Toán 12 Kết nối tri thức

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (6 TIẾT)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào
dấu đạo hàm cấp một của nó.

-

Thể hiện tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên.

-

Nhận biết tính đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua
hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.

-

Nhận biết điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên
hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, phân tích, lập luận để
giải thích được khái niệm: Tính đơn điệu, tính đồng biến, nghịch biến, cực trị
của hàm số.

-

Mô hình hóa toán học: mô tả các dữ kiện bài toán thực tế, giải quyết bài toán
liên quan đến cực trị của hàm số.

-

Giải quyết vấn đề toán học: Lập được bảng biến thiên, xét được tính đồng biến,
nghịch biến, khoảng đơn điệu của hàm số.

-

Giao tiếp toán học: đọc, hiểu thông tin toán học.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: sử dụng máy tính cầm tay, thước kẻ,…

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng
nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra được nhận định ban đầu về câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang
phải (H.1.1). Giả sử vị trí s ( t ) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t
(giây) được cho bởi công thức:
s ( t )=t 3 −9 t 2 +15 t ,t ≥ 0 .

Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng
thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

(H.1.1)
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi
hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS
vào bài học mới: “Hôm nay, chúng ta sẽ khám phá chủ đề mới và rất quan trọng, đó là
"Tính đơn điệu và cực trị của hàm số". Qua bài học này, các em sẽ hiểu được hàm số
thay đổi như thế nào khi biến thay đổi, và từ đó tìm được các điểm cực trị của hàm số.
Kiến thức này có ứng dụng rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực, ví dụ như kinh tế, kỹ
thuật, khoa học tự nhiên,... ”.
Bài mới: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Tính đơn điệu của hàm số.
a) Mục tiêu:
- Nhận biết khái niệm tính đồng biến, nghịch biến và tính đơn điệu của hàm số
- Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm.
- Xét được tính đơn điệu thông qua bảng biến thiên.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các HĐ1, 2, 3; Luyện tập 1, 2, 3; Vận dụng 1 và giải thích các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được khái niệm tính đồng biến, nghịch biến và tính đơn điệu của
hàm số; mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm; sử dụng được bảng biến
thiên để xét tính đơn điệu.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

1. Tính đơn điệu của hàm số.

NV1: Tìm hiểu khái niệm tính đơn a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
điệu của hàm số
- GV trình chiếu hình 1.2 cho HS quan HĐ1
sát và thảo luận với bạn cùng bàn để trả
lời câu hỏi trong HĐ1.
Quan sát đồ thị của hàm số y=x 2
(H.1.2)
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng
Hình 1.2

nào?

2
+ GV chỉ định 2 HS đứng tại chỗ trình a) Hàm số y=x đồng biến trên khoảng ( 0 ;+ ∞ ).
b) Hàm số y=x 2 nghịch biến trên khoảng
bày câu trả lời a) và b).

+ GV nhận xét và chính xác hóa câu trả (−∞ ;0 )
lời.

Ghi nhớ

- GV trình chiếu khung kiến thức trọng Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một
nửa khoảng và y=f ( x ) là hàm số xác định trên
tâm cho HS ghi bài.
K.

+ Hàm số y=f ( x ) được gọi là đồng biến trên K
nếu ∀ x 1 , x 2 ∈ K , x 1 ,< x 2 ⇒ f ( x 1 ) < f ( x2 )
+ Hàm số y=f ( x ) được gọi là nghịch biến trên
K nếu ∀ x 1 , x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) >f ( x 2 ).

Chú ý
- GV trình chiếu hình 1.3 và cho HS + Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của
quan sát.
hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ GV giải thích về các thuật ngữ: Đơn

điệu, Xét tính đơn điệu của hàm số cho
HS.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của
hàm số đi xuống từ trái sang phải.

+ Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K gọi
chung là đơn điệu trên K . Tìm khoảng đồng
biến, nghịch biến là tìm các khoảng đơn điệu
- GV cho HS quan sát và nghiên cứu
Ví dụ 1.
Cho đồ thị của hàm số y=f ( x )=|x|
(H.1.4). Tìm khoảng đồng biến, nghịch

(hay xét tính đơn điệu) của hàm số.
+ Xét tính đơn điệu mà không chỉ rõ tập K thì
ta xét trên tập xác định của hàm số.
Ví dụ 1: SGK – tr.6

biến của hàm số?
+ GV chỉ định 2 HS trình bày lại cách
thực hiện bài toán.
- GV cho HS thảo luận theo bàn, thực
hiện Luyện tập 1.
Hình 1.5 là đồ thị của hàm số Hướng dẫn giải: SGK – tr.6.
3
2
y=x −3 x +2. Tìm các khoảng đồng Luyện tập 1

biến, nghịch biến của hàm số.
+ GV có thể đặt các câu hỏi gợi ý:
Trong khoảng nào thì đồ thị hàm số đi
lên? Trong khoảng nào thì đồ thị hàm
số đi xuống?
+ GV chỉ định 1 – 2 HS đứng tại chỗ
trình bày câu trả lời.
+ GV nhận xét, chốt đáp án.
- GV trình chiếu Hình 1.6 và cho HS
đọc yêu cầu của HĐ2.

