Chú ý: Khi a ( 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn.

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:








Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:























Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:
i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x ( R.
a)
b)

c)
d)




1. Cách giải


Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =
.
– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x =
.
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với
.
2. Định lí Vi–et
Hai số
là các nghiệm của phương trình bậc hai
khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức
và
.

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình

Để giải và biện luận phương trình
ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:
– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình
.
– Nếu a ( 0 thì mới xét các trường hợp của ( như trên.

Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
b)

c)
d)

e)
f)

Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:
a)
b)

c)
d)

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình
(1)
( (1) có hai nghiệm trái dấu ( P < 0 ( (1) có hai nghiệm cùng dấu (

( (1) có hai nghiệm dương (
( (1) có hai nghiệm âm (

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì ( > 0.

Xác định m để phương trình:
i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt
iii) có hai nghiệm dương phân biệt
a)
b)

c)
d)

e)
f)

g)
h)

VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et
1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
Ta sử dụng công thức
để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm x1, x2 theo S và P.
Ví dụ:



2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số
Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:

(S, P có chứa tham số m).
Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.
3. Lập phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:

, trong đó S = u + v, P = uv.


Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
A =
; B =
; C =
; D =
; E =

a)
b)
c)

d)
e)
f)

Cho phương trình:
(*). Xác định m để:
a) (*) có hai nghiệm phân biệt.
b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
Cho phương trình:
(*).
a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2.
b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tính theo m, biểu thức A =
.
d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là
.
Cho phương trình:
(*).
a) Tìm m để