Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

Bài 8. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; Lớp: 12 - KNTT.
Thời gian thực hiện: (3 tiết).
I. MỤC TIÊU.
1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
● Nhận biết được biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian, thể hiện được
các phép toán vectơ theo toạ độ.
● Xác định được độ dài của vectơ khi biết toạ độ của hai đầu mút.
● Vận dụng được biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ để giải một số bài toán có liên
quan đến thực tiễn.
2. Năng lực:
+ Năng lực chung:
● Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
● Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
● Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
+ Năng lực riêng:
● Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề nhận biết được biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
trong không gian, thể hiện được các phép toán vectơ theo toạ độ, Xác định được độ dài của
vectơ khi biết toạ độ của hai đầu mút.Vận dụng được biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
● Giao tiếp toán học: đọc, hiểu thông tin toán học.
● Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: sử dụng máy tính cầm tay, thước kẻ, ...
3. Phẩm chất:
● Góp phần giúp HS rèn luyện và phát triển các phẩm chất tốt đẹp (yêu nước, nhân
ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm):
● Tích cực phát biểu, xây dựng bài và tham gia các hoạt động nhóm;
● Có ý thức tích cực tìm tòi, sáng tạo trong học tập; phát huy điểm mạnh, khắc phục các điểm
yếu của bản thân.
II. THIÉT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU.
1. Đối với GV: + KHBD, bảng phụ, máy chiếu (nếu có), phiếu học tập, …
+ GV chuẩn bị một số tình huống trong thực tế cần sử dụng ý nghĩa của các đường tiệm cận để giải
thích.
2. Đối vơi HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết
bàng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu: HS tính được kích thước vật thể sau khi mô hình hóa, từ đó dẫn tới nhu cầu hình thành
biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu.
c) Sản phẩm: Câu trả lời của HS.
d) Tổ chức hoạt động: HS làm việc cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: - GV mô tả tình huống và có thể yêu cầu HS dựa vào các tính chất
hình học của lăng trụ tam giác đứng để xác định toạ độ các đỉnh của hình lăng trụ.
Bước 2: Thục hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu
cầu. HS xác định toạ độ các đỉnh của hình lăng trụ và suy nghĩ về tình huống.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: - Đặt vấn đề: Nếu như chúng ta biết toạ độ các điểm trong không
gian, liệu chúng ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm đó hay không? Ta sẽ đi tìm hiểu bài
học ngày hôm nay.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
▶Hoạt động 1: Biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một
số với một vectơ

Giáo viên: ………………………….

1

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

a) Mục tiêu: Giúp HS nhận biết được các biểu thức toạ độ của phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép
nhân vectơ với một số.
b) Nội dung: HS thực hiện HĐ1, HĐ2 và HS thực hiện Ví dụ 1, 2 và Luyện tập1, 2.
c) Sản phẩm: Lời giải của các câu hỏi trong hoạt động và ví dụ.
d) Tổ chức thực hiện: HS hoạt động cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
1. Biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ,
HĐ1
phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một
- Trước khi thực hiện HĐ1, GV yêu cầu HS
vectơ
nhắc lại biểu thức toạ độ của các phép toán
- HS thực hiện HĐ1 theo hướng dẫn của GV.
tương ứng trong mặt phẳng.
- GV cho HS đọc yêu cầu và thực hiện HĐ1
trong 3 phút và chọn một HS đứng tại chỗ trả
lời. Sau đó GV cho HS khác nhận xét và chốt
lại kết quả.
- Từ HĐ1, GV có thể yêu cầu HS dự đoán
biểu thức toạ độ của các phép toán cộng/trừ
vectơ và phép nhân một số với một vectơ.
- GV viết bảng hoặc trình chiếu nội dung trong
Khung kiến thức. GV có thể nhấn mạnh sự HD.
tương tự giữa các biểu thức toạ độ này với các
biểu thức toạ độ trong mặt phẳng để HS dễ a) a = i + 5k ; b = i + 3 j + 9k .
dàng ghi nhớ các công thức.
b) a + b = 2i + 3 j + 14k nên toạ độ của a + b là
Câu hỏi
( 2; 3; 14) ; 2a = 2i + 10k nên toạ độ của 2a là
- GV gọi HS đứng tại chỗ trả lời câu hỏi, các
HS khác theo dõi và nhận xét. GV nhận xét và ( 2; 0; 10) .
tổng kết.
- GV gợi ý HS viết −a thành ( −1) a và áp
dụng biểu thức toạ độ của phép nhân một số
với một vectơ.
Nhận xét
GV có thể yêu cầu HS nhắc lại điều kiện để hai
vectơ (trong không gian) cùng phương, từ đó
sử dụng biểu thức toạ độ của phép nhân một số
với một vectơ để suy ra kết quả. Từ đó, ta rút
ra nhận xét.

