CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ
I. VECTƠ PHÁP TUYẾN. CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến
Cho mặt phẳng

. Nếu vectơ

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Ở Hình, vectơ

khác

và có giá vuông góc với mặt phẳng

.

Nhận xét: Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì
của mặt phẳng đó.

Vectơ

có giá là trục

mặt phẳng

được gọi

.

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ
Giải

thì

cũng là vectơ pháp tuyến

, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

và

nên

.

là một vectơ pháp tuyến của

.

2. Cặp vectơ chỉ phương
Cho mặt phẳng

. Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng

được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

.

Ví dụ 2: Quan sát Hình.

a)

có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (

hay không? Vì sao?

b)

có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (

hay không? Vì sao?

Giải
a) Do hai vectơ
nên

không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng

là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

b) Do hai vectơ
nên

.

không cùng phương và có giá cùng song song với mặt phẳng

là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (

.

3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vectơ chỉ phương

Nếu hai vectơ

là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Ví dụ 3: Cho mặt phẳng

có cặp vectơ chỉ phương là

Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

thì

.

.
.

Giải

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

là:

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Trong trường hợp tổng quát, ta có:
- Trong không gian với hệ tọa độ

, mỗi mặt phẳng

, trong đó

không đồng thời bằng 0.

- Ngược lại, mỗi phương trình

, trong đó

đều xác định một mặt phẳng trong không gian với hệ toạ độ
Phương trình
của mặt phẳng. Hệ số

có phương trình dạng

không đổng thời bằng 0,
.

không đồng thời bằng 0 là phương trình tổng quát
gọi là hệ số tụ do của phương trình tổng quát.

Nhận xét
Ta có thể chứng minh được rằng nếu mặt phẳng
trong đó
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

có phương trình tổng quát là

không đồng thời bằng 0, thì vectơ

là một

.

Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Giải
Ta thấy chỉ có phương trình

là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Chọn D

Ví dụ 5: Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Giải

:

Ta có:
Mặt phẳng

.
nhận

làm vectơ pháp tuyến.

III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG BIẾT MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN

1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp
tuyến
Mặt phẳng
đi qua điểm
trình tổng quát là:

và nhận

làm vectơ pháp tuyến có phương

Chú ý: Mặt phẳng

đi qua điểm

và nhận

làm vectơ pháp tuyến có

phương trình là:
Ví dụ 6: Lập phương trình mặt phẳng
Giải
Phương trình mặt phẳng

đi qua điểm

và nhận

làm vectơ pháp tuyến.

là:

.

2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ
phương
Để lập phương trình mặt phẳng
có thể làm như sau:
Bước 1. Tìm

đi qua điểm

đi qua điểm

Lập phương trình mặt phẳng

nhận

đi qua điểm

làm vectơ pháp tuyến.

có cặp vectơ chỉ phương là

.

Giải

Xét vectơ

, tức là

tuyến của mặt phẳng
Vậy mặt phẳng

, ta

.

Bước 2. Lập phương trình mặt phẳng
Ví dụ 7:

có cặp vectơ chỉ phương là

. Khi đó,

là vectơ pháp

.

có phương trình là:

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Để lập phương trình mặt phẳng
thẳng hàng, ta có thể làm như sau:

đi qua ba điểm

Bước 1. Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

,

là:

không

Buớc 2. Tìm

.

Buớc 3. Lập phương trình mặt phẳng
Ví dụ 8: Lập phương trình mặt phẳng
Giải
Ta có:

đi qua điểm

đi qua ba điểm

và

, tức là
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vậy mặt phẳng

.

.

.

có phương trình là:

Ví dụ 9: Cho ba điểm

với

. Viết phương trình mặt phẳng

Giải
Ta có:

.

Xét vectơ

tức là
Do

làm vectơ pháp tuyến.

.

Xét vectơ
Khi đó,

nhận

nên

Vậy mặt phẳng

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
có phương trình là:

.
.

.

Chú ý: Mặt phẳng đi qua ba điểm

với

có phương trình là:

Phương trình đó còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ 10: Khối rubik được gắn vởi hệ toạ độ

có đơn vị bằng độ dài cạnh hình lập phương nhỏ. Xét

bốn điểm

và

.

a) Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
b) Bốn điểm

.

có đồng phẳng hay không?

