CHỦ ĐỀ 3 – GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
I. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH...............................................................................................................2
DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG.........................................................................................................................................2
DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT..............................................................................................................................................4
DẠNG 3: TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC...........................................................................................................................5
DẠNG 4. TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ.........................................................................................................................................9
DẠNG 5. TOÁN PHẦN TRĂM............................................................................................................................................10
DẠNG 6: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC........................................................................................................................12
II. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI....................................................................................................14
DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG.......................................................................................................................................14
DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT............................................................................................................................................19
DẠNG 3: TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC.........................................................................................................................23
DẠNG 4: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC........................................................................................................................24
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỰNG TRONG CHỦ ĐỀ...................................................................................................................26
I. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH..........................................................................................................26
II. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI................................................................................................27

I. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp chung
Bước 1 Kẻ bảng nếu được, gọi các ẩn, kèm theo đơn vị và điều kiện cho các ẩn.
Bước 2 Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập hệ phương trình.
Bước 3 Giải hệ phương trình, đối chiếu nghiệm với điều kiện, rồi trả lời bài toán.
DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
1.1 Chuyển động trên bộ
 Ghi nhớ công thức: Quãng đường = Vận tốc
 Các bước giải

thời gian

Bước 1 Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường và điền các thông tin vào bảng đó rồi gọi các ẩn, kèm
theo đơn vị và điều kiện cho các ẩn.
Bước 2 Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập hệ phương trình.
Bước 3 Giải hệ phương trình, đối chiếu nghiệm với điều kiện, rồi trả lời bài toán.
Ví dụ. Một xe máy đi
từ đến
trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm
thì đến sớm giờ so với dự định, nếu vận tốc giảm đi
thì đến
muộn
với dự định. Tính quãng đường
.
Lời giải
Vận tốc

Thời gian

Quãng đường

Dự định
Trường hợp 1
Trường hợp 2
Gọi vận tốc và thời gian dự định lần lượt là
Điều kiện
Quang đường

và

(giờ).

.
là

.

Trong trường hợp 1: Vận tốc là

, thời gian là

(giờ).

Suy ra quãng đường
là
Do quãng đường không đổi nên ta có phương trình
Trong trường hợp 2: Vận tốc là

, thời gian là

(giờ).

giờ so

Suy ra quãng đường
là
Do quãng đường không đổi nên ta có phương trình
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy quãng đường
là
.
1.2. Chuyển động trên dòng nước của ca nô
 Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc riêng của ca nô + Vận tốc dòng nước
(viết tắt là

).

 Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng của ca nô – Vận tốc dòng nước
(viết tắt là

, chú ý

 Quãng đường = Vận tốc

).
thời gian;

.

Ví dụ. Một ca nô chạy trên một khúc sông, xuôi dòng
rồi ngược dòng
hết
giờ
phút. Lần khác, ca nô đó đi xuôi dòng
rồi ngược dòng
thì hết giờ
phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước, biết các vận tốc đó không đổi.
Lời giải
Vận tốc

Thời gian

Quãng đường

Xuôi dòng lần 1
Ngược dòng lần 1
Xuôi dòng lần 2
Ngược dòng lần 2

Đổi

giờ

phút

giờ;

giờ

phút

giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước lần lượt là

và

. Điều kiện

.

Trong lần 1
+) Vận tốc xuôi dòng là
(giờ).

, quãng đường xuôi dòng là

+) Vận tốc ngược dòng là

nên thời gian xuôi dòng là

, quãng đường ngược dòng là

nên thời gian ngược dòng là

(giờ).
Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết

giờ nên ta có phương trình

Trong lần 2
+) Vận tốc xuôi dòng là
(giờ).

, quãng đường xuôi dòng là

+) Vận tốc ngược dòng là

nên thời gian xuôi dòng là

, quãng đường ngược dòng là

nên thời gian ngược dòng là

(giờ).
Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết

giờ nên ta có phương trình

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là

và

.

DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT





Năng suất là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Tổng lượng công việc = Năng suất Thời gian.
Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian.
Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng suất.

Ví dụ 1. Để hoàn thành một công việc theo dự định thì cần một số công nhân làm trong một số ngày nhất
định. Nếu tăng thêm
công nhân thì công việc hoàn thành sớm được ngày. Nếu bớt đi
công nhân thì
phải mất thêm ngày nữa mới hoàn thành công việc. Hỏi theo dự định thì cần bao nhiêu công nhân và làm
trong bao nhiêu ngày?

Lời giải
Số công nhân

Số ngày

Lượng công việc

Dự định
Trường hợp 1
Trường hợp 2
Gọi số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là
Điều kiện:
.
Lượng công việc theo dự định là
Trường hợp 1: Số công nhân là

(công nhân),

(ngày).

(ngày công).
(công nhân), số ngày là

(ngày).

Do đó lượng công việc là
(ngày công).
Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình
Trường hợp 2: Số công nhân là

(công nhân), số ngày là

(ngày).

Do đó lượng công việc là
(ngày công).
Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là

(thỏa mãn điều kiện).
(công nhân),
(ngày).

DẠNG 3: TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC
Bài toán cơ bản 1 Nếu hai người làm chung thì sau ngày (giờ, phút,...) xong công việc. Nếu người I làm một
mình
ngày rồi nghỉ và người II làm tiếp ngày (giờ, phút,...) nữa thì xong công việc. Hỏi nếu làm một mình
thì để hoàn thành công việc mỗi người mất mấy ngày (giờ, phút,...)?
Phương pháp giải
Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là
1 ngày người I làm được

, người II làm được

(ngày). Điều kiện:

(lượng công việc).

*
ngày người I làm được , người II làm được
(lượng công việc).
Do hai người làm chung thì sau
ngày xong công việc nên ta có phương trình

.

*
ngày người I làm được , ngày người II làm được
(lượng công việc).
Do người I làm một mình ngày rồi nghỉ và người II làm tiếp ngày nữa thì xong công việc nên ta có phương
trình
Giải hệ (1), (2); đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán.
Bài toán cơ bản 2 Nếu hai người làm chung thì sau ngày (giờ, phút,...) xong công việc. Làm chung được
ngày thì người I nghỉ và người II làm tiếp ngày (giờ, phút,...) nữa thì xong công việc. Hỏi nếu làm một mình
thì để hoàn thành công việc mỗi người mất mấy ngày (giờ, phút,...)?
Phương pháp giải
Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là
Suy ra 1 ngày người I làm được

, người II làm được

(ngày). Điều kiện:

.

(lượng công việc).

* k ngày người I làm được , người II làm được
(lượng công việc).
D hai người làm chung thì sau k ngày xong công việc nên ta có phương trình
(1)
* m ngày cả hai người làm được

(lượng công việc).

n ngày người II làm được
(lượng công việc).
Do làm chung được m ngày thì người I nghỉ và người II làm tiếp n ngày nữa thì xong công việc nên ta có
phương trình
(2)
Giải hệ (1), (2); đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán.
Ví dụ 1. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 4 giờ 30 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình
trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 2 giờ thì tổng số họ làm được 50% công việc. Hỏi mỗi người
làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ xong?
Lời giải
Đổi 4 giờ 30 phút = giờ.
Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (giờ).
Điều kiện: x > 0, y > 0.
Suy ra 1 giờ người I và người II lần lượt làm được

và

(lượng công việc).