HS ghi nội dung cần ghi nhớ.
Trong không gian 𝑶𝒙𝒚𝒛, cho hai vectơ ⃗𝒂 =
(𝒙; 𝒚; 𝒛) và ⃗𝒃 = (𝒙' ; 𝒚' ; 𝒛' ). Ta có:
⃗ + ⃗𝒃 = (𝒙 + 𝒙' ; 𝒚 + 𝒚' ; 𝒛 + 𝒛' );
𝒂
⃗ − ⃗𝒃 = (𝒙 − 𝒙' ; 𝒚 − 𝒚' ; 𝒛 − 𝒛' );
𝒂
⃗ = (𝒌𝒙; 𝒌𝒚; 𝒌𝒛) với 𝒌 là một số thực.
𝒌𝒂
- HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi.
- Đáp án: −a có toạ độ là ( − x; − y; − z ) .
- Hai vectơ

(

)

a ( x; y; z ) , b ( x '; y '; z ') b  0 cùng phương khi

tồn tại số thực
 x = kx '

k sao cho a = kb , khi đó  y = ky '.
 z = kz '


Ví dụ 1
- Các thành phần không thể thiếu
GV tổ chức cho HS làm việc cá nhân trong 3
phút, sau đó gọi một HS trả lời, các HS khác - HS thực hiện Ví dụ 1 và ghi bài.
Giáo viên: ………………………….

2

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

theo dõi và nhận xét. GV nhận xét và chốt kiến a) Vì 𝑎 = (2; 1; 5) và 𝑏⃗ = (2; 2; 1) nên 𝑎 − 𝑏⃗ =
thức.
(2 − 2; 1 − 2; 5 − 1) = (0; −1; 4).
b) Ta có 3𝑎 = (3 ⋅ 2; 3 ⋅ 1; 3 ⋅ 5) = (6; 3; 15) và
2𝑏⃗ = (2 ⋅ 2; 2 ⋅ 2; 2 ⋅ 1) = (4; 4; 2).
Do đó 3𝑎 + 2𝑏⃗ = (6 + 4; 3 + 4; 15 + 2) =
(10; 7; 17).
Luyện tập 1
GV tổ chức cho HS làm việc theo cặp trong 2 - HS thực hiện Luyện tập 1 và ghi bài.
phút, sau đó gọi một HS trả lời, các HS khác
𝑢
⃗ − 2𝑣 + 𝑤
⃗⃗ = (1; 8; 6) − 2(−1; 3; −2) + (0; 5; 4)
theo dõi và nhận xét. GV nhận xét và tổng kết.
= (1 + 2; 8 − 6 + 5; 6 + 4 + 4) = (3; 7;
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vào tập.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi,
đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV,
chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả
lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại
kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát,
nhận xét quá trình hoạt động của các HS, cho
HS nhắc lại biểu thức toạ độ của phép cộng
hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một
số với một vectơ
HĐ2
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
1
Từ đẳng thức OM = OA + OB suy ra
2
- GV cho HS đọc yêu cầu và thực hiện HĐ2
x +x
z +z
y + yB
xM = A B ; yM = A
và zM = A B .
theo cặp trong 3 phút và chọn HS lên bảng
2
2
2
trình bày. Sau đó GV cho HS khác nhận xét
b) Tương tự câu a.
và chốt lại kết quả.
- HS ghi nội dung cần ghi nhớ.
- Từ HĐ2, HS suy ra được biểu thức tính toạ
Trong không gian 𝑶𝒙𝒚𝒛, cho ba điểm không
độ trung điểm của đoạn thẳng AB, trọng tâm
thẳng hàng 𝑨(𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ; 𝒛𝑨 ), 𝑩(𝒙𝑩 ; 𝒚𝑩 ; 𝒛𝑩 ) và
của tam giác ABC.
𝑪(𝒙𝑪 ; 𝒚𝑪 ; 𝒛𝑪 ). Khi đó:
- GV trình chiếu nội dung trong khung kiến
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng 𝑨𝑩 là
𝒙 +𝒙 𝒚 +𝒚 𝒛 +𝒛
thức.
( 𝑨 𝑩 ; 𝑨 𝑩 ; 𝑨 𝑩 );
𝟐
𝟐
𝟐
Toạ độ trọng tâm của tam giác 𝑨𝑩𝑪 là
𝒙 +𝒙 +𝒙 𝒚 +𝒚 +𝒚 𝒛 +𝒛 +𝒛
( 𝑨 𝟑𝑩 𝑪 ; 𝑨 𝟑𝑩 𝑪 ; 𝑨 𝟑𝑩 𝑪).

