CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
§1. Các phương pháp tìm cực trị
Tóm tắt lý thuyết
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Cho
và
.

được gọi là một điểm cực đại của
nếu tồn tại khoảng
sao cho

.

được gọi là một điểm cực tiểu của
nếu tồn tại khoảng
sao cho

.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:







Điểm cực đại của

Giá trị cực đại (cực đại) của

Điểm cực đại của đồ thị hàm số


Điểm cực tiểu của

Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số


Điểm cực trị của

Cực trị của

Điểm cực trị của đồ thị hàm số


2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm
có đạo hàm tại
. Khi đó: nếu
đạt cực trị tại
thì
.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Quy tắc 1
Nếu
đổi dấu từ dương sang âm khi
đi qua
thì
đạt cực đại tại
;
Nếu
đổi dấu từ âm sang dương khi
đi qua
thì
đạt cực tiểu tại
.
Quy tắc 2:



đạt cực đại tại
;



đạt cực tiểu tại
.
Một số ví dụ
[SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
.
Giải. Hàm số có TXĐ
,
,


hoặc
.
Bảng biến thiên:


Kết luận:
Hàm số đạt cực đại tại
, giá trị cực đại tương ứng là
; hàm số đạt cực tiểu tại
, giá trị cực tiểu tương ứng là
.

 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
.
Giải. Hàm số có TXĐ
. Ta có



(
).
Ta thấy với mọi
, dấu của
chính là dấu của tam thức bậc hai
. Nên ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:


Kết luận: hàm số đạt cực đại tại
, giá trị cực đại tương ứng là
; hàm số đạt cực tiểu tại
, giá trị cực tiểu tương ứng là
.

[SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
.
Giải. TXĐ
.

,


hoặc
.

,
+)

hàm số đạt cực đại tại
, giá trị cực đại tương ứng là
;
+)

hàm số đạt cực tiểu tại
, giá trị cực tiểu tương ứng là
[SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
.
Giải. TXĐ
.

,






(
).

,
+)

hàm số đạt cực tiểu tại các điểm giá trị cực tiểu tương ứng là
+)

hàm số đạt cực đại tại các điểm giá trị cực tiểu tương ứng là
[SGK] Tìm
,
,
sao cho hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
,
và đạt cực đại tại
,
.
Giải. Ta có
. Từ giả thiết suy ra





.
Khi đó
,
,
. Ta có

hàm số đạt cực tiểu tại
,

hàm số đạt cực đại tại
(thỏa mãn). Vậy
,
,
,
.
Bài tập
Tìm cực trị của các hàm số

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.
Tìm
,
,
để hàm số
đạt cực tiểu tại
,
và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
.
Tìm
,
sao cho hàm số
đạt cực đại tại điểm
và
.
Đáp số
Bài 1 1) Hàm số đạt cực đại tại điểm
,
và đạt cực tiểu tại điểm
,
; 2) Hàm số nghịch biến trên
nên không có cực trị; 3) Hàm số đạt cực tiểu tại
,
và
,
, đạt cực đại tại điểm
,
; 4) Hàm số đạt cực đại tại điểm
,
và đạt cực tiểu tại điểm
,
; 5) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
,
và đạt cực đại tại điểm
,
; 6) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
,
và đạt cực đại tại điểm
,
; 7) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
,
và đạt cực đại tại điểm
,
. 8) Hàm số đạt cực tiểu tại
,
, đạt cực đại tại điểm
,
; 9) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
,
và
,
. Hàm số đạt cực đại tại các điểm
,
; 10) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
và Hàm số đạt cực đại tại các điểm
và Bài 2
,
,
. Bài 3
.