{

−x nếu x ←1
y=
1
nếu−1≤ x ≤ 1 có đồ thị
Xét hàm số
x nếu x> 1

+ Hàm số đồng biến trên (−∞ ; 0 ) và ( 2 ;+∞ ) .
+ Hàm số nghịch biến trên ( 0 ; 2 ).
HĐ2.

như hình 1.6
a) Xét dấu của đạo hàm trên khoảng
(−∞;−1 ) , ( 1 ;+∞ ) . Nhận xét về mối quan

hệ đồng biến, nghịch biến và dấu đạo
Hình 1.6

hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.

'
b) Nhận xét về đạo hàm y ' và hàm số y a) Với x ←1, ta có y =−1<0
Với x >1, ta có y ' =1>0
trên khoảng (−1 ;1 )?

+ HS thảo luận nhóm 3 – 4 HS, thực

Trên khoảng (−∞;−1 ), đạo hàm mang dấu âm

hiện các yêu cầu trong HĐ.

=> Hàm số nghịch biến.

+ GV gợi ý:

Trên khoảng ( 1 ;+∞ ), đạo hàm mang dấu dương

• Trên khoảng (−∞;−1 ), đạo hàm của => Hàm số đồng biến.
y=−x mang dấu gì? Hàm số đồng biến b) Trên khoảng (−1 ; 1 ), đạo hàm bằng 0 =>
hay nghịch biến?
• Trên khoảng ( 1 ;+∞ ), đạo hàm của
y=x mang dấu gì? Hàm số đồng biến

Hàm số không đổi.

hay nghịch biến?
• Trên khoảng (−1 ; 1 ), đạo hàm của
y=1 bằng bao nhiêu? Hàm số có thay

đổi hay không?
- Từ các câu trả lời của HS, GV khái Định lí
quát và trình bày Định lí theo SGK cho Cho hàm số y=f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K .
HS.

a) Nếu f ' ( x ) >0 với mọi x ∈ K thì hàm số f ( x )
đồng biến trên khoảng K .
b) Nếu f ' ( x ) <0 với mọi x ∈ K thì hàm số f ( x )
nghịch biến trên khoảng K .

- GV lưu ý cho HS, định lí vừa học Chú ý
'
cũng đúng trong trường hợp f ' ( x )=0 tại + Định lí vẫn đúng trong trường hợp f ( x )=0 tại
một số hữu hạn điểm trong khoảng K .

một số điểm trong khoảng K .

+ Nếu f ' ( x )=0 với mọi x ∈ K thì hàm số f ( x )
không đổi trên khoảng K .
- HS đọc – hiểu Ví dụ 2:

Ví dụ 2: SGK – tr.7

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng Hướng dẫn giải: SGK – tr.7
nghịch biến của hàm số y=x 2−4 x +2.
+ Sau đó GV chỉ định một số HS đứng
tại chỗ trình bày lại cách thực hiện.
- GV cho HS thảo luận nhóm 4 HS,
quan sát và thực hiện yêu cầu của
Luyện tập 2:
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số y=−x2 +2 x+ 3.
+ Đạo hàm của hàm số y=−x +2 x+ 3
2

bằng bao nhiêu?
+ Dựa vào đạo hàm, tìm khoảng đồng

Luyện tập 2
- Tập xác định: x ∈ R.
- Ta có: y ' =−2 x+ 2.
+ y ' <0 với x ∈ ( 1 ;+∞ ); y ' >0 với x ∈ (−∞ ; 1 ).
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1 ;+∞ ) và
hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1 ).

biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện
bài giải. HS dưới lớp nhận xét bài làm
của 2 bạn.
NV2: Tìm hiểu sử dụng bảng biến
thiên để xét tính đơn điệu của hàm số
- GV triển khai HĐ3 cho HS đọc và
thảo luận nhóm đôi, thực hiện theo chỉ
dẫn trong HĐ:
3

2

Cho hàm số y=f ( x )=x −3 x +2 x +1

b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu
của hàm số
HĐ3.
Hàm số y=f ( x )=x 3−3 x 2+2 x +1
- Tập xác định: x ∈ R.
a) f ' ( x )=3 x 2−6 x +2
'
f ( x )=0 hay 3 x 2−6 x+ 2=0

3+ √ 3
3− √3
a) Tính đạo hàm f ' ( x ) và tìm các điểm x Suy ra: x= 3 hoặc x= 3

mà f ' ( x )=0 .

b) Bảng biến thiên:

b) Lập bảng biến thiên - bảng thể hiện
dấu của đạo hàm và sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số trên các
khoảng tương ứng.
c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số.

