Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
I. Phương pháp giải:
Dựa vào định lí, tính chất về sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác.
II. Bài toán.
Bài 1.
Cho

AB
C

đều. Ba đường
cao

AM , BN,CP cắt nhau tại O . Chứng minh rằng:

a) OA  OB  OC .
b) O là trọng tâm của ABC
c) AM  BN  CP
Lời giải:

Bài 2. Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc
nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Lời giải

1

Bài 3. Chứng minh rằng một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác
đều.
Lời giải

Bài 4.
Cho
của ABC ,
MAB

AB
C

vuông tại A , kẻ đường cao AH và trung tuyến AM . Chứng minh trực tâm
và MAC thẳng hàng.
Lời giải

2

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường
cao

AH. Lấy I là trung điểm của AC.

a) Chứng minh I là giao điểm của 3 đường trung trực AHC
b) Gọi K và D lần lượt là trung điểm của AH và
c) Chứng minh BK  AD .

HC. Chứng minh KD / / AC .

Lời giải

Bài 6. Cho tam ABC cân tại

A, hai đường cao BD và CE cắt nhau

tại
AI cắt BC tại M . Chứng minh
a) M là trung điểm của

BC.

b) Tam giác MED là tam giác
Lời giải

cân.

I (D


AC, E  AB) . Tia

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường phân giác BD cắt nhau
tại K. Gọi E là giao điểm của CK và AB. Chứng
BD  CE.
minh
Lời giải

Bài 8. Cho tam
giác

ABC. Hai đường cao AH , BK cắt nhau tại I.

a) Chứng minh rằng CI  AB.
4

b) Khi ACH  50, hãy tính các
góc

BIH , HIK.

5

Lời giải

Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại
M . Biết

góc

BMC  120, tính các góc của tam giác ABC.

Lời giải

6

Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm
B,C. Gọi H và K lần lượt là chân
của
các đường vuông góc kẻ từ M đến AB
AC. Chứng minh MH  MK.
và
Lời giải

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 1. Cho  ABC cân tại A , đường trung tuyến AM . Đường trung trực của AB cắt AM ở O
. Chứng minh rằng điểm O cách đều ba đỉnh của ABC
Bài 2. Cho  ABC cân tại A , O là giao điểm của ba đường trung trực. Lấy điểm D trên cạnh
AB , điểm E trên cạnh sao cho AD  CE . Chứng minh rằng
a) OA  OB  OC .
b) Điểm O nằm trên đường trung trực của DE .
Bài 3. Nhà bạn Nam có một mảnh vườn nhỏ trồng hoa và cỏ nhật. Bố của bạn Nam nhờ Nam
chọn vị trí để đặt vòi xoay phun tưới cây tự động sao cho vị trí đó cách đều ba khóm hoa ở ba
góc vườn nhưng Nam lại chưa biết tìm như thế nào. Các em hãy giúp bạn Nam giải quyết vấn
đề này nhé.
Bài 4. Ông Hùng có ba cửa hàng A, B, C không nằm trên một đường thẳng và đang muốn tìm
địa điểm O để làm kho hàng. Phải chọn vị trí của kho hàng ở đâu để khoảng cách từ kho đến
các cửa hàng bằng nhau?
Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
7

Bài 5. Cho tam giác ABC cân ở A, đường phân giác AK. Các đường trung trực của AB và
AC cắt nhau tại O.
a) Chứng minh rằng ba điểm A, K, O thẳng hàng.
b) Kéo dài CO cắt AB ở D, kéo dài BO cắt AC ở E. Chứng minh rằng AK và các đường
trung trực của AD và AE đồng quy.
Bài 6. Cho xOy 
90

và điểm P nằm trong góc đó. Trên mặt phẳng đó lấy điểm A sao cho

Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PA và điểm B sao cho Oy là đường trung trực của

đoạn thẳng PB .
a) Chứng minh ba điểm O, A, B thẳng hàng.
b) Chứng minh O là giao điểm của ba đường trung trực
của

AB
P

từ đó suy
ra

ABP vuông.

Bài 7. Cho tam giác MNP cân ở M , đường cao MH . Các đường trung trực của MN và MP
cắt nhau ở D . Chứng minh ba điểm M , D, H thẳng hàng.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân có A là góc tù. Gọi M là trung điểm của BC . N nằm trong
tam giác ABC sao cho tam giác BNC cân tại N . Chứng minh đường thẳng AM và các đường
trung trực của NB, NC đồng quy.
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài
toán khác
Bài 9.
ABC có Aˆ 110 . Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở
Cho
E và F . Tính EAF .
Bài 10. Cho AB
C

cân tại A , A  900 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại

O và cắt BC tại D và E .