Giải

a) Phương trình mặt phẳng
b) Thay tọa độ của điểm
không thuộc mặt phẳng
Vậy bốn điểm

là:
vào vế trái của phương trình (*), ta có:

. Suy ra điểm

.
không đồng phẳng.

IV. ĐIỀU KIỆN SONG SONG, VUÔNG GÓC CỦA HAI MẶT PHẲNG, GÓC CỦA HAI MẶT
PHẲNG

1. Điều kiện song song của hai mặt phẳng
Cho mặt phẳng

có phương trình tổng quát là

phương trình tổng quát là
Gọi

và mặt phẳng

có

.
lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

.

Khi đó:

khi và chỉ khi tồn tại số thực

sao cho

.

Ví dụ 11: Cho hai mặt phẳng

Chứng minh rằng

.

Giải
Hai mặt phẳng
Vì

có vectơ pháp tuyến

và

nên

.

2. Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng

có phương trình tổng quát là

phương trình tổng quát là

và mặt phẳng
. Khi đó:

3. Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ

, cho hai mặt phẳng

có vectơ pháp tuyến lần lượt là

.
Khi đó, ta có:

Ví dụ 12: Cho hai mặt phẳng
Tính góc giữa hai mặt phẳng

và
và

.

.

có

Giải
Do

và

có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là

Suy ra

nên

.

Ví dụ 13: Cho hai mặt phẳng

Chứng minh rằng

.

Giải
Hai mặt phẳng

có vectơ pháp tuyến lần lượt là

Vì

nên

.

. Vậy

.

V. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Một cách tổng quát, ta có:
Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng
được

:
tính

theo

công

thức:

.
Ví dụ 14: Cho mặt phẳng
mặt phẳng
Giải

và điểm

. Tính khoảng cách từ điểm

.

Khoảng cách từ điểm

Ví dụ 15: Cho mặt phẳng

đến mặt phẳng

là:

và mặt phẳng

.

đến

a) Chứng minh rằng

.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

.

Giải
a) Ta có

lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng
. Do

nên

b) Chọn điểm

.

. Suy ra khoảng cách từ điểm

Do khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
giữa hai mặt phẳng song song

bằng

,

bằng

đến mặt phẳng

là:

nên khoảng cách

.

VI. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG THỰC TIỄN
Phương trình mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như trong thiết kế xây dựng, tính toán
các yếu tố kĩ thuật,... Ta sẽ tìm hiểu qua một số ví dụ sau đây.
Ví dụ 16: Hình minh hoạ hình ảnh hai mái nhà của một nhà kho trong không gian với hệ tọa độ
(đơn
vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất.

a) Lập phương trình của hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà.
b) Tìm toạ độ của điểm
c) Tìm toạ độ của vectơ
Giải

.
.

a) Hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà là
- Do mặt phẳng
vectơ pháp tuyến là:

Mà mặt phẳng

và

.

có cặp vectơ chỉ phương là

đi qua điểm

- Do mặt phẳng
vectơ pháp tuyến là:

Mà mặt phẳng

nên có một

nên có phương trình là:

có cặp vectơ chỉ phương là

đi qua điểm

nên có một

nên có phương trình là:

b) Vì các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất nên với hệ toạ độ trên ta có
.
Do điểm

thuộc mặt phẳng

nên tọa độ của điểm

thoả mãn:

Do điểm

thuộc mặt phẳng

nên toạ độ của điểm

thoả mãn

Ta có hệ phương trình:
Vậy
c) Với

.

.
và

ta có:

Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ

.
(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang

ở vị trí
và sẽ hạ cánh ở vị trí
a) Sau bao nhiêu phút máy bay từ vị trí
trên quãng đường

trên đường băng.
hạ cánh tại vị trí ? Biết tốc độ của máy bay là

(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút).

b) Có một lốp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng

đi qua ba điểm

,

. Tính độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.
Giải
a) Ta có:

.