(

)

trên

khoảng:

3− √3
+ GV lần lượt chỉ định các HS lên bảng c) Hàm số đồng biến trên khoảng: −∞; 3

thực hiện các phần a), b) và c).
+ GV quan sát, nhận xét bài làm của

và

( 3+3√ 3 ;+ ∞).

HS.

Hàm

→ Từ đó, GV nêu các bước để xét tính

( 3−3√3 ; 3+3√3 ).

đơn điệu của hàm số y=f ( x ) theo
hướng dẫn của SGK.

số

nghịch

biến

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số
y=f ( x ):

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm

'
f ( x ).

Tìm các điểm

x i ( i=1 , 2 , … ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dẫn và
lập bảng biến thiên của hàm số.
- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 3:

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số biến của hàm số.
y=

2

Ví dụ 3: SGK – tr.8

x −2 x+5
.
x−1

+ Nêu tập xác định của hàm số?

Hướng dẫn giải: SGK – tr.8

+ 1 HS lên bảng tính đạo hàm của hàm
số và tìm các giá trị của x làm cho y ' =0
.
+ 1 HS lên bảng thực hiện lập bảng
biến thiên và kết luận về khoảng đồng
biến, nghịch biến.
- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví Ví dụ 4: SGK – tr.8
dụ 4: Xét chiều biến thiên của hàm số Hướng dẫn giải: SGK – tr.8
y=

x−2
x +1

+ Điều kiện xác định của phân thức
x−2
là x ≠−1. Suy ra tập xác định của
x+ 1

hàm số là R ¿ {−1¿} .
+ Tính đạo hàm y ' ta được:
'

y=

3
>1
( x+1 )2

+ Bảng biến thiên:

Luyện tập 3
1

3
2
a) y= 3 x +3 x +5 x +2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
(−∞ ;−1 ) và (−1 ;+∞ ) .

- GV chia lớp thành 4 nhóm để thảo
luận và thực hiện phần Luyện tập 3:

- Tập xác định: x ∈ R.
- Ta có: y ' =x 2 +6 x+5
y ' =0 hay x 2+ 6 x+5=0 suy ra x=−1 hoặc x=−5 .

- Bảng biến thiên:

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm
số sau:
1

3
2
a) y= 3 x +3 x +5 x +2
2
−x +5 x −7
b) y=

x −2

+ Nhóm 1 và 2, thực hiện câu a).
+ Nhóm 3 và 4, thực hiện câu b).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−5 ) và
(−1 ;+∞ ) ; Hàm số nghịch biến trên khoảng
(−5 ;−1 ).
2

−x +5 x −7
+ Các nhóm thực hiện trao đổi, thống b) y= x −2

nhất đáp án trong 6 - 8 phút.
+ Sau thời gian thảo luận, GV mời đại
diện từng nhóm lên thực hiện bài giải
của nhóm mình.
+ HS dưới lớp quan sát, thực hiện bài
làm vào vở cá nhân.
+ GV quan sát, nhận xét bài làm của
HS và rút ra kinh nghiệm làm bài cho
HS.

- Tập xác định: R ¿ {2¿}
- Ta có: y ' =
y ' =0 hay

−( x−1 ) ( x −3 )

( x−2 )2

−( x−1 ) ( x −3 )

( x−2 )2

.
- Bảng biến thiên:

=0 suy ra: x=1 hoặc x=3

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 ; 2 ) và
( 2 ; 3 ) ; Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1 )

và ( 3 ;+ ∞ ) .
Vận dụng 1
s ( t )=t 3 −9 t 2 +15 t ,t ≥ 0

a) v ( t )=3 t 2−18 t+15
- GV cho HS đọc lại tình huống mở
đầu và hướng dẫn cho HS thực hiện
phần Vận dụng 1:

b) Có v ( t )=0 hay 3 t 2−18 t+15=0
Suy ra t =1 và t=5
Xét dấu của v ( t )

Giải bài toán trong tình huống mở đầu
bằng cách thực hiện theo các yêu cầu:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm,
vận tốc v ( t ) là đạo hàm của s ( t ). Tìm
vận tốc v ( t ).

v ( t ) >0 khi t ∈ ( 0 ;1 )và t ∈ ( 5 ;+∞ ) .
b) Xét dấu của hàm v ( t ), từ đó suy ra
v ( t ) <0 khi t ∈ ( 1; 5 ).
câu trả lời.