* 4 giờ 30 phút cả hai người làm được
(lượng công việc).
Do cả hai người thợ cùng làm một công việc trong 4 giờ 30 phút thì xong nên ta có phương trình
(1)
* 3 giờ người thứ I làm được

(lượng công việc)

* 2 giờ người thứ II làm được
(lượng công việc)
Vì người I làm một mình trong 3 giờ và người II làm một mình trong 2 giờ thì tổng số họ làm được 50% công
việc nên ta có phương trình
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

(2)

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy nếu làm một mình xong công việc, người I cần 18 giờ, người II cần 6 giờ.
Ví dụ 2. Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 2 giờ 40 phút sẽ hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm
một mình và 3 giờ sau người thứ hai cùng vào làm thì mất 40 phút nữa mới hoàn thành. Hỏi mỗi người đó làm
một mình thì trong mấy giờ sẽ xong?
Lời giải
Đổi 2 giờ 40 phút = giờ; 40 phút =
giờ.
Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (giờ).
Điều kiện: x > 0, y > 0.
Suy ra 1 giờ người I và người II lần lượt làm được

và

(lượng công việc).

* 2 giờ 40 phút cả hai người làm được
(lượng công việc).
Do cả hai người thợ cùng làm một công việc trong 2 giờ 40 phút thì xong nên ta có phương trình
(1)
* 3 giờ người thứ I làm được

(lượng công việc)

* 40 phút cả hai người làm được
(lượng công việc).
Vì người thứ nhất làm một mình và 3 giờ sau người thứ hai cùng vào làm thì mất 40 phút nữa mới hoàn thành
nên ta có phương trình
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

(2)

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy nếu làm một mình xong công việc, người I cần 4 giờ, người II cần 8 giờ.
Ví dụ 3. Hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn thì sau 2 giờ đầy bể. Nếu mở vời I trong 45 phút rồi khóa lại và mở
vòi II trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được

bể. Hỏi mỗi vời chảy riêng đầy bể trong bao lâu?
Lời giải

Đổi 45 phút =
giờ; 40 phút =
giờ.
Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ).
Điều kiện: x > 0, y > 0.
Suy ra 1 giờ vòi I và vòi II lần lượt chảy được

và

(bể).

* 2 giờ cả hai vòi chảy được
(bể).
Do cả hai người vòi cùng chảy thì sau 2 giờ đầy bể nên ta có phương trình
(1)
* 3 giờ người thứ I làm được

(bể)

* 45 phút vòi I chảy được

(bể), 30 phút vời II chảy được

(bể) .

Vì mở vời I trong 45 phút rồi khóa lại và mở vòi II trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được
phương trình
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

(2)

bể nên ta có

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy nếu chảy riêng để đầy bể, vòi I cần 3 giờ, vòi II cần 6 giờ.
Ví dụ 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6 giờ đầy bể. Cùng chảy được 2 giờ thì khóa vòi I lại và
vòi II phải chảy thêm 12 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng đầy bể trong bao lâu?
Lời giải
Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là
(giờ).
Điều kiện:
Suy ra 1 giờ vòi I và vòi II lần lượt chảy được

(bể).

6 giờ cả hai vòi chảy được
(bể).
Do cả hai vòi cùng chảy thì sau 6 giờ sẽ đầy bể nên ta có phương trình
(1)
2 giờ cả hai vòi chảy được
(bể), 12 giờ vòi II chảy được
(bể).
Vì cùng chảy được 2 giờ thì khóa vòi I lại và vòi II phải chảy thêm 12 giờ nữa mới đầy bể nên ta có phương
trình

(2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình

(thỏa mãn)
Vậy nếu chảy riêng để đầy bể, vòi I cần 9 giờ, vòi II cần 18 giờ.
DẠNG 4. TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ


Chú ý đặt đúng điều kiện của ẩn:
+ Với số có hai chữ số



Số



Đổi chỗ hai chữ số của số



Chèn số

do chữ số đầu tiên khác 0 nên điều kiện là :

vào giữa số

ta được

Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 14 và nếu đổi chỗ hai chữ số của
nó thì được số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị.
Lời giải
Gọi số cần tìm là
, điều kiện
Vì tổng hai chữ số của nó là 14 nên ta có phương trình
Do đổi chỗ hai chữ số của số

(1)

thì ta được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị nên ta có phương trình
(2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình
(thỏa mãn điều kiện).

