

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN



BÀI I : NGUYÊN HÀM

I. CÔNG THỨC CĂN BẢN:
Nguyên hàm cơ bản
* 1 dx = x + C
* x dx =

*

*

* kdx = kx + C ( k : hằng số )

x +1 + C (1)
+1

1 dx = ln x + C
x
1

1

x 2 dx = − x + C

* e

x

* a dx = a + C ( ko cần lắm)
ln a
* cos xdx = sin x + C

*

cos2 x dx = tan x + C
1
sin2 x dx = − cot x + C

ax + b

+C

(a 0)

1 ax +b
+C
= ae

cos(ax + b) = 1 sin(ax + b) + C
a

* sin( ax + b ) dx = −1 cos( ax + b ) + C
a

*

* sin xdx = − cos x + C
1

dx
cos2 (ax + b)
dx

1
a tan(ax + b) + C
−1

=

* sin2 (ax + b) = a cot(ax+ b) + C
(Chú ý : hàm hợp là biểu thức bậc 1)

Trang 1/8

NGUYÊN HÀM
Câu 1: Tính nguyên hàm .

+1

1
= ln ax + b + C
ax + b a

x

*

* (ax+ b) dx = 1 (ax+ b)
a +1
(−1, a 0)

* dx

* e x dx = e x + C

*

Nguyên hàm của hàm hợp

x3

x 2 dx

x4

x3

A.I=

4 + 3 + C.

Câu 2: Tính nguyên hàm

Câu 3: Tính nguyên hàm

C.I=

C.I=

3 + 2 + C.

D.I=

C. I = x 2 + 2 x +C.

D.I=

x 1 dx
x2
B. I = + x + C.
2

A. I =C.

A.I=

B. I = x 4 + x3 +C.

1

x

3

4

2x dx

x4 + x 2 + x + C.
4
x4 − x 2 + x + C.
4

x4 − x 2 − x + C.
4
4
D.I= x − x 2 + 2x + C.
4
B.I=

Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số f (x
A. F (x

x 4 − x3 + C.

3

x2 + x
+ C.
2

) = 3 x 2 + 2 x + 5 là
B. F (x ) = x 3 + x +C .
D. F (x ) = x 3 + x 2 +C .

) = x 3 + x2 + 5 .
C. F (x ) = x 3 + x 2 + 5x +C .
Câu 5: Nguyên hàm của hàm số f (x ) = 2 x3 −9 là:

D. 4 x3 − 9 x +C
A. 1 x 4 − 9x + C . B. 4 x 4 − 9 x +C .
C. 1 x 4 + C .
2
4
2
3
Câu 6: (x + 2x )dx có dạng a x 3 + b x 4 + C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:
3
4
A. 2.
B. 1.
C. 9.
D. 32.
1
Câu 7: Tính nguyên hàm
3x dx
x2
2
2
A.I= 3x + 1 + C. B.I= 3x − 1 + C. C. I = 3 x 2 − 1 + C. D. I = 3 x 2 + 1 + C.
2
x
2 x
x
x
1
Câu 8: Tính nguyên hàm
x
dx
x2
1

2

1

1

A. I = x x − x + C. B. I = 3 x x + x + C. C. I = x x + x + C.

Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số f (x
1
A. x 7 + ln x − − 2x .
x
7
C. x + ln x + 1 − 2x + C .
x

NGUYÊN HÀM

1

) = 7 x6 + x + x

1

2

2
D. I = 3 x

1
x − x + C.

− 2 là

1
B. x 7 + ln x + − 2x +C .
x
7
D. x + ln x − 1 − 2x + C .
x

Trang 2/8

3

Câu 10: Tính nguyên hàm

2
dx
x

x

A. I = x 3 x − 2 ln x + C.
C.I=

B. I = x 3 x + 2 ln x + C.

3 x 3 x − 2 ln x + C.
4

Câu 1: Tính nguyên hàm

D.I=

x 2 x 2 dx

4
3
A. I = x + x + C.
4
3

3
4
B. I = x − 2x + C. C.I=
4
3
1 2
f
(
x
)
=
x
+
Câu 2: Nguyên hàm F ( x) của hàm số
x

A. F (x ) =

x3

3 x 3 x + 2 ln x + C.
4

1

x 4 − x3 + C.
4 3

x3 + x
C. F ( x ) = 3
+C.

là hàm số nào trong các hàm số sau?

x

x2

2
x

2

x

NGUYÊN HÀM

2

x 1 dx

2

1
+ ln x + C.
x
1
C. I = x + − ln x + C.
x
4
Câu 4: Cho hàm số f (x) = 5 + 2x
. Khi đó:
x2
3
A. f (x )dx = 2x − 5 + C
3
x
3
C. f (x )dx = 2x + 5 + C
3
x
x 1 2 2x
Câu 5: Tính nguyên hàm
dx
x
2
A.I= 5 x 2 x + 2 x + C.
2 2
x x − 2 x + C.
C.I=
5
A. I = x +

x 4 + 2x3 + C.
4
3

3
B. F (x ) = x + 1 + 2x + C .
3 x
3
x3
+x
D. F ( x ) = 3 2
+C.

− + 2x +
C.3x

Câu 3: Tính nguyên hàm

D.I=

1
+ ln x + C.
x
1
D. I = x − − ln x + C.
x
B. I = x −

B. f ( x ) dx = 2x 3 − 5 + C
x
3
D. f (x )dx = 2x + 5lnx 2 + C
3

B.I=
D.I=

2
5x x+2
2
x x−2
5

x

+ C.

x+

C.

