CHUYÊN ĐỀ 14.
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Trường hợp bằng nhau: cạnh - góc - cạnh
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai
tam giác đó bằng nhau.
Xét ABC và ABC có:

B

AB  AB 

A  A
 ABC  ABC (c.g.c)

AC  AC


B'

A

I

C'

A'

2. Trường hợp bằng nhau: cạnh - góc - cạnh
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau.
Xét ABC và ABC có:

B

B  B 

AB  AB  ABC  ABC(g.c.g)


A  A


B'

A

C

C'

A'

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau
I. Phương pháp giải:
+ Xét hai tam giác.
+ Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc.
+ Kết luận hai tam giác bằng nhau.
II. Bài toán.
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A
M

N

E

B

D

C

Q

Lời giải:

1

P

Bài 2. MĐ1. Trong các hình vẽ sau, có hai tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A

E

D

F

B

H

C

G

Lời giải:

Bài 3. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có hai tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
E

B
G

K

H

Q
GH // QP

P

L

N

M

Lời giải:

2

A

C

D

F

Bài 4. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
M

1

N

1

2

P

2

Q

O

Lời giải:

Bài 5. MĐ2 Nêu thêm một điều kiện để mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp
cạnh - góc - cạnh.
A

P

Q

F

E

I

B

D
G

H

M
C

Lời giải:
3

N

Bài 6. MĐ2 Nêu thêm một điều kiện để mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp
góc - cạnh - góc.
M

A

E
O

B

C

D

N

P

Lời giải:

Bài 7. MĐ2 Qua trung điểm I của đoạn thẳng AB , kẻ đường thẳng vuông góc với AB , trên đường
thẳng vuông góc đó lấy hai điểm C và D . Nối CA,CB, DA, DB . Tìm các cặp tam giác bằng nhau.
Lời giải:

Bài 8. MĐ2 Cho tam giác ABC , kẻ AH vuông góc
với
điểm K sao cho HK  HA ,
nối

Lời giải:
4

BC,  H  BC  . Trên. tia đối của tia HA
lấy

KB, KC . Tìm các cặp tam giác
bằng nhau.

5

Bài 9. MĐ2 Cho tam giác ABC có AB  AC . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh
ABM  ACM .
A
1 2

B

1

2
M

C

Lời giải:

Bài 10. MĐ2 Cho tam giác ABC có B  C . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh
ABM  ACM .

6

A

1 2

B

1

2
M

C

Lời giải:

Bài 11. MĐ2 Cho Oz là tia phân giác góc xOy . Trên các tia Ox,Oy,Oz lần lượt lấy các điểm
A, B, C (khác O ) sao cho OA  OB . Chứng minh OAC  OBC .
Lời giải:

Bài 12. MĐ3 Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên cạnh Ox lấy hai điểm A và B , trên cạnh Oy lấy hai
điểm C và D , sao cho OA  OC;OB  OD .
a) Chứng minh OAD  OCB .
b) Chứng minh ACD  CAB .
Lời giải:

7

Bài 13. MĐ3 Cho ABC vuông ở A . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD  AC .
a) Chứng minh ABC  ABD .
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M . Chứng minh
MBD

 MBC .

Lời giải:

Bài 14. MĐ3 Cho hình vẽ sau, trong
đó

AB // CD , AB  CD . Chứng minh rằng:

a) OAB  ODC .
b) OAC  ODB .
Lời giải:

8

Bài 15. CĐ4 Cho góc nhọn xOy có tia Oz là tia phân giác. Qua điểm A thuộc tia Ox , vẽ đường
thẳng song song với Oy cắt Oz tại M . Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại B .
a) Chứng minh OAM  MBO .
b) Từ M vẽ MH  Ox ; MK  Oy . Chứng minh MHO  MKO .
Lời giải:

9

Bài 16. MĐ4 Cho tam giác ABC
A  90 và AB  AC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy
có
điểm D và E sao cho AD  AE . Qua A và D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC lần lượt tại M
và N . Tia ND cắt tia CA tại I . Chứng minh rằng:
a) AID  ABE .
b) Chứng minh CM  MN .
Lời giải:

10

Bài 17. MĐ4 Cho ABC , kẻ BD vuông góc với AC , CE vuông góc với AB . Trên tia đối của tia BD
, lấy điểm H sao cho BH  AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK  AB . Chứng minh
AH  AK .
Lời giải:

Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh một tính chất khác
I. Phương pháp giải:
+ Chọn hai tam giác có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.
+ Chứng minh hai tam giác ấy bằng nhau theo một trong hai trường hợp cạnh - góc - cạnh, góc
- cạnh - góc rồi suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc
- cạnh, góc - cạnh - góc .
+ Kết hợp với các tính chất đã học về tia phân giác, đường thẳng song song, đường trung trực,
tổng ba góc trong một tam giác, ... để chứng minh một tính chất khác.
II. Bài toán.
Bài 1. MĐ1 Cho tam giác ABC có AB  AC , tia phân giác của góc A cắt BC tại M . Chứng minh:
BM  CM .
Lời giải:

11

Bài 2. MĐ1 Cho góc nhọn xOy có Om là tia phân giác,
C  O . Trên tia Ox lấy điểm A ,
COm
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA  OB . Chứng minh: CA  CB .
Lời giải:

Bài 3. MĐ1 Cho ABC  MNP . Gọi O và G lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và NP .
Chứng minh AO  MG .
Lời giải:

12

Bài 4. MĐ2 Cho tam giác ABC có B  C . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D .
a) Chứng minh AB  AC .
b) Chứng minh AD  BC .
Lời giải:

Bài 5. MĐ2 Cho ABC có AB  AC . Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D . Trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho AE  AB . Chứng minh:
a) BD  ED .
b) DA là tia phân giác của góc BDE .
Lời giải:

13

Bài 6. MĐ2 Cho góc xOy khác góc bẹt và có Ot là tia phân giác. Lấy điểm C thuộc Ot C  O .
Qua C kẻ đường vuông góc với Ot , cắt Ox, Oy theo thứ tự ở A, B .
a) Chứng minh: OA  OB .
b) Lấy điểm D thuộc Ct
DB

 D  C  . Chứng minh: DA 

và OAD  OBD .

Lời giải:
x

Bài 7. MĐ2 Cho ABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho
ME  MA . Chứng minh:
a) ABM  ECM .
b) AB  CE
và

AC // BE .

Lời giải:
14

Bài 8. MĐ3 Cho tam giác ABC có

A  80 . Dựng AH vuông góc với BC ( H  BC ). Trên tia đối
tia
HA lấy điểm D sao cho HD  HA .

a) Chứng minh: AC  DC .
b) Chứng minh: ABC  DBC .
c) Xác định số đo góc BDC .
Lời giải:

14

Bài 9. MĐ3 Cho ABC trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , lấy điểm D sao cho
AD // BC và AD  BC . Chứng minh:
a) AB  CD .
b) AB // CD và ABD  CDB .
Lời giải:

Bài 10. MĐ3 Cho ABC có A  90 , trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA  BE . Tia phân giác góc
B cắt AC ở D .
a) Chứng minh: ABD  EBD .
b) Chứng minh: DA  DE .
c) Tính số đo BED .
1

d) Xác định độ lớn góc B để EDB  EDC .
Lời giải:

Bài 11. MĐ3 Cho ABC có AB  AC . Kẻ tia phân giác AD của BAC  D  BC  . Trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho AE  AB , trên tia AB lấy điểm F sao cho AF  AC . Chứng minh:
a) BD  ED .
b) BF  EC
c) BDF  EDC .
d) AD  FC .
Lời giải:

1

Bài 12. MĐ4 Cho tam giác ABC  AB  AC  , tia Ax đi qua trung điểm M của BC . Kẻ BE và CF
vuông góc với Ax (E, F  Ax) .
a) Chứng minh: BE // CF .
b) So sánh BE và FC ; CE và BF .
c) Tìm điều kiện về ABC để có BE  CE .
Lời giải:

1

Bài 13. MĐ4 Cho tam giác ABC . Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua C song
song với AB ở D . Gọi M là giao điểm của BD và AC .
a) Chứng minh ABC  CDA .
b) Chứng minh M là trung điểm của AC .
c) Đường thẳng d qua M cắt các đoạn thẳng
AD, BC lần lượt ở I , K . Chứng minh M là trung điểm
của IK .
Lời giải:

1

Bài 14. MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD  AB ( D, C khác
phía so với AB ). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE  AC ( E, B khác phía so với AC ).
Chứng minh:
a) BE  DC .
b) BE  DC .
Lời giải:

Bài 15. MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của
E, D sao cho M , N là trung điểm của CE, BD .
a) Chứng minh: Lời giải:
b) Chứng minh:
1

AB, AC . Lấy điểm

AD // BC .