Vậy số cần tìm là 86.
Ví dụ 2. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng của chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị
là 12. Nếu thêm số 0 vào giữa hai chữ số thì ta được một số mới có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 180 đơn vị.
Tìm số ban đầu.
Lời giải
Gọi số ban đầu là
, điều kiện
Vì tổng của chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị là 12 nên ta có phương trình
Do thêm số 0 vào giữa hai chữ số của số
ta có phương trình
Thay
vào
Vậy số ban đầu là 25.

thì ta được số mới có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 180 đơn vị nên

ta được

(thỏa mãn).
(thỏa mãn).

Ví dụ 3.Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số của nó bằng 9. Nếu lấy số đó chia cho số viết
theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2 và dư 18. Tìm số ban đầu.
Lời giải
Gọi số cần tìm là
, điều kiện
Vì tổng hai chữ số của nó là 9 nên ta có phương trình
Do lấy số

(1)

chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2 và dư 18 nên ta có phương trình
(2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trinh

Vậy số cần tìm là 72.

(thoả mãn).

DẠNG 5. TOÁN PHẦN TRĂM



Dự kiến mỗi ngày làm được (sản phẩm).
Thực tế mỗi ngày tăng
nghĩa là :
+ Số sản phẩm tăng thêm mỗi ngày là
(sản phẩm).
+ Thực tế mỗi ngày làm được
(sản phẩm).

Ví dụ 1. Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất phải làm 700 sản phẩm. Nhưng do tổ I làm vượt mức
so với kế
hoạch, tổ II làm vượt mức
nên cả hai tổ làm được 820 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ phải làm theo
kế hoạch.
Lời giải
Tổ 1

Tổ 2

Cả hai tổ

Kế hoạch

700

Thực tế

820

Gọi số sản phẩm tổ I, tổ II phải làm theo kế hoạch lần lượt là

(sản phẩm).

Điều kiện
Vì theo kế hoạch, hai tổ sản xuất phải làm 700 sản phẩm nên ta có phương trình
(1)
Trong thực tế, tổ I làm được

(sản phẩm), còn tổ II làm được

(sản phẩm)

và cả hai tổ làm được 820 sản phẩm nên ta có phương trình
(2)
Từ

và

ta có hệ phương trình:

Vậy theo kế hoạch, tổ I và tổ II phải làm lần lượt là

và

( thỏa mãn ) .
( sản phẩm) .

Ví dụ 2. Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có
học sinh thi đỗ vào lớp
lập và đạt tỉ lệ thi đỗ là
. Riêng trường A tỉ lệ thi đỗ là
, riêng trường B tỉ lệ thi đỗ là
Tính số thí sinh dự thi của mỗi trường.

công
.

Lời giải
Gọi số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là và (học sinh). Điều kiện:
Do cả hai trường có
học sinh thi đỗ vào lớp
và đạt tỉ lệ thi đỗ là
nên ta có phương trình:
(1)
Vì trường A tỉ lệ thi đỗ là

, trường B tỉ lệ thi đỗ là

nên ta có phương trình:
(2)

Từ

và

ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là
và
(học sinh).

DẠNG 6: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC
Dạng này ta cần ghi nhớ các công thức về chu vi, diện tích các hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật,…

Ví dụ 1. Một khu vườn hình chữ nhật. Nếu tăng mỗi cạnh thêm
thêm

. Nếu chiều rộng tăng thêm

giảm đi

thì diện tích của mảnh vườn tăng

và chiều dài giảm đi

thì diện tích mảnh vườn sẽ

. Tính độ dài các cạnh của khu vườn.
Lời giải
Chiều rộng

Chiều dài

Diện tích

Khu vườn
Trường hợp 1
Trường hợp 2
Gọi chiều rộng và chiều dài của khu vườn lần lượt là
Điều kiện :

(m), chiều dài là

Suy ra diện tích trong trường hợp 1 là
Do diện tích tăng thêm
Trường hợp 2: Chiều rộng là
Do diện tích tăng thêm

(m).
.

nên ta có phương trình
(m), chiều dài là

Suy ra diện tích trong trường hợp 1 là

và

(m).

và

Trường hợp 1: Chiều rộng là

Từ

và

(m).
.

nên ta có phương trình

ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là
và

.

