CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
( CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp:
Đạo hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

(C)` = 0


(x()` = (x(-1(( ( R, x > 0)

(x > 0)

(x ( 0)
(u()` = (u(-1.u`(( ( R, u > 0)

(u > 0)

(u ( 0)

(sinx)` = cosx
(cosx)` = -sinx
(tanx)` =
(x (
, k ( Z)
(cotx)` = -
(x ( k(, k ( Z).
(sinu)` = cosu.u`
(cosu)` = -sinu.u`
(tanu)` =
(u (
, k ( Z)
(cotu)` = -
(u ( k(, k ( Z).

(ex)` = ex
(ax)` = ax.lna
(eu)` = u`.eu
(au)` = u`.au


(x ≠ 0)

=
(x ≠ 0)

(u ≠ 0)

=
(u ≠ 0)

 2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x ( (a; b).
dy = f`(x)dx
3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:
( tanx =
( cotx =
( tanx.cotx = 1
( sin2a = 2sinacosa (
(
(
( cosacosb cos(a + b) + cos(a - b)] ( sinasinb = -
[cos(a + b) - cos(a - b)] ( sinacosb =
[sin(a + b) + sin(a - b)]
§1. NGUYÊN HÀM
I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm:
Kí K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F`(x) = f(x) với mọi x ( K.
* Chú ý:
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C ( R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu
= F(x) + C.
2) Trong kí hiệu
thì "d..." gắn với biến tương ứng của hàm f. Ví dụ:
,
,...
3) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F`(x)dx = f(x).
2. Các tính chất của nguyên hàm:
Tính chất 1:
Ví dụ: Với x ( (0; +(),
= lnx.
Tính chất 2:
; (k là hằng số khác 0)
Tính chất 3:

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx +
trên khoảng (0; +().
3. Sự tồn tại nguyên hàm:
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Ví dụ: Hàm số f(x) =
có nguyên hàm trên (0; +() và
+ C.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:





















 Ví dụ 1:
a)
b)
c)

Ví dụ 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số y = f(x) = x2 + 2x - 1, biết rằng F(1) = 0.
Bài tập
Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2 – 3x +
2. f(x) =
3. f(x) =
4. f(x) =
5. f(x) =
6. f(x) =
7. f(x) = tan2x 8. f(x) = cos2x
9. f(x) = (tanx – cotx