Do đó, thời gian để máy bay từ vị trí

b) Giả sử điểm

hạ cánh tại vị trí

là:

là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, suy ra

. Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta thấy mặt phẳng

Mặt khác, vì

Vì

là hai vectơ cùng hương nên tồn tại số thực

nên

Vậy tại vị trí

có phương trình là:

sao cho

. Suy ra
, độ cao của máy bay là

. Do

.

.

TỔNG QUÁT LẠI HỌC SINH CẦN GHI NHỚ CÁC VẪN ĐỀ NGẮN GỌN
→

→

1) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ n ≠0 được gọi là VTPT của mp( α ) nếu nó nằm trên
→

đường thẳng vuông góc với mp( α ) , viết tắt là n ⊥( α )

2) Tích có hướng của hai vectơ.

Cho

,

không cùng phương

3) PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MP( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
→

với A + B + C ¿ 0 ta có VTPT n =( A ; B ; C)
4) CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG.
2

2

2

(α ): ¿ {qua M ( x ; y ; z ) ¿ ¿ ¿

0
0
0
0
Mặt phẳng
5) CÁC DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP.
a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương:
Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
chỉ phương

đi qua điểm

và có cặp vectơ

, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến

.

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
b) Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng.
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:
Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương

đi qua ba điểm

không thẳng hàng,

.

Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến

.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm (hoặc điểm hoặc điểm ) và có
vectơ pháp tuyến .
c) Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng. Mp( α ) cắt Ox tại A(a ; 0 ; 0), cắt Oy tại
B(0 ; b ; 0), cắt Oz tại C(0 ; 0 ; c) có phương trình là:
6) HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC.
Cho 2 mặt phẳng
tuyến lần lượt là
Khi đó:
7) HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.
Điều kiện để hai mặt phẳng song song:

và
.

có vectơ pháp

Khi đó:
Hay
Lưu ý : Hai mặt phẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến.
8) KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG.
Cho mp( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(x0 ; y0 ; z0 ). Khi đó:
|Ax0 + By0 +Cz 0 + D |
d(M, ( α ) ) =

√ A 2+B2+C 2

.

là công thức tính khoản cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
BÀI TẬP TỰ LUẬN.

1) Trong không gian

mặt phẳng

song song với giá của hai vectơ

. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
2) Trong không gian

mặt phẳng

.

song song với giá của hai vectơ

. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
3) Trong không gian

mặt phẳng

.

song song với giá của hai vectơ

. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
4) Trong không gian
phẳng (ABC)

, cho

5) Trong không gian
phẳng (ABC)

, cho

6) Trong không gian
mặt phẳng (ABC)

, cho

7) Trong không gian

, Cho mp (P) :

và

.
. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt

và

. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt
và

a)Hãy chỉ ra một vec tơ pháp tuyến của mp (P). b) Vec tơ
pháp tuyến của (P) hay không?
c) Trong hai điểm
8) Trong không gian

có phải là vectơ

, điểm nào thuộc mp (P)
, Cho mp (Q) :

a)Hãy chỉ ra một vec tơ pháp tuyến của mp (Q). b) Vec tơ
pháp tuyến của (Q) hay không?
c) Trong hai điểm
9) Trong không gian

. Tìm vectơ pháp tuyến của

, điểm nào thuộc mp (Q).
, Cho mp (Q) :

.

có phải là vectơ

a) Điểm
có thuộc mặt phẳng (Q) không?
b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (Q).
LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG.
10)Lập phương trình mặt phẳng (P) biết
a) (P) đi qua điểm
b) (P) đi qua điểm

và nhận
và nhận

c) (P) đi qua điểm
và nhận
11)Viết phương trình mặt phẳng (Q) biết :
a)(Q) đi qua điểm

là VTPT .
là VTPT .
là VTPT .

và vuông góc với trục Ox.

b) (Q) đi qua điểm

và vuông góc với trục Ox.

c) (Q) đi qua điểm

và vuông góc với trục Oy.

d) (Q) đi qua điểm

và vuông góc với trục Oy.

e) (Q) đi qua điểm

và vuông góc với trục Oy.