Ví dụ 2. Trong một phòng họp hình chữ nhật, ghế được sắp theo hàng và số ghế trong mỗi hàng là như
nhau. Nếu kê bợt đi hàng và mỗi hàng bớt đi ghế thì tổng số ghế trong phòng họp đó giảm đi
ghế so với ban đầu. Nếu kê thêm hàng và mỗi hàng kê thêm ghế thì tổng số ghế trong phòng học
đó tăng thêm
ghế so với ban đầu. Tính số hàng ghế và số ghế trong phòng họp đó lúc ban đầu.

Lời giải
Số hàng ghế

Số ghế / hàng

Tổng số ghế

Ban đầu
Trường hợp 1
Trường hợp 2
Gọi số hàng ghế và số ghế trong một hàng lúc đầu lần lượt là
Điều kiện:
Tổng số ghế lúc đầu là
Trường hợp 1: Số ghế là

(hàng) và

(ghế).

(ghế).
(ghế), số ghế trong một hàng là

Suy ra tổng số ghế trong trường hợp 1 là
Do toonge số ghế trong trường hợp 1 giảm đi

(ghế).

(ghế).
ghế so với ban đầu nên ta có phương trình:
(1)

Trường hợp 2: Số ghế là

(ghế), số ghế trong một hàng là

Suy ra tổng số ghế trong trường hợp 1 là
Do tổng số ghế trong trường hợp 2 tăng thêm

(ghế).

(ghế).
ghế so với ban đầu nên ta có phương trình:
(2)

Từ

và

ta có hệ phương trình:

Vậy trong phòng họp đó lúc ban đầu có

(thỏa mãn điều kiện).
(hàng ghế ) và có tổng số ghế là:

(ghế)

II. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp chung
Bước 1: Kẻ bảng nếu được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị và điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai.
Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán.
DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
1.1.Chuyển động trên bộ



Ghi nhớ công thức Quãng đường = Vận tốc
Các bước giải

Thời gian.

Bước 1: Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường và điền các thông tin vào bảng đó rồi gọi ẩn, kèm
theo đơn vị và điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai.
Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán.
Ví dụ 1. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau
km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc lên
km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi
phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Lời giải
Vận tốc

Thời gian

Quãng đường

Lúc đi
Lúc về

Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là
Vận tốc khi từ B trở về A là
(km/h).
Thời gian lúc đi và lúc về lần lượt là

và

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là

phút

Vậy vận tốc lúc đi là

(km/h).

(km/h). Điều kiện:

.

(giờ).
giờ nên ta có phương trình :

Ví dụ 2. Quãng đường từ A đến B dài
km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đi đến B, người đó nghỉ
phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là (km/h). Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A
đến lúc trở về A là

giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.
Lời giải
Vận tốc

Thời gian

Quãng đường

Lúc đi
Lúc về

Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là
Vận tốc khi từ B trở về A là
(km/h).
Thời gian lúc đi và lúc về lần lượt là
Vì thời gian nghỉ là
có phương trình :

Có

phút

và

(km/h). Điều kiện:

.

(giờ).

giờ và thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A là

= (-31)2 – 4.1.(- 180) = 1681 > 0

giờ nên ta

nên

x=
(thỏa mãn), x = -5 ( loại)
Vậy vận tốc lúc đi là 36 (km/h).
Ví dụ 3. Một người dự định đi xe đạp từ Ađến B cách nhau 60 km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi
được 30 km người đó đã dừng lại nghỉ 30 phút . Do đó, để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận
tốc thêm 2 km/h. Tính vận tốc dự định của người đó.
Lời giải
Vận tốc
Dự định

x

Thời gian

Quãng đường
60

Thực tế

x

30

x+2

30

Đổi 30 phút = giờ
Gọi vận tốc dự định là x ( km/h). Điều kiện: x > 0
Thời gian dự định là

(giờ)

Thời gian người đó đi 30 km đầu là

(giờ).