(

)

Ví dụ 2
GV tổ chức cho HS làm việc theo cá nhân trong
2 phút. GV gọi đại diện HS trình bày kết quả, HS thực hiện Ví dụ 2 và ghi bài.
các bạn khác theo dõi và nhận xét. GV tổng kết,
góp ý.
Luyện tập 2
- GV tổ chức cho HS làm việc theo cặp trong
- HS thực hiện Luyện tập 2 và ghi bài.
2 phút. GV gọi đại diện HS trình bày kết quả,
Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì
Giáo viên: ………………………….

3

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶
3
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶
𝑦𝐺 =
3
𝑧𝐴 + 𝑧𝐵 + 𝑧𝐶
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
{𝑧𝐺 =
3
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vào tập.
𝑥𝐶 = 3𝑥𝐺 − 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 = 3.3 − 2 − 9 = −2
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, ⇒ {𝑦𝐶 = 3𝑦𝐺 − 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 = 3.0 − 9 − 4 = −13
đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.
𝑧𝐶 = 3𝑧𝐺 − 𝑧𝐴 − 𝑧𝐵 = 3.4 + 1 − 5 = 8
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV,
Vậy 𝐶(−2; −13; 8)
chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả
lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại
kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát,
nhận xét quá trình hoạt động của các HS, cho
HS nhắc lại kiến thức
Giao cho HS làm các bài tập sau trong SGK:
Bài tập 2.20a.
Tiết 2
các bạn khác theo dõi và nhận xét. GV tổng
kết, góp ý.
GV có thể gợi ý HS đặt toạ độ của điểm C là
( x; y; z ) và lập phương trình để tính x, y, z .

