Các phép biến đổi căn thức bậc hai , bậc ba
A- Mục tiêu :
- Hiểu các phép biến đổi căn thức bậc hai , bậc ba
- Biết vận dụng một cách linh hoạt các phép biến đổi căn thức bậc hai , bậc ba để rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai , bậc ba
- Có kỹ năng tìm ĐKXĐ của căn thức bậc hai , rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

B- Tài liệu hỗ trợ
SGK , SBT
Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 9
C - Nội dung
I - Bài đọc
A- Căn bậc hai
a/ Định nghĩa căn bậc hai số học :
Với số dương a , số
được gọi là căn bậc hai số học của a . Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai sồ học của 0 .
b/ Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

xác định khi A ≥ 0
c/ Các công thức biến đổi căn thức
1)
=

2)
=
.
(Với A ≥ 0 , B > 0 )
3)
=
(Với A ≥ 0 , B > 0 )
4)
=

(Với B ≥ 0 )
5) A
=
(Với A ≥ 0 , B ≥ 0 )
A
= -
(Với A < 0 , B ≥ 0 )
6)
=

(Với AB ≥ 0 , B ≠ 0 )
7)
=
(Với B > 0 )
8)
=
(Với A ≥ 0 , A ≠ B2 )
9)
=
(Với A ≥ 0 , B ≥ 0 , A≠ B )
B- Căn bậc ba
a/ ĐN : Căn bậc ba của một số a là một số x sao cho x3= a
Ký hiệu : x=

b/ Các công thức biến đổi :
1) Khai căn bậc ba của một tích số

2) Khai căn bậc ba của một thương số
3) Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

4) Đưa một thừa số vào trong dấu căn

5) Khử mẫu trong căn





6) Trục căn thức ở mẫu thức









II- Các hoạt động

HĐ 1 : ĐKXĐcủa căn thức
Bài tập 1 : Với giá trị nào của a thì các căn thức sau có nghĩa:
a/
b/

c/
d/

e/
g/








Bài tập 2 : Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có nghĩa :
a/
b/

c/
d/











HĐ2 : Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Bài tập 3 : Thực hiện phép tính
a/ 2
( 2
-
+1)
b/ (5 + 2
) (5 - 2
)
c/
.

d/ ( 3
+ 2
)2
Bài 4 : Thực hiện phép tính
a/

b/









HĐ 3 : Chứng minh đẳng thức
Bài 5: Chứng minh đẳng thức











HĐ 4 : Căn bậc ba
Bài 1 :Phân tích ra thừa số

Bài 2 : Rút gọn biểu thức





Bài tập 1 :
a/
xác định khi
≥ 0
a ≥ 0
b/
xác định khi -5a ≥ 0
a ≤ 0
c/
xác định khi 1- 6a ≥ 0
a ≤

d/ Ta có a2 ≥ 0 ,
a
R
a2+ 2 > 0 Với
a
R
Do đó
xác định với
a
R
e/Ta có 2a - a2 – 1 = - ( a2 – 2a + 1 )
= - ( a-1 )2 ≤ 0 với
a
R
Do đó không có giá trị nào của a dể
xác định
g/ Ta có a2 – 4a +7 = ( a – 2 )2 + 3 > 0 với
a
R
Do đó
xác định với
a
R


Bài tập 2 :
a/
có nghĩa khi x-1 > 0
x> 1
b/
có nghĩa khi x2 - 4x ≥ 0
x(x-4) ≥ 0
TH 1 :



x ≥ 4
TH 2 :



x ≤ 0
Vậy
có nghĩa khi x ≥ 4
x
0
c/
có nghĩa khi x2 - 4x +3 ≥ 0
(x-3)(x-1 ) ≥ 0
x ≥ 3
x
1
d/
có nghĩa khi




2≤ x ≤ 4


Bài tập 3 :
a/ 4
- 6 + 2
= 12
- 6 + 2

b/ 52- (2
)2 = 25-24 = 1
c/
=
=
= 3
d



Bài 4 :
a/




b/









Bài 5 : Biến đổi vế trái ta có


Vậy đẳng thức đúng

Bài 1 :






III- Bài tập đề nghị
* Dạng 1: Tính
1)

2)
3)
4)

5)
6)
7) 8)

9)
10)
11)

13)
14)

15)
16)

17)

18)
19)

20)

* Dạng 2: Rút gọn biểu thức
1)
2)
3)
4)

5)
6)
7)

8)
9)


10)
11)

12)
13)

14)
(với x>1)
15) Rút gọn rồi tìm x để A=-1 với

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Chứng minh các đẳng thức sau
1)
2)

3)
4)

5)

* Tính giá trị biểu thức sau bằng hai cách
1)