Thời gian người đó đi 60 – 30 = 30 km còn lại là
Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình

( giờ).

+
+ =
=
x2 + 2x - 120 = 0
x2 + 2x + 1 – 121= 0
(x+1)2 = 121
x+ 1=
x= 10 ( thỏa mãn), x= -12 (loại)
Vậy vận tốc dự định là 10 ( km/h)
Ví dụ 4. Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ
thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến đúng hạn xe phải tăng tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc
đầu của ô tô.
Lời giải
Vận tốc

Thời gian

Quãng đường

Dự định

x

120

Thực tế

x

x

x+6

120 - x

Đổi 10 phút = giờ
Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x ( km/h). Điều kiện: x > 0
Thời gian dự định của ô tô là
(giờ).
Trong 1 giờ đầu ô tô đi được x (km) nên quãng đường còn lại là 120 - x (km).

Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là
Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình

(giờ).

+1+ =
=
2
2
6(x + 720)=7(x + 6x) x + 42x – 4320 = 0
( x – 48 )( x + 90 )= 0
x= 48 ( thỏa mãn), x= - 90 (loại)
Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 48 ( km/h)
1.2. Chuyển động trên dòng nước
2





Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng của ca nô + vận tốc dòng nước
( viết tắt là vx= vr + vn)
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng của ca nô – vận tốc dòng nước
( viết tắt là vng= vr - vn, chú ý vr > vn )
Quãng đường = vận tốc x thời gian; Sx= vx.tx; Sng= vng.tng.

Ví dụ 1: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng một dòng sông có
vận tốc của dòng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít
hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ.
Lời giải
Vận tốc

Thời gian

Quãng đường

Xuôi dòng

x+2

48

Ngược dòng

x-2

60

Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x ( km/h). Điều kiện: x > 2.
Vận tốc lúc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là x + 2; x – 2 (km/h).
Thời gian khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là
và
(giờ).
Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ nên ta có phương trình
=1
x2 - 12x – 220 = 0
x2 - 12x + 36 – 256 = 0
(x – 6)2 = 256
x– 6 =
x = 22 ( thỏa mãn), x = - 10 (loại)
Vậy vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là 22 ( km/h).

Ví dụ 2. Lúc 6 giờ 30 phút sáng, một ca nô xuôi dòng sông từ A đến B dài
. Khi đến B, ca nô nghỉ 30
phút sau đó lại ngược dòng từ B về đến A lúc 10 giờ 36 phút cùng ngày. Tìm vẫn tốc riêng của ca nô, biết vận
tốc dòng nước là

.

Lời giải
Vận tốc

Quãng đường

Thời gian

Xuôi dòng

x+3

48

Ngược dòng

x-3

48

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/h). Điều kiện: x > 3.
Vận tốc lúc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là x + 3; x – 3 (km/h).
Thời gian khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là

và

(giờ).

Vì tổng thời gian cả đi,về, nghỉ là 10 giờ 36 phút – 6 giờ 30 phút =
nên ta có phương trình
+

+

=
3x2 - 80x - 27= 0 .

Có
x=
( thỏa mãn), x =
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 27 ( km/h)

nên
(loại)

giờ và thời gian nghỉ là 30 phút =

giờ

DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT





Năng suất là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Tổng lượng công việc = Năng suất x thời gian
Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian
Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng xuất

Ví dụ 1: Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày
phân xưởng đó vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là
2 ngày. Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Lời giải
Số sản phẩm / ngày

Số ngày

Tổng số sản phẩm

Kế hoạch

x

1100

Thực tế

x+5

1100

Gọi số sản phẩm mỗi ngày xưởng đó cần làm theo kế hoạch là (sản phẩm).
Điều kiện:
Số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng đó làm được trong thực tế là
(sản phẩm).
Số ngày phân xưởng đó cần làm theo kế hoạch là

(ngày).

