Chuyên đề :
HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG
I. Kiến thức vận dụng:
1. Kiến thức cơ bản
Hs biết vận dụng 7 hằng đẳng thức để làm các bài tập cơ bản, bài tạp vận dụng, bài tập nâng cao. Biết nhận dạng một số bài toán có ứng dụng của hằng đẳng thức.
2. Kiến thức nâng cao:
Gv đưa vào 5 hằng dẳng thức nâng cao và một số bài toán vận dụng hằng đẳng thức đê ứng dụng làm các bài tập nâng cao.
3. Lý thuyết cơ bản
1.3: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phương của một tổng:
=

2. Bình phương của một hiệu:
=

3. Hiệu của hai bình phương:

4. Lập phương của tổng:

5. Lập phương của hiệu:

6. Tổng hai lập phương:

7. Hiệu hai lập phương:

*2.3; Một số hằng đẳng thức tổng quát
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + a bn-2 + bn-1)
a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)
a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 _ … + b2k)
(a + b)n = an + nan-1b +
an-2b2+…+
a2bn-2 +n a bn-1 + bn
(a -b)n = an – n an-1b +
an-2b2- …-
a2bn-2 +n a bn-1 - bn
Bài tập vận dụng tại lớp:
A. Bài tập vận dụng lý thuyết:
Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :
1

2.

3.

4.

Bài tập 2. Tính :
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
Giải
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)
A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005
A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = …
B =(232 - 1)(232 + 1) – 264
B = 264 – 1 – 264
B = - 1
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15
Giải
a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra ( x – 2 = 0 ( x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16
Dấu “ =” xảy ra ( x – 4 = 0 ( x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
Dấu “ =” xảy ra ( x – 2 = 0 ( x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
* Chú ý:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
Chứng minh A > m với m là một hằng số.
Chỉ ra dấu