Chứng minh rằng:
a) OA là đường trung trực của BC .
b) BD  CE .
c) ODE là tam giác cân.
Bài 11. Cho M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC . Chứng minh rằng nếu
M nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.
Bài 12. Cho

ABC , đường phân giác AI  I  BC  . Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H , từ H kẻ

đường thẳng song song với AI cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F . Chứng minh rằng:
a) Đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua đỉnh A
của
b) Đường trung trực của đoạn thẳng EF vuông góc với AI
.
8

ABC .

c) Khi H di động trên tia IC của
AB
định.
C
Bài 13.

Cho AB
C

cố định thì đường trung trực của đoạn thẳng EF cố

có ba góc nhọn. Các điểm F, K , I lần lượt là trung điểm các cạnh

BC, BA, AC . Gọi H là giao điểm các đường trung trực ABC . Trên tia đối của tỉa FH lấy

9

điểm A1 sao cho A F  FH . Trên tia đối của tia KH lấy điểm
1
C1

sao cho KH  KC1. Trên tia

đối của tia IH lấy điểm B1 sao cho IH  IB1 .
a) Chứng minh rằng hình lục
giác một song song.
b) Chứng minh
AB
rằng:
C

AC1BA1CB1 có 6 cạnh bằng nhau và 2 trong 6 cạnh đó đôi

= A1B1C1
BA ĐƯỜNG CAO

Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
Bài 14.
ABC , các đường cao AK, BN,CM . Điểm H là trực tâm của tam giác. Tìm trực
Cho
tâm của BHC AHC AHB .
,
,
Bài 15. Cho tam giác ABC , hai đường cao BD và CE . Gọi M là trung điểm của
minh M thuộc trung trực của DE .

BC. Chứng

Bài 16. Đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA  MB). Vẽ tia Mx vuông AB lấy
hai điểm C và D sao cho MA  MC , MD  MB. Tia AC vuông cắt BD tại E . Chứng minh
1. AE  BD
2. C là trực tâm của tam giác ABD .
Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông
góc, ba đường thẳng đồng quy
Bài 17. Cho tam giác LMN nhọn và điểm S nằm trong tam giác. Gọi LS cắt MN tại P , MS
cắt LN tại Q . Chứng minh rằng nếu LP vuông góc với MN và MQ vuông góc với LN thì NS
vuông góc với ML .
Bài 18.
Cho

MNP cân tại M , đường cao PQ cắt đường phân giác MS ở K . Chứng minh

NK  MP

ABC vuông tại A , kẻ đường cao AH . Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC . Qua
Bài 19.
Cho
K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D . Chứng minh AK  CD .

Bài 20.
Cho

MNP vuông tại M MP  MN  . Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ  MP ,

trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR  MN . Chứng minh:
a) PQ  NR .
b) RQ  NP .
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Bài 21. Cho

MNP có ba góc nhọn, các đường cao NQ, PR cắt nhau tại S.

a) Chứng minh MS  NP .
1

b) Cho MNP  650 . Tính SMR .
Bài 22.
Cho
BD  BA .

AB
C

vuông tại A , kẻ đường phân giác BM . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho

a) Chứng minh BM  AD .

1

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC , K là hình chiếu vuông góc của A trên DM
. Chứng minh ba đường
AK, BM , DH đồng quy.
thẳng
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 1.

Bài 2.

1

Bài 3.

Bài 4.

Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
Bài 5.

1

Bài 6.

1

Bài 7.

Bài 8.

1

Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài
toán khác
Bài 9.

Bài 10.

1

Bài 11.

1

Bài 12.

Bài 13.

1

1

BA ĐƯỜNG CAO
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
Bài 14.

2

Bài 15.

Bài 16.

Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông
góc, ba đường thẳng đồng quy
Bài 17.

2

Bài 18.

Bài 19.

Bài 20.

2

Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Bài 21.

2

Bài 22.