Số ngày phân xưởng đó cần làm trong thực tế là
(ngày).
Vì phân xưởng đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày nên ta có phương trình:

Có

nên

(thỏa mãn),
(loại)
Vậy theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần làm 50 (sản phẩm).
Ví dụ 2. Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 60 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành có 3 xe phải điều
đi làm việc khác nên không thể tham gia chở hàng. Vì vậy, mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn
hàng. Tính số xe theo dự định của đội đó, biết mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau.
Lời giải:

Số hàng/xe

Số xe

Tổng số hàng

Dự định

60

Thực tế

60

Gọi số xe theo dự định của đội là x (xe). Điều kiện:
Thực tế số xe là
(xe).

.

Số hàng trên mỗi xe theo dự định và trong thực tế lần lượt là
và
(tấn).
Vì mỗi xe thực tế phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn hàng nên ta có phương trình:

Có

nên

(loại),
Vậy số xe dự định của đội là 15 (xe).

(thỏa mãn).

Ví dụ 3. Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất như nhau. Sau
khi làm được 400 sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗi ngày 10 sản phẩm, do đó đã hoàn thành công việc
sớm hơn một ngày. Tính số sản phẩm làm trong mỗi ngày theo quy định.
Lời giải

Số sản phẩm/ngày
Dự kiến

Số ngày

Tổng số sản phẩm
600

400
Thực tế
200

Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là
Điều kiện:
.
Thời gian dự kiến là

(sản phẩm).

(ngày).

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là

(ngày).

Thời gian làm 600 - 400 = 200 sản phẩm sau là
(ngày).
Vì thực tế công việc hoàn thành sớm hơn dự kiến 1 ngày nên ta có phương trình:

( thỏa mãn),
(loại).
Vậy số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là 40 (sản phẩm).

Ví dụ 4. Một người thợ làm 120 sản phẩm trong một thời gian và năng suất dự định. Khi làm được 50 sản
phẩm, người thợ đó nhận thấy làm với năng suất như vậy sẽ thấp hơn năng suất dự định là 2 sản phẩm một
ngày. Do đó, để hoàn thành đúng thời gian đã định, người thợ đó tăng năng suất thêm 2 sản phẩm một ngày
so với dự định. Tính năng suất dự định của người thợ đó.
Lời giải

Số sản phầm/ngày

Số ngày

Tổng số sản phẩm

Dự định

120

50
Thực tế
70
Gọi số sản phẩm mỗi ngày người thợ đó cần làm theo dự định là
Điều kiện:
.
Số ngày theo dự định là

(ngày).

(sản phẩm).

Trong 50 sản phẩm đầu, mỗi ngày người thợ đó làm được

(sản phẩm) nên số ngày làm 50 sản phẩm đầu

là
(ngày).
Trong 120-50=70 sản phẩm sau, mỗi ngày người thợ đó làm được

(sản phẩm) nên số ngày làm 70 sản

phẩm đầu là
(ngày).
Do thực tế người đó hoàn thành đúng như dự định nên ta có phương trình:

( thỏa mãn điều kiện).
Vậy số sản phẩm mỗi ngày người thợ dó cần làm theo dự định là 12 (sản phẩm).

DẠNG 3: TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC
Bài toán cơ bản: Nếu hai người làm chung thì sau k ngày (giờ, phút, …) xong công việc. Nếu làm một mình thì
người thứ nhất hoàn thành công việc sớm hơn người thứ hai là m ngày (giờ, phút, …). Hỏi nếu làm một mình
thì để hoàn thành công việc mỗi người mất mấy ngày (giờ, phút, …)?
Phương pháp giải
Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là
Điều kiện:

,

(ngày).

.

