CHUYÊN ĐỀ 34.1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN,
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Đường trung tuyến của một tam giác
A

B

M

C

 Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung
tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của ABC .
 Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến
của

ABC .

 Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
2. Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm).
Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

3. Vị trí của trọng tâm:
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng
qua đỉnh
ấy:

AG
AD



2

3 độ dài đường trung tuyến đi

BG

CG 2


BE CF 3

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác
I. Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các tỉ số liên quan đến trọng tâm tam giác.
II. Bài toán.
Bài 1. Chọn câu sai:
A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến.
B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm.
C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó.
D. Một tam giác có hai trọng tâm.
1

Lời giải

2

Bài 2. Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một
khoảng bằng … độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
A.

2
.
3

Lời giải

B.

3

C. 3.

.
2

Bài 3. Cho hình vẽ sau. Tính tỉ số

BG
BE

D. 2.

?
A

E

F
G
B

C

D

Lời giải

Bài 4. Cho hình vẽ sau.Tình tỉ số

AG
GD ?
A

E

F
G
B

D

Lời giải

3

C

Bài 5. Tam giác ABC có trung tuyến AM 
Lời giải

Bài 6.
Cho

và trọng tâm G . Tính độ dài đoạn AG ?

9cm

ABC, BC  a,
CA

Chứng minh
rằng

 b,
AB

bca

m
2


a


c.

Kẻ trung
tuyến

bc
2

Lời giải

4

AM . Đặt
AM

 ma .

Bài 7.
Cho

ABC có hai đường trung tuyến BD, CE

a) Tính các tỉ
số
b) Chứng minh .
BD

BG CG
BD ,CE

 C
E

3
 BC .
2

Lời giải

Bài 8. Cho ABC có BC


8 cm , các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G . Chứng

minh BD  CE  12 cm .
Lời giải

5

Bài 9. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G . Trên tia đối của
tia . PB . lấy điểm E sao cho PE  PG . Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho
QF  QG . Chứng minh:
a) G
B

 GE,
GC

 GE ;

b) EF  BC
và

EF / /BC .

Lời giải

Bài 10.
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G . Trên tia
đối của tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng MG. Trên tia đối của tia
EG lấy điểm N sao cho E là trung điểm GN . Chứng minh:
a) G
N

 GB,
GM


GA;

b) AN  MB và
AN

Lời giải

6

/ / MB .

Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
I. Phương pháp giải:
Để chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác, ta có thể dùng một trong hai cách
sau:
+ Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.
+ Chứng minh điểm đó thuộc mộtđường trung tuyến của tam giác và thỏa mãn một
trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâmcủa tam giác.
II. Bài toán.
Bài 1. Cho hai đường
thẳng

xx ' và yy ' cắt nhau tại O. Trên tia Ox lấy hai

A, B sao cho

điểm
A nằm giữa O và B, AB  2OA. Trên yy ' lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của
LM . Nối B
L, B với M và gọi P là trung điểm của
MB, Q là trung điểm của đoạn
với
đoạn
LB . Chứng minh rằng các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A .

Lời giải

Bài 2. Cho AB
C

với đường trung tuyến AD . Trên tia AD lấy điểm E sao cho

AD
trên tia BC lấy điểm M sao cho BC  CM . Chứng minh C là trọng tâm của  AEM .

Lời giải
7

 DE ,

Bài 3. Cho ABC . Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai
điểm
AD 
DE

 EM . Chứng minh E là trọng tâm

của

D, E sao cho

ABC .

Lời giải

Bài 4. Cho

ABC . Vẽ trung tuyến BM . Trên tia BM lấy hai

G, K sao cho BG 

2
3

BM

điểm
và G là trung điểm của BK . Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I . Chứng minh: I là
trọng tâm
KGC .
của
Lời giải

8

Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều
I. Phương pháp giải:
Chú ý những tính chất của tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.
II. Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM . Chứng minh rằng AM vuông góc với
BC .
Lời giải

Bài 2.
Cho

AB
C

có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh
rằng

tam giác cân.
Lời giải
9

ABC là

Bài 3. Cho tam
ABC, đường trung tuyến Gọi K là trung điểm của BM . Trên tia đối của
giác
tia lấy KA điểm E sao cho KE  KA.
a) Điểm M là trọng tâm của tam giác nào? Vì sao?
b) Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh rằng ba điểm A, M , F thẳng hàng.
Lời giải

Bài 4. Cho AB
C

vuông tại A , trung tuyến AM . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho

MD  MA .
10

a) Tính ABD

11

b) Chứng
minh

AB
D

 BAC .

