CHỦ ĐỀ 1.RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN
DẠNG 1.RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ
Loại 1:Đa Thức Đơn Giản Chứa Căn, Dễ Dàng Đặt Thừa Số Chung
CÂU 1. Rút gọn
Gỉai

Câu 2. Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức:
Gỉai
Có = 2015 + 6 – 5 = 2016
Câu 3. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
=
Câu 4 Rút gọn biểu thức :
Gỉai

Câu 5.Rút gọn biểu thức: A=
Giải.

Câu 6.Rút gọn biểu thức:
Gỉai

Câu 7.Rút gọn biểu thức:
Gỉai



Câu 8. Rút gọn các biểu thức sau:

Giải.

Câu 9.Rút gọn các biểu thức sau :
Gỉai



Câu 10.Rút gọn các biểu thức sau:
Giải.

Câu 11.Rút gọn các biểu thức sau:
Giải.

Câu 12. Rút gọn biểu thức sau
Gỉai

=5+6-10
=1
Câu 13.
Gỉai



=0
Câu 14. Rút gọn biểu thức:
Giải.

Câu 15. Tính:
Giải.

Câu 16.Rút gọn các biểu thức sau :
Gỉai

Câu 17. Rút gọn các biểu thức sau:
Giải.

Câu 18. Rút gọn các biểu thức sau:

Câu 19. Rút gọn các biểu thức sau:
Gỉai

Câu 20. Rút gọn:
Gỉai

Câu 21.Rút gọn biểu thức
Gỉai


LOẠI 2:ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG
Câu 1.Tính
Gỉai
Có B=
Câu 2. Rút gọn biểu thức sau
Gỉai

Câu 3.Rút gọn các biểu thức:
Giải.

Câu 4. Rút gọn biểu thức sau :
Gỉai

Câu 5. Rút gọn biểu thức sau
Gỉai

Câu 6. Rút gọn các biểu thức:
Gỉai

Câu 7. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

Câu 8. Tính giá trị của biểu thức:
Gỉai

Câu 9.Rút gọn biểu thức:
Gỉai

Câu 10. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

LOẠI 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC CĂN THỨC, QUY ĐỒNG
• PP QUY ĐỒNG
Câu 1 .Rút gọn biểu thức
GIẢI

Câu 2. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

Câu 3. Rút gọn biểu thức :
Gỉai


Câu 4. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

Câu 5. Rút gọn biểu thức sau
Gỉai

• PP ĐẶT THỪA SỐ CHUNG
Câu 1. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

Câu 2. Tính:
Giải.

PP LIÊN HỢP VÀ ĐẶT THỪA SỐ CHUNG

Câu 1. Rút gọn biểu thức :
Giải.

CÂU 2: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:
Gỉai

CÂU 3.Cho . Tính giá trị của biểu thức bằng cách rút gọn hoặc biến đổi thích hợp
GIẢI
Ta có:


Câu 4. Rút gọn biểu thức:
Gỉai

Câu 5. Rút gọn biểu thức :
Giải.


Câu 6. Rút gọn biểu thức sau:
Giải.


LOẠI 4 KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HĐT TRONG CĂN
Câu 1.Cho biểu thức : . Rút gọn M.
Gỉai


Câu 2. Rút gọn biểu thức
Gỉai


Câu 3. Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức:
Giải.
Ta có
Câu 4. Thu gọn biểu thức
Giải.

Câu 5.Rút gọn biểu thức :
Giải.
Rút gọn biểu thức

Câu 6: Rút gọn biểu thức sau:


Câu 7.Tính giá trị biểu thức:
GIẢI

Đặt
Mặt khác:


Ta có:

Vậy B=2


RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ

VÍ DỤ.Rút gọn biểu thức với
Gỉai



A= -7
• PP ÁP DỤNG HĐT
Câu 1.Rút gọn biểu thức với ab ≠ 0
Gỉai

Câu 2.Rút gọn biểu thức: (với a0;a1)
Gỉai
Với a0 a1 ta có:


Câu 3.Rút gọn biểu thức với 2 ≤ x < 3
Gỉai
với 2 ≤ x < 3

(Vì 2 < x < 3 => – 1 < 0)
Câu 4. Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1
Giải.
a) với x ≥ 0, x ≠ 1

Câu 5
Cho biểu thức (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1 khi
GIẢI
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có

Ta có thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
Có . Thay vào biểu thức A – 1 ta được:

Câu 6.Cho biểu thức:
Rút gọn D.