A, E, D thẳng
hàng.

2

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
M

D

A

C

B

F

E

P

N

Bài 2. MĐ1 Trên mỗi hình 1, hình 2, hình 3 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A

C

E

A

S

F

O
K
G

Hình 1

H

B

B

C

Hình 3

D

Hình 2

Bài 3. MĐ1 Cho hình vẽ, chứng minh ABC  MNP .
A

M

45°

70°
B

70°
N

C

65°
P

Bài 4. MĐ2 Cho ABC  MNP . Gọi AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC . Gọi ME là
đường phân giác góc M của tam giác MNP . Chứng ABD  MNE.
2

Bài 5. MĐ3 Cho góc xAy . Lấy điểm B trên Ax , điểm D trên Ay sao cho AB 
. Trên tia Bx
AD
lấy điểm E , trên tia Dy lấy điểm C sao cho BE  DC . Chứng minh ABC  ADE .
Bài 6. MĐ4 Cho

AB có D là trung điểm của BC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm
C
A , vẽ tia Bx // AC , Bx cắt tia AD ở E .

a) Chứng minh ADC  EDB .
b) Trên tia đối của tia AC , lấy điểm F sao cho AF  AC . Gọi I là giao điểm của AB và EF . Chứng
minh AIF  BIE .
Dạng 2.
Bài 1. MĐ1 Cho ABC có AB  AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , AB .
Chứng minh rằng : BM  CN .
Bài 2. MĐ2 Cho
ABC

có AB  AC , phân
giác

AM  M  BC  . Chứng minh:

a) ABM ACM .
b) M là trung điểm của BC và AM  BC .
Bài 3. MĐ2 Cho tam giác ABC có : AB 
AC

và M là trung điểm của BC .

a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC .
b) Chứng minh AM  BC .
c) Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB cắt tia AM tại N . Chứng minh M là trung điểm của
AN .
Bài 4. MĐ2 Cho ABC , có B 
và AB  AC . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D . Tia phân
C
giác của góc C cắt AB ở E .
a) So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE .
b) Gọi I là giao điểm BD và EC . Chứng minh BI  IC , IE  ID .
Bài 5. MĐ3 Cho ABC có AB  AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ tia Bx , Cy lần
lượt cắt hai cạnh AC , AB tại D, E sao cho ABD  ACE .
a) Chứng minh AD  AE .
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE . Chứng minh EBI  DCI .
c) Chứng minh AI  BC .
Bài 6. MĐ4 Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC . Trên tia đối
của tia NB lấy điểm D sao cho ND  NB . Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME  MC .
Chứng minh :
a) AD  BC .
b) AE // BC .
c) A là trung điểm của DE .
Bài 7. MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AM  AB ; AM 
sao cho M và
AB
C khác phía đối với đường thẳng AB . Vẽ đoạn thẳng AN  AC và AN  AC sao cho N và B
khác phía đối với đường thẳng AC . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của BN và CM . Chứng minh :
a) AMC  ABN .
2

b) MC 
BN
c) AI  AK

và MC  BN .
và AI  AI .

2

ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
M

D

A

C

B

F

E

P

N

Lời giải:

Bài 2. MĐ1 Trên mỗi hình 1, hình 2, hình 3 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A

C

E

A

S

F

O
K

G

B
Hình 2

Hình 1

Lời giải:

2

B
D

H
Hình 3

C

Bài 3. MĐ1 Cho hình vẽ, chứng minh ABC  MNP .
A

M

45°

70°
B

70°
N

C

65°
P

Lời giải:

Bài 4. MĐ2 Cho ABC  MNP . Gọi AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC . Gọi ME
là đường phân giác góc M của tam giác MNP . Chứng ABD  MNE.
Lời giải:

Bài 5. MĐ3 Cho góc xAy . Lấy điểm B trên Ax , điểm D trên Ay sao cho AB 

AD

. Trên tia

Bx lấy điểm E , trên tia Dy lấy điểm C sao cho BE  DC . Chứng minh ABC  ADE .