PHIẾU BÀI TẬP
BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 1. Chọn đáp án đúng. Điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác là giao điểm của:
A. 3 đường trung tuyến.
B. 3 đường phân giác.
C. 3 đường trung trực.
D. 3 đường cao.
Bài 2. Chọn đáp án đúng.
a) Cho

AB
C

A. trong
B. ngoài

tù, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:

ABC .
ABC .
2

C. trên 1 cạnh của ABC .

2

D. trùng với 1 đỉnh của ABC .
b) Cho ABC có A  90 thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:
A. nằm trong
B. nằm ngoài

ABC
ABC

C. là trung điểm của cạnh BC
D. trùng với đỉnh A của ABC
c) Cho

AB
C

A. trong
B. ngoài

nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:

ABC
ABC

C. trên một cạnh của ABC
D. trùng với một đỉnh của ABC
Bài 3. Cho ΔABC . Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C và vẽ đường tròn đi qua 3 đỉnh của
tam giác trong mỗi trường hợp sau:
a) ΔABC là tam giác nhọn.
b) ΔABC vuông tại A .
c) ΔABC là tam giác tù.
Bài 4. Cho
A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Xác định đường tròn đi qua ba điểm
đó.
Bài 5.
ABC có A  90 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt
Cho
BC theo thứ tự ở D và E .
AD, AE,OB,OC . Tìm tam giác
OAD , bằng OAE.
Nối
bằng
Bài 6.
AB vuông tại A , đường cao AH . Tia phân giác của các góc BAH và CAH cắt
Cho
C
BC lần lượt ở D và E . Gọi O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC .
a) Chứng minh rằng đường tròn tâm O , bán kính OA đi qua ba
điểm

A, D, E .

b) Tính số đo góc DOE .
Bài 7. Tam giác ABC có A là góc tù. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau
ở O. Các điểm B và C có thuộc đường tròn tâm O bán kính OA hay không? Vì sao?
Bài 8.
Cho

AB có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC . Trên
C
tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB  OD .

a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD .
b) Chứng minh

các
2

ABD ,

CBD

vuông.

c) Biết ABC  70 . Hãy tính số đo ADC .
Bài 9. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O . Biết rằng điểm O cũng là giao
điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC đều.

2

Bài 10. Cho AB
C

AM  BN 
CP

a. Chứng minh

đều. Trên cạnh AB, BC,CA lấy theo thứ tự ba
điểm

MNP là tam giác đều

2

M , N, P sao cho

b. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ABC .
Chứng minh rằng điểm O cũng là giao điểm các đường trung trực của MNP
Bài 11. Trong một buổi tổng vệ sinh sân trường, 3 tổ cần dọn cỏ và rác của 3 bồn cây A, B, C
ở 3 góc sân trường. Em hãy giúp 3 tổ chọn một vị trí O để đặt chiếc xe đẩy rác sao cho vị trí
chiếc xe cách đều 3 bồn cây đó.
Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
Bài 1. Cho

AB
C

cân tại A . Dựng tam giác BCD cân tại D biết D khác phía với A đối với

đường đường thẳng BC . Gọi O là giao điểm của AB và AC . Chứng minh rằng A,O, D thẳng
hàng.
Bài 2. Cho AB cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường trung trực của AB và
C

AC cắt nhau ở E .

Chứng minh ba

A, E, M thẳng hàng.

điểm
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, O là giao điểm ba đường trung trực
của tam giác ABC .
a) Tam giác BOC là tam giác gì?
b) Chứng minh ba điểm A,O,G thẳng hàng?
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường trung trực của
AB, AC cắt nhau ở E . Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D sao cho tam giác BCD cân tại D ( D và A
nằm khác phía đối với đường thẳng BC ). Chứng minh các đường trung trực của AB và AC
đồng quy với đường thẳng AD
Bài 6. Cho ABC vuông ở A , D là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC .
Chứng minh B, D,C thẳng hàng.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A . M là trung điểm của BC . Kẻ ME vuông góc AB tại
E, MF vuông góc với AC tại F .
a) Chứng minh rằng AM là đường trung trực của EF ?
b) Kẻ đường thẳng d vuông góc AB tại B , kẻ đường thẳng d / vuông góc với AC tại C , hai
đường thẳng d và d / giao nhau giao tại D . Chứng minh rằng ba
A, M , D thẳng hàng?
điểm
Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC . Gọi H ,G,O theo thứ tự là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba
đường trung trực của tam giác. Tia AG cắt BC ở M . Gọi I là trung điểm của GA, K là trung
điểm của GH . Chứng minh:
1

a) OM  AH
2

2

b) IGK  MGO
c) Ba điểm H ,G,O thẳng hàng
d) GH  2GO
Bài 9. Cho tam giác ABC cân ở A , đường phân giác AK . Các đường trung trực của AB và
AC cắt nhau tại O . Kéo dài CO cắt AB ở D , kéo dài BO cắt AC ở E .
a) Chứng minh ba điểm A, K ,O thẳng hàng.
b) Chúng minh AK và các đường trung trực của AD và AE đồng quy.
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài
toán khác
Bài 1.
Cho

AB cân tại A , đường trung tuyến AM . Đường trung trực của AC cắt đường
C
thẳng AM tại D . Chứng minh rằng DA  DB .

