiếpđtròn (O), tiaphângiáccủagóc A cắt BC ở D vàcắtđtròn ở M.
a) CMR: OM vuônggócvới BC
b) Phângiáccủagócngoàitạiđỉnh A của tam giác ABC cắt (O) ở N. CMR bađiểm M, O, N thẳnghàng.
c) Gọi K làgiaođiểmcủa NA và BC, I làtrungđiểmcủa KD. CMR: IA làtiếptuyếncủađtròn (O)
LG
/
a) Ta có:

do
OM là trungtrựccủa BC

b) Ta có:

mà
làgócnộitiếpvà
MN là đườngkính. Do đó M, O, N thẳnghàng
c) Do
DAK vuôngtại A
mà IK = ID => IK = IA = ID => tam giác IAD cântại I

(1)
Mặtkhác: tam giác OAM cântại O
(2)
Từ (1) và (2)
(3)
Do tam giác MHD vuôngtại H (theo a)
(4)
Từ (3) và (4)
IA làtiếptuyếncủađtròn (O)
Bài 4: Cho nửađtròntâm O đườngkính AB. Gọi C, D thuộcnửađtròn (C thuộccung AD). AD cắt BC tại H, AC cắt BD tại E. Chứngminhrằng:
a) EH vuông góc với AB
b) Vẽ tiếp tuyến với đtròn tại D, cắt EH tại I. Chứng minh rằng: I là trung điểm của EH
LG
/
a) Ta có:
(góc nt chắnnửađtròn)


(góc nt chắnnửađtròn)

Xéttamgiác EAB, ta có:
H là trựctâmcủatamgiác EAB

b) Ta có:
(cùngphụ
);
(cùngchắncung AD)

cântại I => IH = ID (1)
Mặtkhác:
cântại I => ID = IE (2)
Từ (1)