2

x
E
B

A

D

C
y

Lời giải:

Bài 6. MĐ4 Cho ABC có D là trung điểm của BC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm
A , vẽ tia Bx // AC , Bx cắt tia AD ở E .
a) Chứng minh ADC  EDB .
b) Trên tia đối của tia AC , lấy điểm F sao cho AF  AC . Gọi I là giao điểm của AB và EF .
Chứng minh AIF  BIE .
Lời giải:

2

Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh một tính chất khác
Bài 1. MĐ1 Cho ABC có AB  AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , AB . Chứng
minh rằng : BM  CN .
Lời giải:

Bài 2. Cho ABC có AB  AC , phân giác AM  M  BC  . Chứng minh:
a) M là trung điểm của BC .
b) AM  BC .
Lời giải:

2

Bài 3. MĐ2 Cho tam giác ABC có : AB  AC và M là trung điểm của BC .
a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC .
b) Chứng minh AM  BC .
c) Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB cắt tia AM tại N . Chứng minh M là trung điểm của
AN .
Lời giải:

2

Bài 4. MĐ2 Cho ABC , có
C

B

và AB  AC . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D . Tia phân

giác của góc C cắt AB ở E .
a) So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE .
b) Gọi I là giao điểm BD và EC . Chứng minh BI  IC , IE  ID .
Lời giải:

2

Bài 5. MĐ3 Cho AB có AB  AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ tia Bx ,
Cy lần
C
lượt cắt hai cạnh AC , AB tại D, E sao cho ABD  ACE .
a) Chứng minh AD  AE .
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE . Chứng minh EBI  DCI .
c) Chứng minh AI  BC .
Lời giải:

3

Bài 6. MĐ4 Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC . Trên tia
đối của tia NB lấy điểm D sao cho ND  NB . Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho
ME  MC . Chứng minh :
a) AD  BC .
b) AE // BC .
c) A là trung điểm của DE .
Lời giải:

Bài 7. MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AM  AB ; AM 

AB

sao cho M và

C khác phía đối với đường thẳng AB . Vẽ đoạn thẳng AN  AC và AN  AC sao cho N và B khác
phía đối với đường thẳng AC . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của BN và CM . Chứng minh :
a) AMC  ABN .
b) MC  BN và MC  BN
c) AI 

AK

và AI  AK .

Lời giải:
3

3

PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau
I. Phương pháp giải:
+ Xét hai tam giác.
+ Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc.
+ Kết luận hai tam giác bằng nhau.
II. Bài toán.
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A
M

N

E

B

C

D

Q

P

Bài 2. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A

E

D

F

B

H

C
G

Bài 3. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có hai tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
E

B
G

K

H

Q
GH // QP

L

N

P

A

M

C

D

F

Bài 4. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
M

N

1

12

2

P

O

Q

Bài 5. MĐ2 Nêu thêm một điều kiện để mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp
cạnh - góc - cạnh.

3

A

P

Q

F

E

I

B

D
G

H

M

N

C

Bài 6. MĐ2 Nêu thêm một điều kiện để mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp
góc - cạnh - góc.
M

A

E
O

B

D

C

N

P

Bài 7. MĐ2 Qua trung điểm I của đoạn thẳng AB , kẻ đường thẳng vuông góc với AB , trên đường
thẳng vuông góc đó lấy hai điểm C và D . Nối CA,CB, DA, DB . Tìm các cặp tam giác bằng nhau.
Bài 8. MĐ2 Cho tam giác ABC , kẻ AH vuông góc với BC,  H  BC  . Trên. tia đối của tia HA
lấy
điểm K sao cho HK  HA ,
KB, KC KB, KC . Tìm các cặp tam giác bằng nhau.
nối
Bài 9. MĐ2 Cho tam giác ABC có AB  AC . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh
ABM  ACM .
Bài 10. MĐ2 Cho tam giác ABC có B  C . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh
ABM  ACM .
Bài 11. MĐ2 Cho Oz là tia phân giác góc xOy . Trên các tia Ox, Oy,Oz lần lượt lấy các
A, B, C
điểm
(khác O ) sao cho OA  OB . Chứng minh OAC  OBC .
Bài 12. MĐ3 Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên cạnh Ox lấy hai điểm A và B , trên cạnh Oy lấy hai
điểm C và D , sao cho OA  OC;OB  OD .
a) Chứng minh OAD  OCB .
b) Chứng minh ACD  CAB .
Bài 13. MĐ3 Cho ABC vuông ở A . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD  AC .
a) Chứng minh ABC  ABD .
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M . Chứng minh MBD  MBC .
Bài 14. MĐ3 Cho hình vẽ sau, trong
AB // CD, AB  CD . Chứng minh rằng:
đó
a) OAB  ODC .
b) OAC  ODB .
Bài 15. MĐ4 Cho góc nhọn xOy có tia Oz là tia phân giác. Qua điểm A thuộc tia Ox , vẽ đường thẳng
song song với Oy cắt Oz tại M . Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại B .
a) Chứng minh OAM  MBO .
b) Từ M vẽ MH  Ox ; MK  Oy . Chứng minh MHO  MKO .
Bài 16. MĐ4 Cho tam giác ABC có