+ a) Thực hiện tính vận tốc v (t) là đạo Vậy trong khoảng thời gian t ∈ ( 1; 5 )chất điểm
chuyển động sang trái;
hàm của s ( t ).
+ b) Lập bảng biến thiên và xét dấu của Trong khoảng thời gian l t ∈ ( 0 ; 1 )và t ∈ ( 5 ;+∞ )
chất điểm chuyển động sang phải.
hàm v ( t ):
• Xét v ( t ) >0 khi t thuộc khoảng nào?
• Xét v ( t ) <0 khi t thuộc khoảng nào?
→ Từ đó rút ra kết luận.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu
cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
Hoạt động 2: Cực trị của hàm số.
a) Mục tiêu:
- Nhận biết khái niệm cực trị của hàm số; Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x 0.
- Tìm được cực trị của hàm số.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các HĐ4, 5; Luyện tập 4, 5; Vận dụng 2 và đọc hiểu ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được khái niệm cực trị của hàm số; Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
điểm x 0 và tìm được cực trị của hàm số trong các bài toán tìm cực trị.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2. Cực trị của hàm số.

NV1: Tìm hiểu khái niệm cực trị của a) Khái niệm cực trị của hàm số
hàm số
- GV trình chiếu hình 1.7 và cho HS HĐ4
Hàm số y=x 3 +3 x 2−4
đọc yêu cầu của HĐ4:
Quan

sát

đồ

thị

của

hàm

số Tập xác định của hàm số: D=R .

3
2
y=x +3 x −4 (H.1.7). Xét dấu đạo hàm

Có: y ' =3 x 2+ 6 x

của hàm số đã cho và hoàn thành các

'
y =0 , suy ra x=0 hoặc x=−2

bảng vào vở.

- Đạo hàm của hàm số mang dấu dương khi
x ∈ (−∞ ;−2 ) và x ∈ ( 0 ;+ ∞ ).

- Đạo hàm của hàm số mang dấu âm khi
x ∈ (−2 ; 0 ) .

- Hoàn thành bảng:
x

-3

y'

-2
+

0

-1
-

y

Hình 1.7

x

+ GV mời 1 HS trả lời: Dấu đạo hàm

y'

của hàm số y=x 3 +3 x 2−4 ?

y

-1

0
-

0

1
+

+ Quan sát Hình 1.7 và hai bảng:
• Trong khoảng (−3 ;−2 ) và ( 0 ; 1 ) hàm
số đồng biến hay nghịch biến? Từ đó
suy ra dấu của y ' .

• Trong khoảng (−2 ; 1 ) và (−1 ; 0 ) hàm Định nghĩa
y=f ( x ) xác định và liên tục trên
số đồng biến hay nghịch biến? Từ đó Cho hàm số
suy ra dấu của y ' .

khoảng ( a ; b ) (a có thể là −∞ , b có thể là + ∞)

x ∈ ( a ;b ).
• Tại mỗi giá trị x=−2 và x=0 thì giá và điểm 0
+ Nếu tồn tại số h> 0 sao cho f ( x ) < f ( x0 ) với
trị của y bằng bao nhiêu?

+ GV mời 3 HS trả lời cho 3 ý câu hỏi mọi x ∈ ( x 0−h ; x 0 +h ) ⊂ ( a ; b ) và x ≠ x 0 thì ta nói
vừa nêu. GV nhận xét, và nêu Định hàm số f ( x ) đạt cực đại tại x 0.
nghĩa tổng quát theo SGK cho HS.

+ Nếu tồn tại số h> 0 sao cho f ( x ) > f ( x0 ) với
mọi x ∈ ( x 0−h ; x 0 +h ) ⊂ ( a ; b ) và x ≠ x 0 thì ta nói

hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại x 0.
Chú ý: (SGK – tr.9)

- GV giới thiệu, giảng giải về các thuật
ngữ: Giá trị cực đại, điểm cực đại, cực
trị và các kí hiệu cho HS trong phần

Ví dụ 5: SGK – tr.10
Hướng dẫn giải: SGK – tr.10

Chú ý SGK – tr.9
- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví
dụ 5:
Hình 1.8 là đồ thị của hàm số y=f ( x ).
Hãy tìm các cực trị của hàm số.
+ Quan sát Hình 1.8, và có thể thấy:

Luyện tập 4
+ Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm có
tọa độ:
• x=−1 và y CT = y (−1 )=2
• x=1 và y CT = y ( 1 )=2
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm có tọa
độ:

x=0 và y C Đ= y ( 0 ) =3

- HS vận dụng kiến thức vừa học để
thực hiện cá nhân Luyện tập 4:
Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y=f ( x ).
Hãy tìm các cực trị của hàm số đó.
+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện
bài giải của Luyện tập.
+ HS dưới lớp làm bài và quan sát
nhận xét bài làm của hai bạn.