f) (Q) đi qua điểm

và vuông góc với trục Oz

g) (Q) đi qua điểm
và vuông góc với trục Oz
TÌM VÉC TƠ PHÁP TUYẾN SỬ DỤNG TÍCH CÓ HƯỚNG
LẬP PTTQ ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ CÓ CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG.
12) a)Trong không gian

. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

đi qua điểm

và có cặp véctơ chỉ phương là
b)Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

đi qua điểm

và có cặp véctơ

đi qua điểm

và có cặp véctơ

chỉ phương là
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
chỉ phương là
13) a)Cho các điểm
và
. Viết phương trình của mặt phẳng
qua điểm A đồng thời song song với trục Ox và đường thẳng BC.

đi

b)Cho các điểm
và
. Viết phương trình của mặt phẳng
qua điểm A đồng thời song song với trục Ox và đường thẳng BC.

đi

c) Cho các điểm
và
. Viết phương trình của mặt phẳng
qua điểm B đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng AC.
LẬP PT TỔNG QUÁT ĐI QUA 3 ĐIỂM KHÔNG THẲNG HÀNG

đi

14)Trong không gian

, viết phương trình mặt phẳng

.

a) Với ba điểm

.

b) Với ba điểm

.

c) Với ba điểm
.
LẬP PTTQ CỦA MP ĐI QUA 1 ĐIỂM, SONG SONG VỚI TRỤC VÀ VUÔNG GÓC
VỚI 1 MP
15)a)Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

đi qua điểm

, song song với trục

đi qua điểm

, song song với trục

đi qua điểm

, song song với trục

Ox và vuông góc với mp (Q):
b)Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
Oy và vuông góc với mp (Q):
c)Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

Oz và vuông góc với mp (Q):
.
LẬP PTTQ CỦA MP ĐI QUA 2 ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI 1 MP
16)Viết phương trình mặt phẳng

biết

:

a) Đi qua 2 điểm

và

b) Đi qua 2 điểm

và

vuông góc với mp (Q):
vuông góc với mp (Q):

c) Đi qua 2 điểm

và
vuông góc với mp (Q):
LẬP PTTQ CỦA MP ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI 2 MP
17)Viết phương trình mặt phẳng
a) Đi qua điểm

biết

.

:

và vuông góc với 2 mp (Q):

và

(R):
b) Đi qua điểm

và vuông góc với 2 mp (Q):

và

(R):
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU.
18) Hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không ?
a) (P):

,

(Q):

.

b) (P):
,
(Q):
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU.
19)Cho hai mặt phẳng (P):
,
(Q):
a) Hỏi (P) và (Q) có song song với nhau hay không?
b) Chứng minh điểm M(1;-3;5) không thuộc mp (P) nhưng thuộc mp (Q).

.

c) Viết pt mp

đi qua M(1;-3;5) và song song với (P)

20)Cho hai mặt phẳng (P):
,
(Q):
d) Hỏi (P) và (Q) có song song với nhau hay không?
e) Chứng minh điểm M(1;-2;-6) không thuộc mp (P)

.

f) Viết pt mp

đi qua M(1;-3;5) và song song với (P)
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG.
21) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a)

, mặt phẳng

b)

, mặt phẳng

c)

, mặt phẳng

22) Cho
và mp (Q):
a) Chứng minh 2 mp (P) và (Q) song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên.
23)Cho
và mp (Q):
a) Chứng minh 2 mp (P) và (Q) song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên.
BT TRẮC NGHIỆM
24)Trong không gian với hệ toạ độ
A.

.

B.

25)Trong không gian
A.

. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)
.

C.

.

, mặt phẳng
.

B.

D.

.

đi qua điểm nào dưới đây:
.

C.

.

D.

26)Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng (P) có phương trình
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:
A.

.

B.

27)Trong không gian

.

C.

, cho mặt phẳng

.

.

D.

. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

là:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

28)Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng (P) có phương trình
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

.
.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

VIẾT PHƯỜNG TRÌNH MẶT PHẲNG.
PT MẶT PHẲNG ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ CÓ VECTƠ PHÁP TUYẾN CHO TRƯỚC
29)Trong không gian với hệ toạ độ
nhận

. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

và

là VTPT có phương trình là:

A.