1

c) Chứng minh AM  BC
2

Lời giải

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác
Bài 1. Cho hình 1. Điền số thích hợp vào chỗ trống :
GD  ...BD; AG  ...GE;
GD  ...BG; AE  ...AG;
AE  ...GE.

C
D

A

E

G
B
Hình 1

Bài 2. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Cho biết BD  CE .
Hãy so sánh GBC và GCB .
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm BM . Trên tia đối của
tia IA lấy điểm E sao cho IE  IA .
a) Điểm M là trọng tâm của tam giác nào?
b) Gọi F là trung điểm của CE . Chứng minh rằng ba điểm A, M , F thẳng hàng.

12

1
 KB .
ABC , M là trung điểm AC . Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho
2
KM
Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH  2BK . Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và
1
IC  CA . Đường KI cắt HC ở E .
3

Bài 2. Cho

a) Chứng minh I là trọng tâm của HKC và E là trung điểm của HC .
IE IC . Chứng minh ba
,

b) Tính các tỉ
số

IK MC

H , I , F thẳng hàng ( I là trung điểm KC )

điểm

Bài 3. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của BC, CD . Đoạn thẳng AM , AN cắt BD lần lượt tại I và K . Chứng
minh:
a) I là trọng tâm của AB và K là trọng tâm của  ADC ;
C

b) BI 

IK

 KD .

Bài 4. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD . Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho
DE


P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP 
PQ

BD .

Gọi

 QE . Chứng minh:

a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB, AE .
b) CP / / AQ và CQ / / AP .
Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều
Bài 1. Cho tam giác . ABC . cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho
DAE 
ABD.

Chứng minh
rằng

DAE  ECB.

Bài 2. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng :
ABC là tam giác cân.
Bài 3. Cho
AM 
BN

có ba đường trung tuyến

 CP . Chứng

mình

Bài 4. Cho
AG 
BG

AB
C

AB
C

minh

ABC đều.

có ba đường trung tuyến

 CG . Chứng

AM , BN, CP cắt nhau tại G . Biết

AM , BN, CP cắt nhau tại G. Biết

ABC đều.

ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác
13

Bài 1.

14

Bài 2.

Dạng 2 . Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Bài 1.

15

Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

16

Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều
Bài 1.

17

Bài 2.

Bài 3.

18

Bài 4.

PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác
Bài 1. Chọn câu sai:
A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến.
B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm.
C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó.
D. Một tam giác có hai trọng tâm.
Bài 2. Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một
khoảng bằng … độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
A.

2
.
3

B.

3
.
2

C. 3.

D. 2.

19

Bài 3. Cho hình vẽ sau. Tính tỉ số

BG
BE

?
A

E

F
G
B

C

D

Bài 4. Cho hình vẽ sau.Tình tỉ số

AG
GD ?
A

E

F
G
B

Bài 5. Tam giác ABC có trung tuyến AM 

và trọng tâm G . Tính độ dài đoạn AG ?

9cm

Bài 6.
Cho

ABC, BC  a,
CA
bca

Chứng minh
rằng

2

Bài 7.
Cho

C

D

 b,
AB

m 
a


c.

Kẻ trung
tuyến

AM. Đặt AM  ma .

bc
2

ABC có hai đường trung tuyến BD, CE

a) Tính các tỉ
số

BG CG
BD ,CE

b) Chứng minh BD

Bài 8. Cho

 C
E

ABC có BC


3
 BC
2
8 cm , các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G . Chứng

minh BD  CE  12 cm .
Bài 9. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G . Trên tia đối của
tia PB lấy điểm E sao cho PE  PG . Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho
QF  QG . Chứng minh:
a) G
B

 GE,
GC

 GE ;

b) EF  BC
và
20

EF / /BC .