Suy ra 1 ngày người I làm được

, người II làm được

(lượng công việc).

* ngày người I làm được , người II làm được
(lượng công việc).
Do hai người làm chung thì sau k ngày xong công việc nên ta có phương trình:
(1)
* Vì làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là m ngày nên ta có
phương trình

(2)

Thay (2) vào (1) ta được phương trình
* Đưa (3) về phương trình bậc hai, giải

(3)
, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán.

Ví dụ 1. Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu họ làm riêng thì người thứ
nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người cần bao nhiêu
giờ để xong công việc đó?
Lời giải
Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là
Điều kiện:

,

,

(ngày).

.

Suy ra 1 giờ người I và người II lần lượt làm được

và

(lượng công việc).

* 6 giờ cả hai người làm được
(lượng công việc).
Do hai người cùng làm trong 6 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình:

(*)

* Vì làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ nên ta có phương
trình

, thay vào (*), ta được:

Có

nên

(loại),
(thoả mãn điều kiện).
Vậy, nếu làm một mình để xong công việc, người I cần 10 giờ, người II cần 15 giờ.
Ví dụ 2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ
nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hãy tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Lời giải
Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ).
Điều kiện: x > 0, y > 0.

Suy ra 1 giờ vòi I và vòi II lần lượt chảy được

* 1 giờ 20 phút

và

giờ cả hai vòi chảy được

(bể).

(bể).

Do cả hai vòi cùng chảy thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể nên ta có phương trình
(*)

* Vì chảy một mình cho đến khi đầy bể thì vòi I nhanh hơn vòi II là 2 giờ nên ta có phương trình
, thay vào (*), ta được

Có

nên

(loại),
(thỏa mãm điều kiện).
Vậy nếu chảy một mình thì để đầy bể, vòi I cần 2 giờ, vòi II cần 4 giờ.
DẠNG 4: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC
Dạng này ta cần ghi nhớ các công thức về chu vi, diện tích của các hình tam hình vuông, hình chữ nhật,...

Ví dụ 1. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và một đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài
chiều rộng mảnh đất đó theo đơn vị là mét.
Lời giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là x, y (m)
Điều kiên: x > 0, y >0, x > y.
Do chu vi mảnh đất là 28 m nên ta có phương trình
(1)
Vì độ dài đườngchéo bằng 10 m nên

theo định lý Pylago, ta có:

(2)

Thay (1) vào (2) ta được

Kết hợp với điều kiện ta được x = 8, y = 6.
Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là 8 m và 6m.
Ví dụ 2. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 200 m. Sau khi người ta làm một lối đi rộng 2m xung
quanh vườn (thuộc đất của vườn) thì phần đất còn lại để trồng cây là một hình chữ nhật có diện tích là 2016
m2. Tính các kích thước của khu vườn lúc đầu.
Lời giải
Chiều rộng

Chiều dài

Diện tích

Ban đầu

x

y

xy

Sau

x-4

y-4

(x-4)(y-4)

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x, y (m).
Điều kiên: x > 0, y >0, x > y.
* Do khu vườn lúc đầu có chu vi là 200m nên ta có phương trình
(1)
Sau khi làm lối đi rộng 2m xung quanh vườn thì chiều rộng là x – 4 (m) và chiều
dài là y – 4 (m) nên diện tích là
Thay (1) vào (2) ta được

Kết hợp điều kiện ta được x = 40, y = 60.
Vây khu vườn lúc đầu có chiều rộng và chiều dài lần lượt là 40 m và 60 m.

(2)

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỰNG TRONG CHỦ ĐỀ
I. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì đến B sớm 1
giờ so với dự định, nếu vận tốc giảm đi 10 km/h thì đến B muộn 1 giờ so với dự định. Tính quãng
đường AB.
Bài 2. Một ca nô chạy trên một khúc sông, xuôi dòng 20 km rồi ngược dòng 18km hết 1 giờ 25 phút. Lần
kh...