𝑥𝐺 =

● Zalo chia sẻ full bộ khbd Toán 12 -Duong Hung word xinh 0774860155

▶Hoạt động 2: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
a) Mục tiêu: HS nhận biết được biểu thức toạ độ của tích vô hướng của hai vectơ.
b) Nội dung: HS thực hiện HĐ3,4 và HS thực hiện các yêu cầu trong Ví dụ 3, 4, 5 và Luyện tập 3,
4, 5
c) Sản phẩm: Các câu hỏi lời, lời giải của HS.
d) Tổ chức thực hiện: HS hoạt động cá nhân dưới sự hướng dẫn của GV.
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
HS nhắc lại biểu thức toạ độ của phép cộng/trừ
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
vectơ và phép nhân một số với một vectơ.
HĐ3:
Nhắc lại kiến thức
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
GV yêu cầu HS nhắc lại biểu thức toạ độ của
phép cộng/trừ vectơ và phép nhân một số với
một vectơ.
Với a ( x; y ) , b ( x '; y ') thì a  b = x.x '+ y. y '.
HĐ3
- GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa và một
- HS thực hiện các yêu cẩu của HĐ3.
2
số tính chất của tích vô hướng trong không
a) Vì i có độ dài là 1 nên i  i = i = 1 . Vì i , j , k
gian.
- GV cho HS thực hiện cá nhân Ví dụ 3 trong 3 đôi một vuông góc nên i  j = i  k = 0.
phút, sau đó gọi một HS lên bảng trình bày, các b) Áp dụng câu a để suy ra a  i = x . Tương tự suy
HS khác theo dõi, nhận xét. GV tổng kết, nhận
ra a  j = y và a  k = z .
xét và chốt đáp án.
Nhận xét
c) Tính a  ( xi ) = x ( a  i ) = xx. Tương tự có
- GV đặt lần lượt các câu hỏi cho HS:
a  ( y j ) = yy và a  zk = zz , từ đó suy ra biểu
+ Nếu hai vectơ a ( x; y; z ) , b ( x '; y '; z ') vuông
thức toạ độ của a  b .
góc với nhau thì tích vô hướng của hai vectơ
bằng bao nhiêu?

( )

Giáo viên: ………………………….

4

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

+ Từ công thức tính tích vô hướng của hai
vectơ, ta có thể tính độ dài của a và

( )

cos a, b như thế nào?

- Từ các câu trả lời của HS, GV rút ra nhận
xét.

+ Nếu a ⊥ b thì a  b = 0
 x  x + y  y + z  z = 0.
+ Ta có a = a  a = x 2 + y 2 + z 2 .

( )

+ Ta có cos a , b =
=

a b
ab

x  x '+ y  y '+ z  z '
x 2 + y 2 + z 2  x '2 + y '2 + z '2

.

- HS ghi nội dung cần ghi nhớ.

Ví dụ 3
GV cho HS thực hiện cá nhân Ví dụ 3 trong 3
phút, sau đó gọi một HS lên bảng trình bày, các
HS khác theo dõi, nhận xét. GV tổng kết, nhận
xét và chốt đáp án.
Luyện tập 3
- GV cho HS thực hiện cá nhân sau đó gọi một
HS lên bảng trình bày, các HS khác theo dõi và
nhận xét.
- GV có thể gợi ý HS xác định toạ độ của

(

)

2

a + b và từ đó tính a + b .

Ví dụ 4
- GV cho HS nhắc lại hệ toạ độ trong không
gian, các thành phần không thể thiếu của hệ toạ
độ là gì?
- GV cho HS thực hiện cá nhân Ví dụ 4 trong 3
phút, sau đó gọi 1 HS lên bảng trình bày, các
HS khác theo dõi, nhận xét. GV tổng kết, nhận
xét và chốt đáp án.
Luyện tập 4
GV cho HS thực hiện theo bàn Luyện tập 4
trong 3 phút, sau đó gọi một HS lên bảng trình
bày, các HS khác theo dõi, nhận xét. GV tổng
kết, nhận xét và chốt đáp án.

Giáo viên: ………………………….