B.

C.

D.

30)Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
trình là:
A.

và nhận

B.

là VTPT có phương

C.

D.

PT MẶT PHẲNG ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI 1 ĐƯỜNG THẲNG.
31)Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng
.

B.

.

C.

.

D.

.

32)Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng
.

C

B.
.

D.

.

, mặt phẳng đi qua điểm
.

và vuông góc với

B.

C.

.

34)Trong không gian với hệ trục toạ độ
có phương trình là: A.

.

. Mặt phẳng đi qua
B.

.

35)Trong không gian với hệ trục toạ độ
trục

.

.

đường thẳng OG có phương trình là: A.
.

và
là:

D.

33)Trong không gian với hệ toạ độ

.

là:

A.

A.

và

có phương trình là: A.

và vuông góc với trục

C.

.

D.

. Mặt phẳng đi qua
.

B.

.

.
và vuông góc với

C.

TÌM VÉC –TƠ PHÁP TUYẾN SỬ DỤNG CT TÍCH CÓ HƯỚNG

.

D.

PT MẶT PHẲNG

ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ CÓ CẶP VTCP

Khi đó một vtpt của () là
36)Trong không gian với hệ toạ độ
song với giá của hai vectơ
A.

, cho mặt phẳng
và

đi qua điểm

. Phương trình của mặt phẳng

.B.

. C.

37)Trong không gian với hệ toạ độ

và song
là:

. D.

, mặt phẳng đi qua điểm

.

và nhận

và

làm cặp vectơ chỉ phương, có phương trình là:
A.

B.

C.

D.

PT MẶT PHẲNG ĐI QUA 2 ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI 1 ĐƯỜNG THẲNG.
38)Trong không gian với hệ toạ độ

, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm

và song song với trục Ox là: A.

39)Trong không gian với hệ toạ độ

B.

C.

, cho mặt phẳng

D.

đi qua hai điểm

và song song với trục Ox. Phương trình nào là phương trình tổng quát của
A.

.

B.

.

C.

40)Mặt phẳng chứa hai điểm
A.

.

.

D.

:

.

và song song với trục Ox có phương trình:
B.

C.

.

D.

.

PT MẶT PHẲNG ĐI QUA 3 ĐIỂM KHÔNG THẲNG HÀNG.
41)Trong không gian với hệ toạ độ
vectơ pháp tuyến
A.

, cho ba điểm

của mặt phẳng
.

B.

42)Trong không gian với hệ toạ độ

,

,

. Một

là:
.

C.

.

D.

. Mặt phẳng (P) đi qua các điểm

.
,

,

có phương trình là:
A.

. B.

. C.

. D.

.

43)Trong không gian với hệ toạ độ
trình mặt phẳng
A.

, cho ba điểm

,

,

. Phương

là:
.

B.

.

44)Trong không gian với hệ toạ độ

C.

.

D.

.

, mặt phẳng nào có phương trình sau đây là mặt phẳng

đi qua 3 điểm

?
B.

A.
45)Trong hệ toạ độ

C.

D.

cho 3 điểm
.

A.

. Mặt phẳng

B.

.

C.

có pt là:

. D.

PT MẶT PHẲNG ĐI QUA 2 ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI 1 MẶT PHẲNG.
46)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
và vuông góc với mặt phẳng
A.

. Phương trình mặt phẳng

. B.

47)Trong không gian với hệ toạ độ

.

C.

,
là:

. D.

.

, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm

và vuông góc với mặt phẳng

là:

B.

A.

đi qua

C.

D.

PT MẶT PHẲNG ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI 2 MẶT PHẲNG.
a
A 2; - 1;5)
48)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , ( ) là mặt phẳng đi qua điểm (
và vuông góc
P : 3x - 2 y + z + 7 = 0
Q : 5 x - 4 y + 3z +1 = 0
a
với hai mặt phẳng ( )
và ( )
. PT mặt phẳng ( ) là:

A. x + 2 y + z - 5 = 0 .

B. 2 x - 4 y - 2 z - 10 = 0 .

C. 2 x + 4 y + 2 z +10 = 0 .
49)Trong không gian với hệ toạ độ

D. x + 2 y - z + 5 = 0
, phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ , đồng thời

vuông góc với cả hai mặt phẳng
A.