Bài 2. Cho tam giác cân ABC có AB  AC . Hai đường trung trực của hai cạnh

AB; AC cắt

nhau tại O . Chứng minh: AOB  AOC .
Bài 3.
ABC , M là trung điểm
BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau
Cho
của
tại O. Tính số đo góc OMB.
Bài 4.
Cho

có góc A  110. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I.

AB
C

a) Chứng
minh

BI
C

b) Chứng
minh

BIC  2 180 BAC

cân.



góc
Bài 5.
Cho

 và tính số đo

BIC.

ABC có Aˆ  60 . Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở

E

và F . Tính EAF .
Bài 6.
Cho

AB
C

cân tại A . Đường trung tuyến AM cắt đường trung trực của AC tại K .

Chứng minh rằng KA  KB  KC.
Bài 7.
Cho

AB cân tại A , A  900 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại O
C
và cắt BC tại D và E . Chứng minh rằng:

a) OA là đường trung trực của BC .
b) BC  CE .
c) ODE là tam giác cân.
Bài 8. Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông cắt nhau tại trung điểm của
3

cạnh huyền.
Bài 9. Cho tam giác đều ABC . Gọi D và E là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AC sao
cho BD  AE . Chứng minh rằng các đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một
điểm cố định khi D và E di chuyển trên các cạnh AB và AC .
Bài 10. Cho ABC , AC  AB . Hai điểm D và E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và
AC sao cho BD  CE . Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm
cố định.

3

BA ĐƯỜNG CAO
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
Bài 1. Cho ABC
có

ABC  90 , AH  BC . Em chọn phát biểu đúng:

A. H là trực tâm
của

ABC

B. A là trực tâm của
C. B là trực tâm của
D. C là trực tâm của

ABC
ABC
ABC

Bài 2. Cho ABC , hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H . Em chọn phát biểu đúng:
A. H là trọng tâm của ABC .
B. HA 
AM

2

3

2

và HB  BN
3

3

C. H là trực tâm
của

ABC ; CH là đường cao của ABC .

D. CH là đường trung trực của ABC .
Bài 3.
Cho

AB
C

tại M . Chọn phát biểu đúng:

cân tại A có AM 
BC

A. AM là đường trung tuyến của ABC
B. AM là đường trung trực của BC .
C. AM là đường phân giác của BAC .
D. Cả A, B, C đều đúng.
Bài 4. Cho
AB
D . Khi đó C

vuông tại A . Lấy H thuộc AB , vẽ HE  BC ở E . Tia EH cắt tia CA tại

A. H là trọng tâm của BCD .
B. H là trực tâm của BCD .
C. H là giao ba đường trung trực
của
D. H là giao ba đường phân giác của
Bài 5. Cho tam
giác
AHB, AHC .

AB
C

BCD .
BCD .

vuông tại A, đường cao AH . Tìm trực tâm của các giác ABC,

Bài 6. Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác
HBC, HAB, HAC

Bài 7. Cho

ABC có A  700 , AB  AC , đường phân giác góc A cắt BC tại D , BF 
AC
F , H là giao điểm của BF và AD , E thuộc AC sao cho AE  AB .

a) Xác định trực tâm
của
b) Tính số đo DHF .

tại

ABE .

Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông
góc, ba đường thẳng đồng quy

3

Bài 1.
AB cân tại A , đường cao BE cắt đường trung tuyến AD ở H . Chứng minh CH
Cho
C
tạo với AB một góc 90 .
Bài 2. Cho tam
giác

AB cân tại A . đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D .
C
Chứng minh rằng BD  AC .

Bài 3.
Cho

MNP vuông tại M . Trên cạnh MN lấy điểm Q , kẻ QR  NP  R NP . Gọi O là

giao điểm của các đường thẳng PM và RQ . Chứng minh PQ  ON .
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D sao cho A là trung điểm
của

3

BD. Kẻ đường

cao AE của tam giác ABC , đường cao AF của tam giác ACD . Chứng minh rằng AE  AF.
Bài 5. Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, các đường
cao

NQ, PR cắt nhau tại S .

a) Chứng minh MS  NP .
b) Cho MNP = 65°. Tính SMR .
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AH . Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng
HC . Qua K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D . Chứng minh AK  CD .
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại

B. Trên cạnh AB lấy điểm H.Trên tia đối của tia BC

lấy điểm D sao cho BH  BD . Chứng minh
a) DH  AC.

b) CH  AD.

