Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

( HSGQG Bảng A - 2006)
Giải:
Điều kiện:
Hệ đã cho tương đương với:


Xét hàm số
trên

Có
với


là hàm số đồng biến trên

Hàm số
trên
có
với

là hàm số nghịch biến với

Nếu
là một nghiệm của hệ phương trình. Ta chứng minh

Không mất tính tổng quát ta giả sử
thì có 2 trường hợp
Trường hợp 1 :
. Do là hàm
nghịch biến,


Do
nên

Từ (6.28) và (6.29) ta có

Trường hợp 2 :

Tương tự

Do
nên

Từ (6.28) và (6.30) ta lại có

Phương trình
có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
.
Chú ý: Đối với hệ phương trình có dạng

( Được gọi là hệ lặp 3 ẩn )
Trong đó
là hàm số xác định trên D và đồng biến trên D.
Ta tìm miền giá trị của hàm số
trên D.
Giả sử
là nghiệm của hệ trên. Không mất tính tổng quát ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1:



Trường hợp 2:


( vô lý )
Với
thay vào giải phương trình
.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau

(6.31)
Giải:
Ta có

Xét hàm số
. Do



Có


đồng biến trên

Chứng tỏ hàm số
đồng biến trên
do

Hệ (6.32) viết lại như sau


Giả sử
là nghiệm của hệ (6.31). Không mất tính tổng quát ta giả sử:
Nếu





Nếu


( vô lý ).
Với



Do đó hệ có nghiệm là

Nhận xét: Cộng vế với vế của ba phương trình của hệ ta được :


Các bạn thử đi chứng minh
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình trên bằng cách viết lại hệ


Xét 2 trường hợp
và
dẫn đến điều vô lý.