Trong không gian 𝑶𝒙𝒚𝒛, tích vô hướng của hai
⃗ = (𝒙' ; 𝒚' ; 𝒛' ) được xác
⃗ = (𝒙; 𝒚; 𝒛) và 𝒃
vectơ 𝒂
định bởi công thức:
⃗ ⋅ ⃗𝒃 = 𝒙𝒙' + 𝒚𝒚' + 𝒛𝒛'
𝒂
Chú ý: Nếu 𝑨(𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ; 𝒛𝑨 ) và 𝑩(𝒙𝑩 ; 𝒚𝑩 ; 𝒛𝑩 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =
thì 𝑨𝑩 = |𝑨𝑩
√(𝒙𝑩 − 𝒙𝑨 )𝟐 + (𝒚𝑩 − 𝒚𝑨 )𝟐 + (𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 )𝟐 .
Đặc biệt, khi 𝑩 trùng 𝑶 ta nhận được công thức
𝑶𝑨 = √𝒙𝟐𝑨 + 𝒚𝟐𝑨 + 𝒛𝟐𝑨 .
HS thực hiện Ví dụ 3 và ghi bài.

- HS thực hiện Luyện tập 3 và ghi bài.
Ta có (𝑎 + 𝑏⃗)2 = 𝑎2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏⃗ + 𝑏⃗ 2
Theo ví dụ 3, có 𝑎 ⋅ 𝑏⃗ = 0; |𝑎| = √21.
Ta có |𝑏⃗| = √16 + 1 = √17.
Do đó (𝑎 + 𝑏⃗)2 = 𝑎2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏⃗ + 𝑏⃗ 2 = 21 +
2.0 + 17 = 38.
- Các thành phần không thể thiếu của hệ toạ độ là
các trục toạ độ (đôi một vuông góc tại gốc) và các
vectơ đơn vị trên mỗi trục.
- HS thực hiện Ví dụ 4 và ghi bài.

- HS thực hiện Luyện tập 4 và ghi bài.
⃗⃗⃗⃗⃗ = (3; −4; 0); 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; 3; 6); 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =
Có 𝐴𝐵
(−5; 7; 6).

5

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

HĐ4
- GV cho HS thực hiện theo cặp trong 3 phút
sau đó gọi đại diện HS đứng tại chỗ trả lời,
các HS khác theo dõi, nhận xét.
- Từ HĐ4, GV giới thiệu cho HS công thức
biểu diễn toạ độ của vectơ qua toạ độ của hai
đầu mút. GV trình chiếu nội dung trong
khung kiến thức.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vào tập.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi,
đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV,
chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả
lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại
kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát,
nhận xét quá trình hoạt động của các HS, cho
HS nhắc lại Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

⃗⃗⃗⃗⃗ | = √9 + 16 = 5; |𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ | =
a) Ta có |𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √25 + 49 + 36 =
√4 + 9 + 36 = 7; |𝐵𝐶
√110.
Do đó chu vi của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: 5 + 7 +
√110 = 12 + √110.
̂ = (𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
b) Ta có 𝐵𝐴𝐶
𝐴𝐶 ).
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶 = 3⋅(−2)+(−4)⋅3+0.6 =
Ta có cos⁡(𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝐴𝐵

5.7

18

− 35.

̂ ≈ 121∘ .
Suy ra 𝐵𝐴𝐶
HĐ4.
a) OM = xi + yj + zk , ON = x ' i + y ' j + z ' k .
b) Có MN = ON − OM
= ( x '− x ) i + ( y '− y ) j + ( z '− z ) k , suy ra toạ độ của

MN là ( x '− x; y '− y; z '− z ) .
- HS ghi nội dung cần ghi nhớ.

+ Bài tập về biểu thức toạ độ của tích vô
hướng của hai vectơ: Bài tập 2.20b
+ Bài tập tổng hợp: Các bài tập 2.21, 2.22.
Tiết 3
▶Hoạt động 3: Vận dụng toạ độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn
a) Mục tiêu: HS vận dụng được biểu thức toạ độ của vectơ trong một số tình huống thực tế.
b) Nội dung: HS thực hiện các ví dụ và luyện tập.
c) Sản phẩm: Các câu trả lời của HS.
d) Tổ chức thực hiện: HS hoạt động cá nhân dưới sự hướng dẫn của GV.
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
Nhắc lại kiến thức: GV cho HS nhắc lại biểu
thức toạ độ của các phép toán vectơ, cách tính
toạ độ vectơ và độ dài vectơ khi biết toạ độ hai
đầu mút.
Ví dụ 5
GV cho HS thực hiện cá nhân trong 3 phút,
sau đó gọi đại diện một HS lên bảng trình
Giáo viên: ………………………….