và AB  AC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy
điểm D và E sao cho AD  AE . Qua A và D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC lần lượt tại M
A  90

3

và N . Tia ND cắt tia CA tại I . Chứng minh rằng:
a) AID  ABE .

3

b) Chứng minh CM  MN .
Bài 17. MĐ4 Cho ABC , kẻ BD vuông góc với AC , CE vuông góc với AB . Trên tia đối của tia BD
, lấy điểm H sao cho BH  AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK  AB . Chứng
minh
AH  AK .
Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh một tính chất khác
I. Phương pháp giải:
+ Chọn hai tam giác có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.
+ Chứng minh hai tam giác ấy bằng nhau theo một trong hai trường hợp cạnh - góc - cạnh, góc
- cạnh - góc rồi suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc
- cạnh, góc - cạnh - góc .
+ Kết hợp với các tính chất đã học về tia phân giác, đường thẳng song song, đường trung trực,
tổng ba góc trong một tam giác, ... để chứng minh một tính chất khác.
II. Bài toán.
Bài 1. MĐ1 Cho tam giác ABC có AB  AC , tia phân giác của góc A cắt BC tại M . Chứng minh:
BM  CM .
Bài 2. MĐ1 Cho góc nhọn xOy có Om là tia phân giác, COm C  O . Trên tia Ox lấy điểm A , trên
tia Oy lấy điểm B sao cho OA  OB . Chứng minh: CA  CB .
Bài 3. MĐ1 Cho ABC  MNP . Gọi O và G lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và NP .
Chứng minh AO  MG .
Bài 4. MĐ2 Cho tam giác ABC có B  C . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D .
a) Chứng minh AB  AC .
b) Chứng minh AD  BC .
Bài 5. MĐ2
ABC có AB  AC . Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D . Trên cạnh AC
Cho
lấy điểm E sao cho AE  AB . Chứng minh:
a) BD  ED .
b) DA là tia phân giác của góc BDE .
Bài 6. MĐ2 Cho góc xOy khác góc bẹt và có Ot là tia phân giác. Lấy điểm C thuộc Ot

C  O . Qua

C kẻ đường vuông góc với Ot , cắt Ox, Oy theo thứ tự A, B .
ở
a) Chứng minh: OA  OB .
b) Lấy điểm D thuộc Ct  D  C  . Chứng minh: DA  và OAD  OBD .

DB

Bài 7. MĐ2 Cho ABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho
ME  MA . Chứng minh:
a) ABM  ECM .
b) AB  CE AC // BE .
và
Bài 8. MĐ3 Cho tam giác ABC có A  80 . Dựng AH vuông góc với BC ( H  BC ). Trên tia đối
tia HA lấy điểm D sao cho HD  HA .
a) Chứng minh: AC  DC .
b) Chứng minh: ABC  DBC .
c) Xác định số đo góc BDC .
Bài 9. MĐ3 Cho AB trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , lấy điểm D sao cho
C
AD // BC và AD  BC . Chứng minh:
a) AB  CD .
b) AB // CD và ABD  CDB .
3

Bài 10. MĐ3 Cho ABC có A  90 , trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA  BE . Tia phân giác
B cắt AC ở D .
góc
a) Chứng minh: ABD  EBD .
b) Chứng minh: DA  DE .

3

c) Tính số đo BED .
d) Xác định độ lớn góc B để
Bài 11. MĐ3 Cho AB
C

EDB  EDC .

có AB  AC . Kẻ tia phân giác AD của

BAC

 D  BC  . Trên cạnh

AC

lấy điểm E sao cho AE  AB , trên tia AB lấy điểm F sao cho AF  AC . Chứng minh:
a) BD  ED .
b) BF  EC
c) BDF  EDC .
d) AD  FC .