+ Hàm số đạt cực đại tại x=−1 và

+ GV chữa bài và chốt đáp án.

y CĐ = y (−1 )=5 .

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và y CT = y ( 1 )=1.
b) Cách tìm cực trị của hàm số
- NV2: Tìm hiểu cách tìm cực trị của HĐ5
hàm số
1
- GV triển khai HĐ5 và cho HS thảo

3

2

y= x −3 x +8 x+ 1
3

'
2
luận với bạn cùng bàn để thực hiện a) f ( x )=x −6 x +8
'
f ( x )=0 hay x 2−6 x +8=0, suy ra:
HĐ:

1

3
2
Cho hàm số y= 3 x −3 x +8 x+ 1

a) Tính đạo hàm f ( x ) và tìm các điểm
'

x=2 hoặc x=4

b) Bảng biến thiên:

mà tại đó đạo hàm f ' ( x ) bằng 0.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số.
c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm
cực trị của hàm số.

23

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng tính đạo c) Hàm số đạt cực đại tại x=2 và y CĐ =
3
'
hàm và tìm các giá trị để f ( x )=0 .
19
Hàm số đạt cực tiểu tại x=4 và y CT = 3 .
+ GV chỉ định 1 HS lên bảng lập bảng
biến thiên và tìm các điểm cực trị của

hàm số.
+ GV quan sát, nhận xét chi tiết bài
làm của HS.
→ Từ kết quả của HĐ, GV trình bày

Định lí trong khung kiến thức trọng
tâm cho HS.

Định lí
Giả sử hàm số y=f ( x ) liên tục trên khoảng
( a ; b ) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các

khoảng ( a ; x 0 ) và ( x 0 ;b ). Khi đó:
a) Nếu f ' ( x ) <0 với mọi x ∈ ( a ; x 0 ) và f ' ( x ) >0 với
mọi x ∈ ( x 0 ;b ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của
hàm số f ( x ).
b)
Nếu f ' ( x ) >0 với mọi x ∈ ( a ; x 0 ) và f ' ( x ) <0 với
mọi x ∈ ( x 0 ;b ) thì x 0 là một điểm cực đại của

- GV cho HS hoạt động cá nhân, thực hàm số f ( x ).
hiện Câu hỏi trong SGK – tr.11:
Câu hỏi
Giải thích vì sao nếu f ' ( x ) không đổi Nếu f ' ( x ) không đổi dấu khi x qua x 0 thì hàm
dấu khi x qua x 0 thì x 0 không phải là số f (x) luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến,
điểm cực trị của hàm số f ( x )?

nên không có cực trị.

+ GV mời một số HS trả lời câu hỏi. Vậy nếu f ' ( x ) không đổi dấu khi x qua x 0 thì x 0
GV có thể gợi ý cho HS vẽ bảng biến không phải là điểm cực trị của hàm số f ( x ) .
thiên để xác định.
+ Từ đó GV tổng hợp, khái quát để
chính xác hóa câu trả lời.
- GV trình chiếu, giảng giải cách xác
định điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
dựa trên hai bảng biến thiên trong
SGK.

Chú ý: Các bước tìm cực trị của hàm số

→ Từ đó hướng dẫn các bước để HS

y=f (x ):

tìm cực trị của một hàm số y=f ( x ) bất 1. Tìm tập xác định của hàm số.
kì.

2. Tính đạo hàm f ' ( x ). Tìm điểm mà tại đó
f ' ( x )=0 hoặc không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của
hàm số.
Ví dụ 6: SGK – tr.11
- HS đọc và thực hiện cá nhân Ví dụ 6 Hướng dẫn giải: SGK – tr.11
vào vở:
Tìm

cực

trị

của

hàm

số

y=x −6 x +9 x +30.
3

2

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện
lại lời giải của Ví dụ.
- GV đặt câu hỏi: Nếu trong trường
'

hợp f ( x 0 )=0 nhưng f ( x ) không đổi dấu
'

khi x qua x 0 thì x 0 có là điểm cực trị
của hàm số f ( x ) không?
(Không)
Lấy ví dụ minh họa?

Chú ý
'
Nếu f ( x 0 )=0 nhưng f ' ( x ) không đổi dấu khi x

qua x 0 thì x 0 không là điểm cực trị của hàm số
f ( x ).