Bài 8. Cho tam giác MNP vuông tại M MP  MN  . Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho
MQ  MP , trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR  MN . Chứng minh:

a) PQ  NR .
b) RQ  NP .
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường phân giác BM . Trên cạnh BC lấy điểm D
sao cho BD  BA .
a) Chứng minh BM  AD .
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM .
Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy.
Bài 10. Đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA  MB). Vẽ tia đó lấy hai điểm C và
D sao cho MA  MC , MD  MB. Tia AC vuông cắt BD tại E . Chứng minh:
a) AE 
BD

b) C là trực tâm của tam giác ABD
Bài 11. Cho góc nhọn xOy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B sao cho
OA  OB. Kẻ AC  Oy, BD  Ox (C Ox, D Oy) . Đường thẳng vuông góc với Ox tại A
và
đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt nhau tại M . Chứng minh: OM , AC, BD đồng quy.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E
sao
BA, DE,CH đồng quy.
BA  BE. Vẽ CH  DB. Chứng minh
cho
rằng
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác

3

Bài 1.
Cho

AB
C

đều. Ba đường
cao

AM , BN,CP cắt nhau tại O . Chứng minh rằng:

a) OA  OB  OC .
b) O là trọng tâm của ABC
c) AM  BN  CP

3

Bài 2. Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc
nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Bài 3. Chứng minh rằng một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác
đều.
Bài 4.
Cho

AB
C

của ABC ,

vuông tại A , kẻ đường cao AH và trung tuyến AM . Chứng minh trực tâm
và MAC thẳng hàng.

MAB

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường
cao

AH. Lấy I là trung điểm của AC.

a) Chứng minh I là giao điểm của 3 đường trung trực AHC
b) Gọi K và D lần lượt là trung điểm của AH và
c) Chứng minh BK  AD .
Bài 6. Cho tam ABC cân tại

HC. Chứng minh KD / / AC .

A, hai đường cao BD và CE cắt nhau

tại
AI cắt BC tại M . Chứng minh
a) M là trung điểm của

I (D


AC, E  AB) . Tia

BC.

b) Tam giác MED là tam giác cân.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A,

đường trung tuyến AM và đường phân giác BD cắt nhau

tại K. Gọi E là giao điểm của CK và AB. Chứng
minh
Bài 8. Cho tam
giác

BD  CE.

ABC. Hai đường cao AH , BK cắt nhau tại I.

a) Chứng minh rằng CI  AB.
b) Khi ACH  50, hãy tính các
góc

BIH , HIK.

Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại
M . Biết

góc

BMC  120, tính các góc của tam

ABC.

giác

Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm
B,C. Gọi H và K lần lượt là chân
của
các đường vuông góc kẻ từ M đến AB
AC. Chứng minh MH  MK.
và
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 1. Cho  ABC cân tại A , đường trung tuyến AM . Đường trung trực của AB cắt AM ở O
3

. Chứng minh rằng điểm O cách đều ba đỉnh của ABC
Bài 2. Cho  ABC cân tại A , O là giao điểm của ba đường trung trực. Lấy điểm D trên cạnh
AB , điểm E trên cạnh sao cho AD  CE . Chứng minh rằng
a) OA  OB  OC .

3

b) Điểm O nằm trên đường trung trực của DE .
Bài 3. Nhà bạn Nam có một mảnh vườn nhỏ trồng hoa và cỏ nhật. Bố của bạn Nam nhờ Nam
chọn vị trí để đặt vòi xoay phun tưới cây tự động sao cho vị trí đó cách đều ba khóm hoa ở ba
góc vườn nhưng Nam lại chưa biết tìm như thế nào. Các em hãy giúp bạn Nam giải quyết vấn
đề này nhé.
Bài 4. Ông Hùng có ba cửa hàng A, B, C không nằm trên một đường thẳng và đang muốn tìm
địa điểm O để làm kho hàng. Phải chọn vị trí của kho hàng ở đâu để khoảng cách từ kho đến
các cửa hàng bằng nhau?
Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
Bài 5. Cho tam giác ABC cân ở
A, đường phân giác AK. Các đường trung trực của AB và
AC cắt nhau tại O.
a) Chứng minh rằng ba điểm A, K, O thẳng hàng.
b) Kéo dài CO cắt AB ở D, kéo dài BO cắt AC ở E. Chứng minh rằng AK và các đường
trung trực của AD và AE đồng quy.
Bài 6. Cho xOy 
90

và điểm P nằm trong góc đó. Trên mặt phẳng đó lấy điểm A sao cho

Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PA và điểm B sao cho Oy là đường trung trực của

đoạn thẳng PB .
a) Chứng minh ba điểm O, A, B thẳng hàng.
b) Chứng minh O là giao điểm của ba đường trung trực
của

AB
P

từ đó suy
ra

ABP vuông.