Bài 12. MĐ4 Cho tam giác ABC  AB  AC  , tia Ax đi qua trung điểm M của BC . Kẻ BE và CF
vuông góc với Ax (E, F  Ax) .
a) Chứng minh: BE // CF .
b) So sánh BE và FC ; CE và BF .
c) Tìm điều kiện
AB để có BE  CE .
về
C
Bài 13. MĐ4 Cho tam giác ABC . Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua C
song song với AB ở D . Gọi M là giao điểm của BD và AC .
a) Chứng minh ABC  CDA .
b) Chứng minh M là trung điểm của AC .
c) Đường thẳng d qua M cắt các đoạn thẳng AD, BC lần lượt ở I , K . Chứng minh M là trung điểm
của IK .
Bài 14. MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD 
( D, C

AB

khác phía so với AB ). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE  AC ( E, B khác phía so với
AC ). Chứng minh:
a) BE  DC .
b) BE  DC .
Bài 15. MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
AB, AC . Lấy điểm E, D
của
sao cho M , N là trung điểm của CE, BD .
a) Chứng minh: AD // BC .
b) Chứng minh: A, E, D thẳng hàng.
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
M

D

A

C

B

F

E

P

N

Bài 2. MĐ1 Trên mỗi hình 1, hình 2, hình 3 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
C

E

A

3

A

S

F

O
K
Hình 1

G

H

B

B
Hình 2

3

D

Hình 3

C

Bài 3. MĐ1 Cho hình vẽ, chứng minh ABC  MNP .
A

M

45°

70°
B

70°
N

C

65°
P

Bài 4. MĐ2 Cho

ABC  MNP . Gọi AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC . Gọi ME
là đường phân giác góc M của tam giác MNP . Chứng ABD  MNE.
Bài 5. MĐ3 Cho góc xAy . Lấy điểm B trên Ax , điểm D trên Ay sao cho AB 

AD

. Trên tia Bx

lấy điểm E , trên tia Dy lấy điểm C sao cho BE  DC . Chứng minh ABC  ADE .
Bài 6. MĐ4 Cho AB có D là trung điểm của BC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm
C
A , vẽ tia Bx // AC , Bx cắt tia AD ở E .
a) Chứng minh ADC  EDB .
b) Trên tia đối của tia AC , lấy điểm F sao cho AF  AC . Gọi I là giao điểm của AB và EF .
Chứng minh AIF  BIE .
Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh một tính chất khác
Bài 1. MĐ1 Cho ABC có AB  AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , AB . Chứng
minh rằng : BM  CN .
Bài 2. MĐ2 Cho ABC có AB  AC , phân giác AM  M  BC  . Chứng minh:
a) ABM ACM .
b) M là trung điểm của BC và AM  BC .
Bài 3. MĐ2 Cho tam giác ABC có : AB 
và M là trung điểm của BC .
AC
a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC .
b) Chứng minh AM  BC .
c) Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB cắt tia AM tại N . Chứng minh M là trung điểm của
AN .
Bài 4. MĐ2 Cho ABC , có B  và AB  AC . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D . Tia phân
C

giác của góc C cắt AB ở E .
a) So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE .
b) Gọi I là giao điểm BD và EC . Chứng minh BI  IC , IE  ID .
Bài 5. MĐ3 Cho AB có AB  AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ tia Bx , Cy lần
C
lượt cắt hai cạnh AC , AB tại D, E sao cho ABD  ACE .
a) Chứng minh AD  AE .
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE . Chứng minh EBI  DCI .
c) Chứng minh AI  BC .
Bài 6. MĐ4 Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC . Trên tia đối
của tia NB lấy điểm D sao cho ND  NB . Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME  MC
Chứng minh :
a) AD  BC .
4

b) AE // BC .
c) A là trung điểm của DE .
Bài 7. MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AM  AB ; AM 

AB

sao cho M và

C khác phía đối với đường thẳng AB . Vẽ đoạn thẳng AN  AC và AN  AC sao cho N và B khác
phía đối với đường thẳng AC . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của BN và CM . Chứng minh :

4

a) AMC  ABN .
b) MC 
và MC  BN .
BN
và AI  AI .
c) AI 

AK

4