Bài 10.
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G . Trên tia
đối của tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng MG. Trên tia đối của tia
EG lấy điểm N sao cho E là trung điểm GN . Chứng minh:
a) G
N

 GB,
GM


GA;

b) AN  MB và
AN

Bài 11. Cho hình 1. Điền số thích hợp vào chỗ trống :

21

/ / MB .

GD  ...BD; AG  ...GE;
GD  ...BG; AE  ...AG;
AE  ...GE.

C
D

A

E

G
B
Hình 1

Bài 12. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Cho biết
BD  CE . Hãy so sánh GBC và GCB .

Dạng 2.Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Bài 1. Cho hai đường
thẳng

xx ' và yy ' cắt nhau tại O. Trên tia Ox lấy hai

A, B sao cho

điểm
A nằm giữa O và B, AB  2OA. Trên yy ' lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của
LM . Nối B
L, B với M và gọi P là trung điểm của
MB, Q là trung điểm của đoạn
với
đoạn
LB . Chứng minh rằng các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A .

Bài 2. Cho AB
C

với đường trung tuyến AD . Trên tia AD lấy điểm E sao cho

AD
trên tia BC lấy điểm M sao cho BC  CM . Chứng minh C là trọng tâm của  AEM .

Bài 3. Cho

ABC . Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai

điểm
AD 
DE

 EM . Chứng minh E là trọng tâm

của

 DE ,

D, E sao cho

ABC .

2

Bài 4. Cho ABC . Vẽ trung tuyến BM . Trên tia BM lấy hai
G, K sao cho BG  BM
3
điểm
và G là trung điểm của BK . Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I . Chứng minh: I là
trọng tâm của KGC .
Bài 5. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm BM . Trên tia đối của
tia IA lấy điểm E sao cho IE  IA .
a) Điểm M là trọng tâm của tam giác nào?
b) Gọi F là trung điểm của CE . Chứng minh rằng ba điểm A, M , F thẳng hàng.
Bài 6. Cho

ABC , M là trung điểm AC . Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho
KM
22



1
2

KB .

Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH  2BK . Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và
IC 

1

3

CA . Đường KI cắt HC ở E .

a) Chứng minh I là trọng tâm của HKC và E là trung điểm của HC .
b) Tính các tỉ
số

IE IC . Chứng minh ba
,
IK MC

H , I , F thẳng hàng ( I là trung điểm KC )

điểm

23

Bài 7. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của BC, CD . Đoạn thẳng AM , AN cắt BD lần lượt tại I và K . Chứng
minh:
a) I là trọng tâm của AB và K là trọng tâm của  ADC ;
C

b) BI 

 KD .

IK

Bài 8. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD . Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho
DE


P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP 
PQ

BD .

Gọi

 QE . Chứng minh:

a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB, AE .
b) CP // AQ và CQ // AP .
Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM . Chứng minh rằng AM vuông góc với
BC .
Bài 2.
AB có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh
ABC là
Cho
C
rằng
tam giác cân.
Bài 3. Cho tam
giác

ABC, đường trung

AM. Gọi K là trung điểm của BM . Trên tia đối

tuyến
của tia lấy KA điểm E sao cho KE  KA.
a) Điểm M là trọng tâm của tam giác nào? Vì sao?
b) Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh rằng ba điểm A, M , F thẳng hàng.
Bài 4. Cho AB
C

vuông tại A , trung tuyến AM . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho

MD  MA .
a)

Tính ABD

b)

Chứng
minh

c)

Chứng minh AM  BC

AB
D

 BAC .

1

2

Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho
DAE 
ABD.

Chứng minh
rằng

DAE  ECB.

Bài 6. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng :
ABC là tam giác cân.
Bài 7. Cho

AB
C

có ba đường trung tuyến
24

AM , BN, CP cắt nhau tại G . Biết

AM 
BN

 CP . Chứng

mình

Bài 8. Cho
AG 
BG

AB
C

có ba đường trung tuyến

 CG . Chứng

minh

ABC đều.