* Tính GTBT

IV - Hướng dẫn về nhà
Ôn tập lý thuyết
Làm bài tập đề nghị
Hệ thức lượng trong tam giác trong đường tròn
A - Mục tiêu :
Nắm vững các hệ thức lượng trong tam giác , trong đường tròn
Biết sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác , trong đường tròn để giải bài tập
Có kỹ năng sử dụng thành thạo bảng số , máy tính để tìm tỷ số lượng giác của góc nhọn, tìm số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của nó
B Tài liệu hỗ trợ :
- SGK , SBT
- Toán nâng cao hình học 9
C Nội dung
I Bài đọc
a/ Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
b2= ab’ c2=ac’
h2=b’c’
ah=bc


b/ Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Định nghĩa:
Một số tính chất của tỉ số lượng giác
1) Nếu
+
= 900 thì Sin
= Cos
Tg
= Cotg

Cos
= Sin
Cotg
= Tg

2) Cho 00 <
< 900 . Ta có : 0 < Sin
< 1
0 < Cos
< 1
Sin2
+ Cos2
= 1




Tg
.Cotg
= 1
3) Cho 00 <
;
< 900 và
<
. Ta có :
Sin
< Sin
; Tg
< Tg

Cos
> Cos
; Cotg
> Cotg

Tg
> Sin

c/ Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác
b = a sinB = acosC
c = a sinC = acosB
2) b = c tgB = c CotgC
c = b tgC = b CotgB


II Các hoạt động

HĐ 1 : Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Bài 1 :Biết tỉ số các cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 3 : 5 , cạnh huyền là 122 cm . tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh lên cạnh huyền.







Bài 2 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36 cm , AD = 24 cm , E là trung điểm của AB . Đường thẳng DE cắt AC ở F , cắt CB ở G.
a/ Chứng minh FD2 = EF. FG
b/ Tính độ dài đoạn DG.







Bài 3 :Một hình chữ nhật nội tiếp một tam giác có diện tích 63 cm2, một cạnh đáy của hình chữ nhật trên cạnh đáy của tam giác và hai đỉnh kia của nó trên hai cạnh còn lại của tam giác. Cạnh đáy của tam giác dài 30 cm , đường cao ứng với nó dài 10 cm . Tínhcác kích thước của hình chữ nhầt




Bài 4 : Trong tam giác vuông , phân giác của các góc nhọn chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ lệ với 4:5 và 3:5 . Biết chu vi của tam giác bằng 72 cm . Tính các cạnh của tam giác.




HĐ 2 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Bài tập 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A . Kẻ đường cao AH . Biết AB = 13 cm , AH = 5 cm . Tính sinB ; sinC





Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A . Dường trung tuyến AM bằng cạnh AB . Chứng minh sinC =





Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Cho BC =36 cm , BH = 4 cm .Chứng minh tgB = 8tgC







Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông ở A.
Biết sinB =
. Tính các tỉ số lượng giác của góc C.



Bài 5 : Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng một nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.






Bài6 : Không dùng bảng số và máy tính , hãy tính : a)sin2100 + sin2200 +...+ sin2700 + sin2 800.
b)cos2120+ cos2780+ cos210+ cos2890

Bài 7 :Chứng minh rằng các hệ thức sau không phụ thuộc vào
:
a) A = ( sin
+cos
)2 + (sin
+cos
)2
b) B = sin6
+cos6
+ 3 sin2
. cos2




Bài 8 : Không dùng bảng số và máy tính , hãyso sánh :
tg280 và sin280
cotg140 và cotg35012’
sin170 và cotg730
cos380 và sin380



Bài 1:
Hướng dẫn giải
Giả sử tam giác ABC có :


BC =125 cm

BC=

Do đó BH =45 cm , HC = 80 cm

Bài 2 :
a) Ta có :

và

Suy ra DF2 = EF.FG
b)
AED =
BEG , suy ra BG = AD = BG , nên GC = 2BC = 2 . 24 = 48 (cm)
DG2= DC2 + GC2 =362 + 482

DG = 60 (cm)

Bài 3 :
Gọi x, y là độ dài các cạnh của HCN
∆ ABC
∆
AEH .Ta có :




Bài 4 :
Giả sử các tia p/g của các góc nhọn B và C chia cạnh AB, AC Thành các đoạn thoe tỉ số 4:5 và 3:5 .Khi đó ta có :

Suy ra 4:5 và 3:5

Do đó a = 30 ; b = 24; c = 18

Bài tập 1 :
Ta có BH2= AB2 –AH2
=132 - 52 =144
Vậy BH =12 .
Suy ra sinB =

sinC = cosB =


Bài 2 :




Trong ∆ ABC vuông tạiA có BC = 2AB . Do đó

Bài 3 :




Trong ∆ ABH vuông tạiH :

Trong ∆ ACH vuông tạiH :


Vậy

Bài 4 :

Ta có

Suy ra tgB =

Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C


Bài 5 :

Gọi
là góc tạo bởi hai đường thẳng AB Và BC . Vẽ đường cao AH , ta có
AH =AB. sin

Vậy

Bài6 :
a)Do sin800 = cos100....
A= ( sin2100 + cos2100) +( sin2100 +cos2100) + ( sin2100 + cos2100) + ( sin2100 + cos2100)
= 1+1+1+1= 4
b)B = 2

Bài 7 :
a)A = sin2
+ 2 sin
. cos
+cos2

+ sin2
- 2 sin
. cos
+cos2

= 2(sin2
cos2
)