.

B.

50)Trong không gian với hệ toạ độ
thời vuông góc với cả hai mặt phẳng

và
.

là:

C.

.

D.

.

, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(3;-1;-5) , đồng
và

là:

A.

.

B.

.

C.

.D.

.

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU.
51)Trong không gian
góc với

, cho mặt phẳng

. Mặt phẳng nào sau đây vuông

?

A.

.

C.

B.

.

.

D.

52)Giá trị của m để 2 mặt phẳng
nhau là:
A.6. .
B.-4. .
53)Giá trị của m để 2 mặt phẳng
nhau là:
A.-5.
B.3. .

.
,

vuông góc với

C.1.

D.2.
,

vuông góc với

C.1.

D.-1.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI MỘT MẶT
PHẲNG.
54)Trong không gian

mặt phẳng đi qua điểm

và song song với mặt phẳng

là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

55)Trong không gian với hệ toạ độ

, mặt phẳng đi qua

, song song với mặt phẳng

có phương trình:
A.

.

C.

.

56)Trong không gian
phẳng

B.

đi qua

.

D.
, cho điểm

.
và mặt phẳng

và song song với mặt phẳng

A.

B.

C.

D.

có phương trình:

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG.

. Mặt

57)Trong không gian với hệ toạ độ

, khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

là:
A.

3.

B.

2.

58)Khoảng cách từ điểm
A.6

là:

.

59)Khoảng cách từ điểm

C. 1.
đến mặt phẳng

B.

.

phẳng:

là:

,tọa độ điểm

và
.

.

nằm trên trục

C.

, cho

,

và cách đều hai mặt

62) Trong không gian với hệ toạ độ

.

D.

.

. Tìm tất cả các giá trị của tham số

cho khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
A.
.
B.
.

C.

, gọi

sao

bằng độ dài đoạn thẳng
D.
.

.

là mặt phẳng song song với mặt phẳng

và cách điểm
phẳng

D.1.

là:

B.

61)Trong không gian

D.

C. 2.

60)Trong không gian với hệ toạ độ

A.

D. 11.

đến mặt phẳng
B.

A.6

C. 1.

một khoảng

. Phương trình của mặt

là:

A.

hoặc

C.

.

.

B.

.

D.

hoặc

.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN
63)Trong hệ toạ độ

, cho

,

,

,

. Khi đó pt mặt phẳng

là:
A.

.

B.

64)Mặt phẳng đi qua ba điểm

.
,

C.
,

.

D.

có phương trình.

.

A.

.

B.

.

C.

65)Trong không gian với hệ trục toạ độ

.

gọi

.

B.

.

.

là mặt phẳng cắt 3 trục toạ độ tại 3 điểm

. Phương trình của mặt phẳng
A.

D.

là:

C.

.

D.

.

PT MẶT PHẲNG LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH.
66)Trong không gian với hệ toạ độ
phẳng:
A.

,tọa độ điểm

và
.

B.

67)Trong không gian với hệ toạ độ
A.
C.

nằm trên trục

và cách đều hai mặt

là:
.

C.
, gọi

.

.

là mặt phẳng song song với mặt phẳng

và cách điểm

một khoảng

hoặc

. B.

.

D.

. Pt của mặt phẳng

là:

.

D.

hoặc

.

68)Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng
(Q) : x  2 y  2 z  1 0 và ( P) cách điểm M(1;  2;1) một khoảng bằng 3.

A.

và

.

C.

và

. D.

69)Trong không gian với hệ tọa độ

B.

và

.

và

.

, cho mặt phẳng

và điểm

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng song song với
khoảng bằng
A.

một

?
. B.

. C.

70)Trong không gian với hệ tọa độ

.

D.

, cho mặt phẳng

nào dưới đây là phương trình mặt phẳng song song với
?
A.

và cách

.

B.

. Phương trình
và cách

một khoảng bằng
.

