ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Cho hàm số
liên tục trên đoạn
, diện tích hình phẳng giới hạn bởi :


là

Minh họa:




Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs
, đường thẳng
, trục tung và trục hoành
Giải:
x
0 1 2



+ 0 -

Ta có


Vậy
(đvdt)
Nếu hàm số
và
liên tục trên các đoạn
thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
và hai đường thẳng
là:




Nếu hs
liên tục và không đổi dấu trên đoạn
thì:
Dạng 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ
VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và hai đường thẳng
ta tiến hành như sau:
Cách 1:
Bước 1: Viết công thức tính diện tích

Bước 2: Lập bảng xét dấu biểu thức
trên đoạn

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu để tách tích phân đã cho thành tổng các tích phân trên từng khoảng con của

Cách 2:
Bước 1: Viết pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị
và


(*)
Bước 2:
Nếu phương trình (*) không có nghiệm trong khoảng
thì

Nếu phương trình (*) có nghiệm trong khoảng
, giả sử là

thì


Ví dụ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và 2 đường thẳng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng

Giải:
Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm:


x
-1 2



 +

Ta có



Vậy
(đvdt)



Cách 2: Phương trình hoành độ giao điểm:


Ta có
(đvdt)
Ví dụ:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
ds:
(đvdt)
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
ds: 44 (đvdt)
Nếu hàm số
lien tục trên đoạn
thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
và hai đường thẳng
là:





Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và đường thẳng



ds:
(đvdt)
Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị sau:



, trục tung và đường thẳng


và hai trục tọa độ



trong miền


và trục hoành

và trục hoành

, trục hoành và đường thẳng


, tiếp tuyến của (P) tại điểm M(3;5) và trục tung ds:S=9







(DH B-2002)

(DH A-2007)

Dạng 2: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ


Phương pháp:
Bước 1: Vẽ ba đồ thị
trên cùng 1 hệ trục tọa độ
Bước 2: Xác định hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị, sau đó chia hình phẳng này thành các hình phẳng nhỏ rồi tính diện tích từng hình phẳng cộng lại
Ghi nhớ:
Đối với dạng bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cũng dung phương pháp này để giải.
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và đường thẳng
Giải:

Dựa vào đồ thị, ta có:

(đvdt)
Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị sau:



trong miền


và trục hoành

và trục hoành ds:


và các tiếp tuyến của nó tại các điểm



, trục Ox, tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn của (C),







ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

Trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Gọi
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mp vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
. Giả sử
là một hàm số liên tục. Người ta chứng minh được rằng thể tích V của B là :





Ví dụ: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
, biết rằng thiết diện của vật