Ví dụ:
Hàm số f ( x )=x 3 có f ' ( x )=3 x 2 ; f ' ( 0 )=0 nhưng
x=0 không phải là cực trị của hàm số.

(Ví dụ: Hàm số f ( x )=x 3).

Ví dụ 7: SGK – tr.12

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 7:

Hướng dẫn giải: SGk – tr.12

x 2−2 x+ 9
Tìm cực trị của hàm số y=
x−2

+ GV mời 2 HS lên bảng lần lượt tìm
tập xác định, đạo hàm và lập bảng biến
thiên cho hàm số y=

2

x −2 x+ 9
.
x−2

+ GV chỉ định 1 HS tìm điểm cực đại
và cực tiểu của hàm số trên bảng biến

Ví dụ 8: SGK – tr.12
Hướng dẫn giải: SGK – tr.12

thiên.
- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 8:
x +1

Tìm cực trị của hàm số y= x−1 .
+ Tập xác định: R ¿ {1¿}.
+ Tính đạo hàm của hàm số, ta được:
'

y=

−2
(với mọi x ≠ 1).
( x−1 )2

Do y ' <0 với mọi x ≠ 1, nên hàm số
nghịch biến. Ta có bảng biến thiên sau:
Luyện tập 5
a) y=x 4 −3 x 2+1
- Tập xác định: x ∈ R
- Ta có: y ' =4 x 3−6 x
Quan sát bảng biến thiên, thấy rằng
hàm số không có điểm cực trị.

y ' =0 hay 4 x3 −6 x=0 hay x=0 hoặc x=

- GV chia lớp thành 4 nhóm để HS hoặc x= √ 6 .
thảo luận và thực hiện Luyện tập 5:
Tìm cực trị của hàm số:
a) y=x 4 −3 x 2+1

2

- Bảng biến thiên:

−√ 6
2

−x 2 +2 x−1
b) y=
x +2

+ Nhóm 1, 2: Thực hiện câu a).
+ Nhóm 3, 4: Thực hiện câu b).
+ Các nhóm sau thời gian thảo luận cử
đại diện của nhóm mình lên thực hiện Từ bảng biến thiên ta có:
bài giải.

Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y CĐ =1

+ GV quan sát, nhận xét và rút ra kinh

− 6
Hàm số đạt cực tiểu tại x= √ và y CT = 4
2

nghiệm làm bài cho HS.

−5

6
Hàm số đạt cực tiểu tại x= √ và y CT = 4
2

−5

−x 2 +2 x−1
b) y=
x +2

- Tập xác định: R ¿ {−2¿ }
'
- Ta có: y =

−( x−1 ) ( x+5 )

( x +2 )2

; y ' =0 suy ra:

x=1 hoặc x=−5 .

- Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đạt cực đại tại x=1 và y CĐ =0.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=−5 và y CT =12.
Vận dụng 2
h ( t )=2+24,5 t−4,9 t 2

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Vận h' ( t ) =−9,8 t+ 24,5
'
dụng 2
h ( t ) =0 hay −9,8 t +24,5=0 hay t=2,5

+ Đạo hàm h ' (t) biểu thị vận tốc của Bảng biến thiên:
vật tại thời điểm t .
+ Khi h '( t)=0 , nghĩa là vận tốc của
vật bằng 0. Lúc này, vật đạt độ cao
cực đại hoặc cực tiểu.
+ Lập bảng biến thiên ta xác định
được thời điểm vật đạt độ cao lớn
nhất.
→ Từ đó kết luận cho bài toán.

Vậy tại thời điểm 2,5 giây thì vật đạt độ cao
lớn nhất là 32,625 mét.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, hoàn thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày.
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.

b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 1.1; 1.2; 1.3; 1.4; 1.7
(SGK – tr.13).
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện bài tập 1.1; 1.2; 1.3; 1.4; 1.7 (SGK – tr.13).
- GV chiếu Slide cho HS củng cố kiến thức thông qua trò chơi trắc nghiệm.
Phần 1: Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Các khoảng nghịch biến của hàm số y=x 3−6 x 2 +9 x là
A. (−∞;1 ).

B. (−∞ ; 1 ) ; (3 ;+ ∞ ).

C. ( 3 ;+ ∞ ) .

D. ( 1 ; 3 ).
1

4
2
Câu 2: Khoảng nghịch biến của hàm số y= 2 x −3 x +3 là

A. ( √ 3 ;+∞ )
C. ( 0 ;1 ) và

B. (−∞ ;−√ 3 ) và ( 0 ; √ 3 )

( √23 ;+ ∞)

D. (−√ 3 ; 0 ) và ( √ 3 ;+∞ )

Câu 3: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y=x 3−3 x 2 +2
A. (−∞;+ ∞)
C. (−∞ ; 2 )

B. ( 2 ;+∞ )
D. ( 0 ; 2 )

Câu 4: Cho hàm số y=f (x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho có giá trị cực đại tại giá trị của x bằng bao nhiêu?
A. x=0

B. x=1

C. x=−1

D. x=± 1

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x 3−2 x 2 +mx+1 đạt cực đại tại
x=1.