Trang 3/8

Câu 6: Tính nguyên hàm

x x

2
3
x x − x + C.
3
2
2
3
C.I=
x x − x + C.
5
2
1
Câu 7: Tính nguyên hàm
2
3
2
A. I = 1 − 3 x + C.
2
C. I = x − 33 x 2 + C.
2

3
dx
2

A.I=

B.I=
D.I=
2
3

dx
x

B. I = x + 33 x 2 + C.
2
3
D. I = x − 3 x + C.
2

Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số f (x
A. F (x

) = e x + sin x + 2018x

+C . C. F (x

) = e x + cos x + 2018 là
B. F (x

) = e x + sin x + 2018x .

Câu 2: Tính nguyên hàm

sin x

3 cos x

A. I = − 3sin x + cos x − tan x +C.

D. F (x

1
cos2 x

C. I = 3sin x + cos x − tan x + C.

2x

Câu 3: Tính nguyên hàm
A.I=
C.I=

4

1 ex

3

) = e x + sin x + 2018 +C .

dx
B. I = 3sin x − cos x − tan x + C.

4sin x dx
B. I = 2 x5 + 4cos x +C.

3x

2

2
2

sin x

D. I = 2 x5 − 4cos x +C.
dx

A. I = x + x − e + 2cot x +C.
B. I = x3 + x − e x − 2 tan x +C.
C. I = x3 − x + e x − 2cot x +C.
D. I = x3 + x − e x − 2cot x +C.
Câu 5: Hàm số F ( x ) = e x + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
A. f ( x ) = ex −

x

) = e x − sin x + 2018x +C .

D. I = 3sin x − cos x − cot x + C.

2x5
5 + 4 cos x + C.
2x5
5 − 4 cos x + C.

Câu 4: Tính nguyên hàm

2 2
3
x x − x + C.
5
2
3
2 2
x x + x + C.
5
2

1
sin2 x

C. f (x ) = ex 1 +

e−x
2

cos

NGUYÊN HÀM

1
sin x
1
D. f (x ) = ex +
2
cos x
B. f ( x ) = ex +

2

x

Trang 4/8

❖ VÍ DỤ 4:
(

)

3

(

2

)

Câu 1: Tìm hàm số F(x) biết rằng F ' x = 4 x – 3x + 2 và F −1 =3
A. F (x ) = x 4 – x 3 − 2 x −3

) = x 4 – x 3 +2x +3
C. F (x ) = x 4 – x 3 − 2 x +3
D. F (x ) = x 4 + x 3 + 2 x + 3
Câu 2: Cho hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f (x ) = x +sin x và f (0 ) =1. Tìm f (x)
A. f (x
C. f (x

)=

x

2

2
x2

)= 2

(

)

B. F (x

− cos x + 2 .

B. f (x

)=

( ) D. f (x ) =

+ cos x .

(

3

x

2

2 − cos x − 2 .
x2
1
2 + cos x + 2 .
)

Câu 3: Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x = 4 x + 2 m − 1 x + m +5 , với m là tham số
(

)

(

)

(

)

thực. Một nguyên hàm của f x biết rằng F 1 = 8 và F 0 =1 là:
A. F (x

) = x 4 + 2 x 2 + 6 x +1
C. F (x ) = x 4 + 2 x2 +1.

B. F (x

) = x 4 + 6 x +1.

D. Đáp án A và B

 Tự luyện ví dụ 4
f '( x ) = 3( x + 2)2 và f (0) = 8

Câu 4: Tìm hàm số = ( ) biết rằng :

A. f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8
C. f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 12 x +8

B. f ( x ) = − x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8
D. f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 9
f '( x ) = 3 x + x3 +1 và f (1) = 2
3
5
B. f ( x ) = 3 x 4 + x + x

Câu 5: Tìm hàm số = ( ) biết rằng :

4
A. f ( x ) = 3 4 x 3 + x + x
4
4
4
C. f ( x ) = 3 3 x 4 + x + x
4
4

5
4
D. f ( x ) = 3 3 x 4 + x 3 + x
4
2
3 − 5x
f '( x ) =
; f ( e) = 1
x
2
2
2
2
A. f (x ) = 3ln x − 5x + 5e − 2
B. f ( x ) = 3 ln x + 5 x + 5e − 2
2
2
2
2
2
2
2
5x
5e
5e
C. f ( x ) = 3 ln x −
+
−8
D. f ( x ) = 3 ln x − x +
−2
2
2
2
Câu 7: (Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 - Sở GD&ĐT TP HCM - cụm chuyên môn 1). Biết
một nguyên hàm của hàm số y = f (x) là F (x ) = x 2 + 4 x +1. Khi đó, giá trị của hàm số f (3)

Câu 6: Tìm hàm số = ( ) biết rằng

(

A. f

)

3 =30.

Câu 8: Tìm hàm số = ( ) nếu biết rằng

A. f (x) = x2 + 1 + 5
2
x 2
2
C. f ( x) = x +1 − 5
2
x 2

NGUYÊN HÀM

(

B. f 3

)

= 6.

(

)

(

)

C. f 3 = 22.
D. f 3 =10.
f '( x ) = ax + b2 , f ( −1) = 2 , f (1) = 4 , f '(1) = 0
x
B. f ( x) = x3 + 1 + 5
3 x 2
D. f ( x ) = x − 1 + 5
x 2

Trang 5/8