• Nếu
• Nếu
LH CÂU 33. Cho biểu thức ( với x>0;x1)
1) Rút gọn biểu thức Q .
2) Tìm các giá trị của x để Q  1.
GIẢI

1) (1,0 điểm)
Với điều kiện x  0 và x  1, ta có



2) (0,5 điểm) Với x  0 và x  1, ta có
Do đó


Vậy với thì Q= -1

• PP ÁP DỤNG QUY ĐỒNG
Câu 1. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

Câu 2. Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1
Gỉai
Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có:

Vậy B =
Câu 3.Rút gọn biểu thức: với và

Câu 5.Cho biểu thức G =.Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.
Điều kiện và

Câu 6.Cho biểu thức: điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P
Có

Câu 9.Rút gọn biểu thức với x  0 và x  4
Với x  0 và x  4 ta có:

Câu 10. với x > 0 và x ≠ 4..Rút gọn biểu thức

Câu 11.Rút ngắn biểu thức:

ĐK:

Câu 12.Rút gọn các biểu thức sau: với x > 0 và x ≠ 4.

Câu 13: Cho biểu thức (với a và a1).Rút gọn biểu thức A.
Giải.

Câu 15. Rút gọn biểu thức :

Câu 16. Rút gọn các biểu thức:
Giải.

Câu 17.Rút gọn các biểu thức: với x > 0, x  1.

Câu 18.Rút gọn biểu thức: với x>0
Với x > 0 có

Câu 19.Cho biểu thức: Với a>0;a 1;a4
Rút gọn P

Câu 20.Rút gọn biểu thức:
Rút gọn biểu thức:
=
=
=
Câu 21. Rút gọn biểu thức với x ≥ 0 và x ≠ 1
Với x  0 và x  1 ta có:




Câu 22. Cho biểu thức
với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 4 Rút gọn P
GIẢI
Ta có:

Vậy
Câu 23.
Cho biểu thức. Rút gọn biểu thức P
GIẢI
Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4

Câu 24.Rút gọn các biểu thức sau:

GIẢI
1. Ta có:


CÂU 25.
a/ Rút gọn
b/ Tìm x để Q < 0
GIẢI
a) Với x > 0, x ≠ 9, x ≠ 25 ta có:

b) Với x > 0 thì
Do đó

Kết hợp với điều kiện, ta có Q < 0 ⇔
Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0;25)\{9}
**Câu 26. Cho biểu thức A:
Rút gọn biểu thức A.
Với x>0;x4 , biểu thức có nghĩa ta có:
.
• PP LÀM XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG Ở TỬ HOẶC MẪU RỒI ĐƠN GIẢN HAY QUY ĐỒNG

Câu 1.Rút gọn biểu thức với x > 0, x  2
Với điều kiện đã cho thì

Câu 2.Chứng minh rằng: ; với x>0;y0 và x y

Câu 3. Rút gọn biểu thức:

với a,b, là số dương.
Câu 4. Rút gọn biểu thức với a ≥ 0, a ≠ 25
với a ≥ 0, a ≠ 25

Câu 5. Rút gọn biểu thức: với a ≥ 0; a ≠ 1
Với a ≥ 0, a ≠ 1 ta có

Câu 6. Rút gọn biểu thức: với
với

Câu 7. Rút gọn biểu thức: với
với

Câu 8. Rút gọn các biểu thức sau (trình bày rõ các bước biến đổi):

với
với



Câu 9. Cho biểu thức
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.
ĐKXD:



Câu 10.Cho biểu thức
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
Giải.
Điều kiện

Câu 11. Cho biểu thức
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
Giải.
ĐKXĐ : x 0 , x  4 (0,5 đ)
Rút gọn:
(
Câu 12. Cho biểu thức .Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
Giải.

Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9

Câu 13. Cho biểu thức (với x > 0 và x ≠ 4).
Chứng minh rằng

Câu 14.Chứng minh rằng với x  0 và x  1 thì
Với x  0 và x  1 ta có

Câu 15.Rút gọn biểu thức: Với x > 0; x ≠ 1.
Ta có:

Kế t luận:
Câu 16. Rút gọn biểu thức: Với x > 0; x ≠ 1.
Ta có:

Câu 17. Cho biểu thức với x > 0 và x khác 1
Chứng minh rằng

Câu 18. Cho biểu thức với x>0, x  4. Rút gọn biểu thức Q.
Giải.
Với

Câu 19. Với x > 0, cho biểu thức . Rút gọn biểu thức B.
Giải.


Câu 20: Rút gọn các biểu thức

với x>0 và x khác 4
Giải.


Câu 21. Rút gọn biểu thức
Với x>0 và x khác 36

Câu 22. Rút gọn: với x>0 và


Câu 23. Rút gọn biểu thức với x > 0; x ≠ 4.
x > 0 và x khác 4 có

Câu 24. Cho biểu thức với x > 0 và x khác 1.
Rút gọn biểu thức A.

Vậy A=
Câu 25. Cho biểu thức: với x.Rút gọn biểu thức P.
Với x ta có:





Vậy với x thì P=
Câu 26. Rút gọn biểu thức:
Giải.

Đặt ĐK x khác 4 , khử căn thức ở mẫu số bằng biểu thức liên hợp

Câu 27. Cho biểu thức: (với x > 0 và x ≠ 1)
Rút gọn biểu thức A
Giải.

Câu 28. Cho biểu thức: với x > 0;x1
Rút gọn A.

Câu 29. Cho biểu thức (với a  0 và a  1)
Rút gọn P
Giải.
Rút gọn P


Câu 30. Thu gọn các biểu thức sau:
với

Giải.
Với x 0;x9


Câu 31. Rút gọn biểu thức: với x > 1, x ≠ 1.
Giải.
Với x > 1, x ≠ 1, ta có:

Câu 32.Thu gọn các biểu thức sau:

Với x0;x4 ta có :

Câu 33.Cho hai biểu thức và với x ≥ 0, x ≠ 9
Chứng minh


Câu 34.
Cho
a) Rút gọn P
b) Đặt Chứng minh Q > 1
GIẢI
a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:

b) Có
Xét
Vì

CÂU 35. Cho biểu thức với x > 0; x  9
Rút gọn biểu thức P
GIẢI

CÂU 36. Rút gọn biểu thức với a>0; 4
GIẢI
với a>0; 4

CÂU 37: Cho biểu thức: .Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
GIẢI
1/Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa, rút gọn C.
+Biểu thức C có nghĩa khi
+Rút gọn biểu thức C

CÂU 38. Cho biểu thức , với a > 0.Rút gọn A.
GIẢI
Ta có: (với a>0)


Câu 39
Cho biểu thức: , với x > 0.Rút gọn biểu thức A.
GIẢI
Ta có

Câu 40. Cho biểu thức với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1
GIẢI
Với 0 < a < 1 ta có:

CÂU 41: Cho biểu thức:
1.Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
2.Tìm giá trị của biểu thức C khi
GIẢI
1/Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa, rút gọn C.
+Biểu thức C có nghĩa khi
+Rút gọn biểu thức C

CÂU 42. Cho biểu thức: , với x > 0.Rút gọn biểu thức A.
GIẢI

CÂU 43. Cho biểu thức: .Rút gọn biểu thức P.