C.

.

D.

KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 MẶT PHẲNG SONG SONG.
71)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Cho hai mặt phẳng
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
A.

B.

là bao nhiêu ?

C.

72)Trong không gian với hệ toạ độ

,

D.
, khoảng cách giữa hai mặt phẳng

và

là:

A.

B. 1

C.

D.
73)Trong không gian với hệ toạ độ
và

là:

,khoảng cách giữa 2 mặt phẳng
A.

3.

B. 5.

C. 7.

D.9.

PT MẶT PHẲNG ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI 1 MẶT PHẲNG.
74)Trong không gian với hệ toạ độ
song với mặt phẳng

là mặt phẳng đi qua điểm

và song

. Phương trình của mặt phẳng là:
B.

A.

75)Trong không gian với hệ toạ độ
mặt phẳng
A.

, cho

.

B.

C.
, gọi

D.
là mặt phẳng đi qua

và song song với

. Phương trình của mặt phẳng

là:

. C.

. D.

.

II. CÂU HỎI ĐÚNG, SAI.
» Câu 1. Trong không gian

, cho mặt phẳng
Mệnh đề

(a) Mặt phẳng

có một vectơ pháp tuyến là

(b) Mặt phẳng

có vectơ pháp tuyến là

.
Đúng
.
.

Sai

(c) Mặt phẳng

có vectơ pháp tuyến là

(d) Điểm
(a) Mặt phẳng

.

không thuộc mặt phẳng
Lời giải

có một vectơ pháp tuyến là

Véctơ pháp tuyến của
» Chọn ĐÚNG.
(b) Mặt phẳng

.

.

là

.

có vectơ pháp tuyến là

.

Ta có
» Chọn ĐÚNG.
(c) Mặt phẳng

có vectơ pháp tuyến là

.

» Chọn ĐÚNG.
(d) Điểm

không thuộc mặt phẳng
Thay điểm
» Chọn ĐÚNG.

.

vào mặt phẳng

» Câu 2. Trong không gian

:

, cho hai điểm
Mệnh đề

.
Đúng

(a)
(b)
(c)
(d)

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với

có phương trình là

.
Nếu là trung điểm đoạn thẳng
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng

(a)

.

thì
.
có phương trình là
Lời giải

.
Ta có
» Chọn ĐÚNG.

(b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với
Gọi

là mặt phẳng đi qua

Suy ra mặt phẳng

có phương trình là
và vuông góc với

nhận vectơ

Vậy phương trình mặt phẳng

làm véc tơ pháp tuyến.
cần tìm:

.

Sai

» Chọn ĐÚNG.
(c) Nếu

là trung điểm đoạn thẳng

thì

là trung điểm đoạn thẳng
» Chọn ĐÚNG.

.

nên

(d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng

.

có phương trình là

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng

.

là mặt phẳng đi qua I và vuông góc

nên có

phương trình là
» Chọn SAI.
» Câu 3. Trong không gian

, cho bốn điểm
nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?
Mệnh đề
(a)

;

. Mệnh đề
Đúng

(b)
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm

(c)

.
Phương trình mặt phẳng chứa

(d)

và vuông góc với

song song với

là

là

Lời giải
(a)

.
Ta có

;

,
.

» Chọn ĐÚNG.
(b)

.
» Chọn SAI.

vô lí .

(c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với
là
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với

.
có dạng:

» Chọn SAI.
(d) Phương trình mặt phẳng chứa

song song với

là

.

Sai

Ta có
Phương trình mặt phẳng cần tìm:
.

» Chọn SAI.
» Câu 4. Trong không gian

, cho ba điểm
,
Mệnh đề

,

.
Đúng

Sai

(a)
(b) Mặt phẳng
(c)

có 1 vectơ pháp tuyến là

:

(d)
Lời giải
(a)

.
,
» Chọn ĐÚNG.

(b) Mặt phẳng

.

có 1 vectơ pháp tuyến là
nên

» Chọn ĐÚNG.
(c)

.
có 1 vectơ pháp tuyến là

.

:
đi qua

có vtpt

nên có phươn