ABC đều.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác
Bài 1. Cho hình 1. Điền số thích hợp vào chỗ trống :

25

AM , BN, CP cắt nhau tại G. Biết

GD  ...BD; AG  ...GE;
GD  ...BG; AE  ...AG;
AE  ...GE.

C
D
E

G

A

B
Hình 1

Bài 2. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Cho biết BD  CE
. Hãy so sánh GBC và GCB .
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm BM . Trên tia đối của
tia IA lấy điểm E sao cho IE  IA .
a) Điểm M là trọng tâm của tam giác nào?
b) Gọi F là trung điểm của CE . Chứng minh rằng ba điểm A, M , F thẳng hàng.
Bài 2. Cho

ABC , M là trung điểm AC . Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho
KM



1
2

KB .

Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH  2BK . Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và
1
IC  CA . Đường KI cắt HC ở E .
3

a) Chứng minh I là trọng tâm của HKC và E là trung điểm của HC .
b) Tính các tỉ
số

IE IC . Chứng minh ba
,
IK MC

H , I , F thẳng hàng ( I là trung điểm KC )

điểm

Bài 3. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của BC, CD . Đoạn thẳng AM , AN cắt BD lần lượt tại I và K . Chứng
minh:
a) I là trọng tâm của AB và K là trọng tâm của  ADC ;
C

b) BI 

IK

 KD .

Bài 4. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD . Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho
DE
BD .
P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP 
 QE . Chứng minh:

PQ
Gọi
a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB, AE .
b) CP//AQ và CQ//AP .
26

Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều

27

Bài 1. Cho tam giác . ABC . cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho
DAE 
ABD.

Chứng minh
rằng

DAE  ECB.

Bài 2. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng :
ABC là tam giác cân.
Bài 3. Cho
AM 
BN

có ba đường trung tuyến

 CP . Chứng

mình

Bài 4. Cho
AG 
BG

AB
C

AB
C

AM , BN, CP cắt nhau tại G . Biết

ABC đều.

có ba đường trung tuyến

 CG . Chứng

minh

AM , BN, CP cắt nhau tại G. Biết

ABC đều.

CHUYÊN ĐỀ 34.2. BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Tia phân giác của một góc
+ Định nghĩa tia phân giác của góc: Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của
góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.
+ Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó.
+ Mọi điểm trên tia phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó. Ngược lại, mọi điểm
nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
x

A

z

M

O
B

y

2. Đường phân giác của tam giác

- Trong tam giác ABC , tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M thì đoạn thẳng AM
gọi là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ABC
- Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

28

3. Tính chất ba đường phân giác của tam giác:
* Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba
cạnh của tam giác đó.

29

A
K
E

L
F
I
B

C

H

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số
đo góc
I. Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất:
+ Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong tam giác nằm trên đường phân
giác của góc thứ ba.
+ Giao điểm của các đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác
+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180
II. Bài toán.
Bài 1. Tìm x trong mỗi hình vẽ sau biết CI và BI là hai phân giác của ACB và ABC , EH và
FH là hai phân giác của DEF và DFE .

Lời giải

30

Bài 2.
Cho

ABC có A  120. Các đường phân

giác

AD, BE. Tính số đo góc BED .

Lời giải

Bài 3.
ABC . Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác kẻ từ góc B và C . Tính số
Cho
đo góc BIC trong các trường hợp:
a) BAC  80

b) BAC  120

Lời giải

31

Bài 4. Cho ABC , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I
a) Biết A  70 , tính số đo góc BIC .
b) Biết BIC  140 , tính số đo góc A .
Lời giải

32

Bài 5. Cho ABC cân tại A . Gọi D là trung điểm của BC ; E và F lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ D đến AB, AC . Chứng minh rằng DE  DF .
Lời giải

Bài 6. Cho

ABC có A  90 các tia phân giác của B và C cắt nhau

tại
các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC.
a) Biết ID  2cm . Tính IE ?
b) Biết

ID  x 
3,

IE  2x  3 . Tìm x ?

Lời giải

33

I. .

Gọi

D, E là chân

Bài 7. Cho AB
C

gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc B. Qua I kẻ đường

thẳng song song với BC , cắt AB
tại

M , cắt AC tại N. Chứng minh rằng MN  BM  CN

Lời giải

34