Chương 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

Bài 1 : Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến.
Cho hàm số y =
có đạo hàm trên (a;b).
1. Điều kiện đủ:
Nếu
> 0 trên khoảng
thì hàm số đồng biến trên khoảng
.
Nếu
< 0 trên khoảng
thì hàm số nghịch biến trên khoảng
.
2. Điều kiện cần.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng



trên khoảng
.
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng

trên khoảng
.
Chú ý:Dấu bằng của đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm x0( (a; b) hoặc không xảy ra trên (a;b).
3. Các bước xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’ của hàm số.
Giải phương trình y’=0 tìm các nghiệm
.
Tìm các điểm
làm cho hàm số không có đạo hàm hoặc không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên kết luận đồng biến và nghịch biến.
Chú ý: Nếu
thì
là nghiệm của phương trình
.
4. Định lí về dấu tam thức bậc hai
.
Nếu
thì
= ax2 + bx + c luôn cùng dấu với a,
.
Nếu
thì
luôn cùng dấu với a,
.
Nếu
thì
có hai nghiệm x1 , x2 và
.Khi đó ta có bảng xét dấu sau:
x -
x1 x2 +


f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

Chú ý: Nếu đa thức bậc ba
có 3 nghiệm phân biệt
.
Thì ta có bảng xét dấu sau:
x -
x1 x2 x3 +


f(x) Cùng dấu a 0 Đổi dấu 0 Đổi dấu 0 Đổi dấu

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau.
1.
2.
3.
4.
.
5.
6.
7.
8.
.
9.
10.
11.
12.
.
BTVN: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau.
1.
2.
. 3.
4.
.
5.
6.
. 7.
8.
.
9.
10.
. 11.
12.
.
13.
14.
15.
16.

Bài 2: Cực trị của hàm số.
Định nghĩa:
Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và
.
a. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0),
và x
thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
b. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0),
và x
thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
2.Định lí 1:
Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K {x0}, với h > 0. Khi đó:
a. Nếu
thì x0 là điểm cực đại của f(x).
b. Nếu
thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
3. Định lí 2:
Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (a;b) và
. Khi đó:
a. Nếu
thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
b. Nếu
thì x0 là điểm cực đại của f(x).
4. Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
a. Quy tắc 1:
Tìm tập xác định của hàm số.
Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
b. Quy tắc 2.
Tìm tập xác định của hàm số.
Tính f’(x). Giải pt f’(x) = 0 và kí hiệu xi (i =1, 2, 3…n) là các nghiệm của nó.
Tính f”(x) và f”(xi).
Dựa vào dấu