4

A. m= 3

B. m=−1

C. m=1

D. m=0

Phần 2: Trắc nghiệm đúng sai
Câu 1: Cho hàm số y=x 3−4 x 2−11 x+1 .
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0 ; 1 ).
b) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1 ;+∞ ) .
c) Hàm số có 1 cực trị.
d) Hàm số đạt cực đại tại x=−1.
Câu 2: Hàm số y=f ( x ) có đồ thị như hình dưới đây:

a) Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( 2 ;+∞ ).
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−√ 2 ; 2 ).
c) Hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại.
d) Diện tích tam giác có đỉnh là các cực trị là 4 √ 2 .
Phần 3: Trắc nghiệm trả lời ngắn.
2
x −4 x+1
Câu 1: Hàm số y=
có bao nhiêu cực trị?

x−2

Câu 2: Hàm số y=x 3−7 x 2 +11 x−2 nghịch biến trên khoảng nào?
Đáp án Trắc nghiệm :
Phần 1: Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

D

B

D

A

C

Phần 2: Trắc nghiệm đúng sai
Câu

Câu 1

Câu 2

a)

Đ

Đ

b)

S

S

c)

S

S

d)

Đ

Đ

Phần 3 : Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1

Câu 2

0

(1 ; 113 )

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn
thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
Kết quả:
1.1
3 2
3
a) y=x − 2 x

- Hàm số đồng biến trên khoảng: (−∞ ;0 ) và ( 1 ;+∞ ).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( 0 ; 1 ).
b) y= √( x 2−4 )
3

2

- Hàm số đồng biến trên khoảng: (−2 ; 0 ) và ( 2 ;+∞ ).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: (−∞;−2 ) và ( 0 ; 2 ).
1.2
1

3
2
a) y= 3 x −2 x +3 x+1

- Tập xác định: x ∈ R
- Ta có: y ' =x 2−4 x+ 3; y ' =0 suy ra x=1 hoặc x=3
- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng: (−∞; 1 ) và ( 3 ;+ ∞ ) .
Hàm số nghịch biến trong khoảng: ( 1 ;3 ).
b) y=−x3 +2 x 2−5 x+3
- Tập xác định: x ∈ R
- Ta có: y ' =−3 x 2+ 4 x−5 ; y ' <0 với mọi x .
- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;+ ∞) .
1.3
2 x−1

a) y= x +2

- Tập xác định R ¿ {−2¿ }.
'
- Ta có: y =

5
>0 với mọi x ≠−2.
( x+ 2 )2

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ ;−2 ) và (−2 ;+ ∞ ) .
2
x + x+ 4
b) y=

x −3

- Tập xác định: R ¿ {3¿ }.
'

- Ta có y =

2

x −6 x−7 '
; y =0 suy ra x=−1 hoặc x=7
( x−3 )2

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ ;−1 ) và ( 7 ;+ ∞ ).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1 ; 3 ) và ( 3 ; 7 ) .
1.4
a) y= √ 4−x2
- Tập xác định: [ −2 ; 2 ]
'
- Ta có: y =

−x

√ 4−x 2

; y ' =0 suy ra x=0 => y=2

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−2 ; 0 ) ; Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0 ; 2 ) .
b) y=

x
x +1
2

- Tập xác định: x ∈ R

'

- Ta có: y =

2

−x +1

( x 2+1 )

2

; y ' =0 suy ra x=−1 hoặc x=1

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1 ; 1 )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1 ) và ( 1 ;+∞ ) .
1.7
a) y=2 x 3−9 x 2 +12 x−5
- Tập xác định: x ∈ R
- Ta có: y ' =6 x 2−18 x+ 12; y ' =0 suy ra x=1 hoặc x=2
- Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại: x=1 và y CĐ =0 .
Hàm số đạt cực tiểu tại: x=2 và y CT =−1.
b) y=x 4 −4 x2 +2
- Tập xác định: x ∈ R.
- Ta có: y ' =4 x 3−8 x; y ' =0 suy ra x=√ 2 hoặc x=0 hoặc x=√ 2.

- Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại: x=0 và y CĐ =2
Hàm số đạt cực tiểu tại: x=− √2 và y CT =−2
Hàm số đạt cực tiểu tại: x=√ 2 và y CT =−2
c) y=

2

x −2 x+3
x−1

- Tập xác định: R ¿ {1¿}
'
- Ta có: y =

x 2−2 x−1 '
; y =0 suy ra x=1− √2 hoặc x=1+ √ 2.
( x−1 )2

- Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=1− √2 và y CĐ =−2 √ 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1+ √ 2 và y CT =2 √ 2.
d) y= √ 4 x−2 x2
- Tập xác định: x ∈ [ 0 ; 2 ]
'
- Ta có y =

2 (1−x )

√ 4 x−2 x

- Bảng biến thiên:

2

; y ' =0 suy ra x=1

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=1 và y CĐ =√ 2
D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập 1.5; 1.6;
1.8; 1.9 (SGK – tr.13+14).
c) Sản phẩm: Kết quả thực hiện các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập 1.5; 1.6; 1.8; 1.9 (SGK – tr.13+14).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Bài tập: đại diện HS trình bày kết quả, các HS khác theo dõi, đưa ý kiến.
Bước 4: Kết luận, nhận định
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay mắc
phải.
Gợi ý đáp án:
1.5
N ( t )=

25 t +10
, t >0
t +5

a) Số dân của thị trấn vào năm 2000, ta thay t=0 vào hàm số:

N ( 0 )=

25.0+10
=2 (nghìn người)
0+5

Số dân của thị trấn vào năm 2015, ta thay t=15 vào hàm số:
N ( 15 )=

25.15+10
=19,25 (nghìn người)
15+5

b)
115
'
* Đạo hàm: N (t )=
2

( t +5 )

* lim

t →+ ∞

25t +10
=25
t +5

Đạo hàm N '(t )> 0 với mọi t >0, nghĩa là số dân của thị trấn luôn tăng.
N (t)=25, nghĩa là số dân của thị trấn sẽ không vượt quá 25 nghìn người.
Giới hạn tlim
→+ ∞

1.6

Do Hình 1.13 là đồ thị của hàm số y=f ' ( x ).
Suy ra f ' ( x )=0 tại x=0 hoặc x=2 hoặc x=4 hoặc x=6 .
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2 ; 4 ) và ( 6 ;+ ∞ ) vì ở các khoảng này thì f ' ( x ) >0.
b) Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại: x=4.
Hàm số đạt cực tiểu tại: x=2 và x=6 .
1.8
a) x→ 0

lim

+¿

f ( x ) −f ( 0 )
=1¿
x−0

¿

và x→ 0

lim

−¿

f ( x ) −f ( 0 )
=−1¿
x−0

¿

Ta thấy hai giới hạn này không bằng nhau.
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0
b)
- Tập xác định: R
- Ta thấy f ( 0 )=0, tức là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f ( x )=|x| xảy ra khi x=0
- Ta thấy mọi điểm h> 0 thì f ( x ) >0 với mọi x ∈ ( 0−h ;0+h ) .
Vậy, hàm số f ( x )=¿ x ∨¿ có cực tiểu tại x=0 .
1.9
f ( t )=

−t

25000 e
5000
'
> 0 ∀ t và lim f ( t )=5000.
,t ≥0 suy ra f ( t )=
2
−t
x→+∞
1+5 e
( 1+5 e−t )

Do đó, doanh số luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá 5000.
''
Ta có: f ( t ) =

Do

−t
−2 t
25000 e ( 25 e −1 )

( 1+5 e )

f ' ' ( t ) >0 ∀t ∈¿và
'

'

max f ( t )=f ( ln 5 )=
t≥ 0

−t 4

''

; f ( t )=0 ⇔ e

f '' ( t ) <0 ∀t >ln 5 ,

−2 t

=

nên

1
⇔ t=ln 5 ≈1,6.
25
f ' (t )

đạt

GTLN

tại

t=ln 5

5000
=312,5 .
(1+t )4

Vậy sau khi phát hành sản phẩm khoảng 1,6 năm thì tốc độ bán hàng lớn nhất.
* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Ghi nhớ kiến thức trong bài.
- Hoàn thành các bài tập trong SBT
- Chuẩn bị bài mới: “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”.

Đây là demo giáo án Toán 12 Kết nối tri thức

và

Thày cô liên hệ 0969 325 896 ( có zalo ) để có trọn bộ cả năm bộ giáo án trên.
Có đủ Word và PowerPoint đồng bộ
Có giáo án tất cả các môn học cho 3 bộ sách giáo khoa mới
CÁNH DIỀU, KẾT NỐI TRI THỨC, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Thày cô xem và tải tài liệu tại website: tailieugiaovien.edu.vn
https://tailieugiaovien.edu.vn