Bài 7. Cho tam giác MNP cân ở M , đường cao MH . Các đường trung trực của MN và MP
cắt nhau ở D . Chứng minh ba điểm M , D, H thẳng hàng.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân có A là góc tù. Gọi M là trung điểm của BC . N nằm trong
tam giác ABC sao cho tam giác BNC cân tại N . Chứng minh đường thẳng AM và các đường
trung trực của NB, NC đồng quy.
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài
toán khác
Bài 9.
ABC có Aˆ 110 . Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở
Cho
E và F . Tính EAF .
Bài 10. Cho AB
C

cân tại A , A  900 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại

O và cắt BC tại D và E .

Chứng minh rằng:
a) OA là đường trung trực của BC .
b) BD  CE .
3

c) ODE là tam giác cân.
Bài 11. Cho M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC . Chứng minh rằng nếu
M nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

4

Bài 12. Cho

ABC , đường phân giác AI  I  BC  . Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H , từ H kẻ

đường thẳng song song với AI cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F . Chứng minh rằng:
a) Đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua đỉnh A
của

ABC .

b) Đường trung trực của đoạn thẳng EF vuông góc với AI
.
c) Khi H di động trên tia IC của
AB
định.
C
Bài 13.

Cho AB
C

cố định thì đường trung trực của đoạn thẳng EF cố

có ba góc nhọn. Các điểm F, K , I lần lượt là trung điểm các cạnh

BC, BA, AC . Gọi H là giao điểm các đường trung trực ABC . Trên tia đối của tỉa FH lấy

điểm A1 sao cho A F  FH . Trên tia đối của tia KH lấy điểm
1
C1

sao cho KH  KC1. Trên tia

đối của tia IH lấy điểm B1 sao cho IH  IB .
1
a) Chứng minh rằng hình lục
giác một song song.
b) Chứng minh
AB
rằng:
C

AC1BA1CB1 có 6 cạnh bằng nhau và 2 trong 6 cạnh đó đôi

= A1B1C1
BA ĐƯỜNG CAO

Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
Bài 14.
ABC , các đường cao AK, BN,CM . Điểm H là trực tâm của tam giác. Tìm trực
Cho
tâm của BHC AHC AHB .
,
,
Bài 15. Cho tam giác ABC , hai đường cao BD và CE . Gọi M là trung điểm của
minh M thuộc trung trực của DE .

BC. Chứng

Bài 16. Đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA  MB). Vẽ tia Mx vuông AB lấy
hai điểm C và D sao cho MA  MC , MD  MB. Tia AC vuông cắt BD tại E . Chứng minh
1. AE  BD
2. C là trực tâm của tam giác ABD .
Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông
góc, ba đường thẳng đồng quy
Bài 17. Cho tam giác LMN nhọn và điểm S nằm trong tam giác. Gọi LS cắt MN tại P , MS
cắt LN tại Q . Chứng minh rằng nếu LP vuông góc với MN và MQ vuông góc với LN thì NS
vuông góc với ML .
Bài 18.
Cho
NK  MP

Bài 19.

Cho

MNP
ABC
4

cân tại M ,
đường cao
PQ cắt

đườn giác MS ở K . Chứng minh
g
phân
vuông tại A , kẻ đường cao AH . Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC . Qua
K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D . Chứng minh AK  CD .

Bài 20.
Cho

MNP vuông tại M MP  MN  . Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ  MP ,

trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR  MN . Chứng minh:
a) PQ  NR .
b) RQ  NP .

4

Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Bài 21. Cho

MNP có ba góc nhọn, các đường cao NQ, PR cắt nhau tại S.

c) Chứng minh MS  NP .
d) Cho MNP  650 . Tính SMR .
Bài 22.
Cho
BD  BA .

AB
C

vuông tại A , kẻ đường phân giác BM . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho

c) Chứng minh BM  AD .
d) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC , K là hình chiếu vuông góc của A trên DM
. Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy.

4