=
=
=

CÂU 44.Rút gọn biểu thức:
GIẢI
1. Ta có:

Vậy A=
Câu 45
Cho
a) Rút gọn P
b) Đặt Chứng minh Q > 1
GIẢI
a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:

Câu 46. Cho biểu thức ( với x>0;x1).Rút gọn biểu thức Q .
GIẢI
Với điều kiện x  0 và x  1, ta có



Với x  0 và x  1, ta có
Do đó


Vậy với thì Q= -1
Câu 47:
Cho biểu thức: .Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa, khi đó rút gọn A
GIẢI

a) Để A có nghĩa, điều kiện là:

Với điều kiện trên, ta có:

Vậy A = với x ≥ 0 và x ≠ 4.
CÂU 48. Cho biểu thức: với .Rút gọn biểu thức B
GIẢI




CÂU 49
Cho biểu thức (x > 0, x ≠ 4).Rút gọn biểu thức A.
GIẢI
1. Với x > 0, x ≠ 4 ta có:

Câu 50
Cho biểu thức (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1 khi
GIẢI
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có

Ta có thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
Có . Thay vào biểu thức A – 1 ta được:

Câu 51.
Rút gọn biểu thức:
GIẢI






CÂU 52.
Cho biểu thức: .Rút gọn biểu thức P.
GIẢI

=
=
=


Câu 53.
Cho biểu thức:
Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa, khi đó rút gọn A

GIẢI

Để A có nghĩa, điều kiện là:

Với điều kiện trên, ta có:

Vậy A = với x ≥ 0 và x ≠ 4.
Câu 54.
Cho biểu thức: với .Rút gọn biểu thức B
GIẢI
Ta có:

b)


CÂU 55
Cho biểu thức (x > 0, x ≠ 4)
Rút gọn biểu thức A.

GIẢI











CÂU 56. Rút gọn biểu thức:
GIẢI






CÂU 57
Cho biểu thức: (Với x > 0)
Rút gọn biểu thức P
GIẢI

(thỏa mãn ĐKXĐ)

CÂU 58
Cho biểu thức Rút gọn A.
GIẢI
Với a ≥ 0, a ≠ 4, a ≠ 9, ta có:


CÂU 59.
Cho biểu thức .Rút gọn A.
GIẢI



CÂU 60.
Cho biểu thức (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1 khi
GIẢI
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có

Ta có thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
Có . Thay vào biểu thức A – 1 ta được:
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO ĐẶC BIỆT
CÂU 1. Cho biểu thức với a > 0, b > 0, a ≠ b.
1. Chứng minh
2. Giả sử a, b thay đổi sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
GIẢI
Ta có:

Vậy .
CÂU 2.
Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab  1, a +b  0 . Tính giá trị của biểu thức:

GIẢI
Với ab  1 , a + b  0, ta có:

Vậy P  1, với ab  1 , a+b  0.

Câu 3.
Cho các số thực dương a, b ; a  b.Chứng minh rằng

GIẢI

CÂU 4.Cho các số dương x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 2 và x2 + y2 + z2 = 2.
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z:

GIẢI


Xét
Thay x + y + z = 2 và x2 + y2 + z2 = 2 ta có xy + yz + zx = 1.
Thay 1 = xy + yz + zx ta có:

Tương tự ta có:

Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta có

Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào x, y, z.

CÂU 5.
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0.
Tính giá trị biểu thức
GIẢI
Ta có

Tương tự:

Mà


BT LAM THÊM
Câu 1: Rút gọn các biểu thức:
a) A =
b) B = ( với x > 0, x 4 ).
Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
b) B = ( với a > 0, b > 0, a b)
Câu 3: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 4: a) Rút gọn biểu thức: A = với .
Câu 5: Rút gọn các biểu thức:
a) A =
b) B = , với 0 < x < 1
Câu 6: 1) Rút gọn biểu thức:
với a ≥ 0 và a ≠ 1.
Câu 7: Tính gọn biểu thức:
1) A = .
2) B = với a ≥ 0, a ≠ 1.
Câu 8: Cho biểu thức: P = với a > 0, a  1, a  2.
1) Rút gọn P.
2) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Câu 9: Cho biểu thức
P = với x ≥ 0, x ≠ 4.
1) Rút gọn P.
2) Tìm x để P = 2.
Câu 10: Cho M = với .
a) Rút gọn M.
b) Tìm x sao cho M > 0.
Câu 11: Cho biểu thức: K = với x >0 và x1
Rút gọn biểu thức K
Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2
Câu 12: Rút gọn các biểu thức:
1) .
2) với x > 0.
Câu 13: Cho các biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh: A - B = 7.
Câu 14: Rút gọn các biểu thức :
a) A =
b) B = với
Câu 15: Cho biểu thức: P = với a > 0, a  1 1) Rút gọn biểu thức P. Tìm a để P > - 2
Câu 16. Rút gọn:
A =
B = với .
Câu 17. Cho biểu thức A = với a > 0, a  1
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của A khi .
Câu 18: Cho biểu thức P = với x > 0.Rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị của x để P > .
Câu 19: Rút gọn các biểu thức sau:
1) A =
2) B =
Câu 20: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1.
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 21: Cho biểu thức P = với a > 0 và a 9.
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của a để P > .
Câu 22. Rút gọn biểu thức P = với .
Câu 23: Tính:
a) .
b) .
c) với x > 1
Câu 24: 1) Rút gọn biểu thức: P = .
Câu 25: Cho biểu thức A =với a > 0, a  1. Rút gọn biểu thức A.
Câu 26: Rút gọn biểu thức: P = với a > 1
Câu 27: Cho biểu thức: Q = Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
Câu 28: Rút gọn A = với .
Câu 29: a) Tính .
b) Giải phương trình: x2 + 2x - 24 = 0.
Câu 30: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 9.
a) Rút gọn.
b) Tìm a để P < 1.
Câu 31: Cho biểu thức: M =
Rút gọn biểu thức M với
Câu 32: Cho biểu thức: P = với x > 0.Rút gọi biểu thức P.
Câu 33:
Tính:
Rút gọn biểu thức: P= với x1 và x >0
ĐÁP ÁN
Câu 1:


Câu 2:

Câu 3:

b) A < 0 .
Câu 4: a) A =

, với .
Câu 5:

b)
Vì 0 < x < 1 nên .
Câu 6: 1) Rút gọn
A =
=
Câu 7: Rút gọn biểu thức
1) A = =
= = 15
2) B = với a ≥ 0, a ≠ 1
= = (1 + ) (1 - ) = 1 - a
Câu 8:
1) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2
Ta có:

Câu 9: 1) Ta có :
P = =
=
=
Câu 10: a) M =
=
=
= .
Câu 11:
1) K = =
2) Khi x = 4 + 2, ta có: K = - 1 =
Câu 12: Rút gọn biểu thức:
1) =
= = 4
2) =
= = 2
Câu 13: a) A =
b) B = .
Vậy A - B = = 7, đpcm.
Câu 14: a) .
b) Ta có:

Câu 15.
1) A = .
2) B = .
Câu 16.
1) Ta có A = = .
Câu 17:
1)
.
2) Với x > 0 thì .
Vậy với thì P > .
Câu 18:
1) A = = = .
2)

Câu 19.
1)
2) A < 0 .
Câu 20:
a) P = .
= . Vậy P = .
b) Ta có: > + 3 < 4 < 1 .
Vậy P > khi và chỉ khi 0 < a < 1.
Câu 21. 1) Ta có và
nên P = .
Câu 22: Tính
a) A = =
= .
b) B =


c) C = với x > 1
C =
+) Nếu x > 2 thì C =
+) Nếu x < 2, thì C = .
Câu 23: 1) P =
= .
Câu 24: a) A =
= .
= .
b) a = 2011 - 2
Vậy A = .
Câu 25: P =
Nếu a> 2 =>
Nếu 1< a < 2 => < 0 => P = 2
Câu 26: ĐKXĐ: x > 0; x 1.
1) Q = .
2) Q = - 3 => 4x + 3 - 1 = 0 (thỏa mãn)
Câu 27: A = =
Câu 28: a) P =
=
=
Vậy P = .
b) P < 1 .
Câu 29: M = + x + 1
=
= x - - x - + x + 1 = x - 2 + 1 = ( - 1)2
Câu 30:
a) Ta có x2 +
nên P =
= . Vậy P = .

b) P = 0 x - = 0 ( - 1) = 0 x = 0 (loại) ; x = 1 (t/m)
Vậy x = 1 thì P = 0
Câu 31:
1) Tính: =
=
2) Rút gọn biểu thức: P =
= = =