3. Vận dụng toạ độ của vectơ trong một số bài toán
có liên quan đến thực tiễn

- HS nhắc lại biểu thức toạ độ của các phép toán
vectơ, cách tính toạ độ vectơ và độ dài vectơ khi biết
toạ độ hai đầu mút.
- HS thực hiện Ví dụ 5 và ghi bài

6

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

bày, các HS khác theo dõi, nhận xét và chốt
đáp án.

Luyện tập 5
GV cho HS thực hiện cá nhân trong 3 phút,
sau đó gọi đại diện một HS lên bảng trình
bày, các HS khác theo dõi, nhận xét và chốt
đáp án.

Ví dụ 6
GV cho HS thực hiện cá nhân trong 3 phút
sau đó gọi đại diện HS lên bảng trình bày, các
HS khác theo dõi, nhận xét.
Luyện tập 6
GV cho HS thực hiện theo cặp trong 3 phút
sau đó gọi đại diện HS lên bảng trình bày, các
HS khác theo dõi, nhận xét.

HS đọc nội dung và thực hiện Ví dụ 5.
Gọi 𝐶(𝑥; 𝑦; 𝑧) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp
theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 và
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi
và thời gian bay từ 𝐴 đến 𝐵 gấp đôi thời gian bay từ
𝐵 đến 𝐶 nên 𝐴𝐵 = 2𝐵𝐶.
⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = (940−800 ; 550−500 ; 8−7) =
Do đó 𝐵𝐶
2
2
2
2
(70; 25; 0,5).
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 940; 𝑦 − 550; 𝑧 − 8) nên
Mặt khác, 𝐵𝐶
𝑥 − 940 = 70
{𝑦 − 550 = 25
𝑧 − 8 = 0,5.
𝑥 = 1010
Từ đó {𝑦 = 575 và vì vậy 𝐶(1010; 575; 8,5).
𝑧 = 8,5
Vậy toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
(1010; 575; 8,5).
- HS đọc nội dung và thực hiện Luyện tập 5.
Gọi D(x; y; z) là vị trí của máy bay sau 10 phút bay
tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B ). Vì
hướng của máy bay không đổi nên ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 cùng
hướng. Do vận tốc máy bay không đối và thời gian
bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến D nên
𝐴𝐵 = 𝐵𝐷. Do đó, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (140; 50; 1).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mặt khác: 𝐵𝐷 = (𝑥 − 940; 𝑦 − 550; 𝑧 − 8) nên
𝑥 − 940 = 140
𝑥 = 1080
{𝑦 − 550 = 50 ⇔ {𝑦 = 600
𝑧−8=1
𝑧=9
Vậy D(1 080; 600; 9). Vậy tọa độ của máy bay
trong 10 phút tiếp theo là (1080; 600; 9).
HS thực hiện Ví dụ 6 và ghi bài.
HS thực hiện Luyện tập 6 và ghi bài.

Theo Ví dụ 6 ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴' 𝐵 ' =
' 𝐵'| =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(−120; 0; 300); |𝐴
60√29𝑐𝑚, 𝑂' (0; 450; 0), 𝐴' (240; 450; 0)
' 𝑂 ' | = 240 cm
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Do đó, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴' 𝑂' = (−240; 0; 0) ⇒ |𝐴
' 𝐵 ' ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có: cos⁡(𝐴
𝐴' 𝑂' ) =

Giáo viên: ………………………….

7

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
' 𝑂'
𝐴' 𝐵' ⋅𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐴' 𝐵' |⋅|𝐴' 𝑂 ' |

=

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

(−120)(−240)+0.0+300.0

Ví dụ 7
GV cho HS thực hiện theo cá nhân trong 3
phút sau đó gọi đại diện HS lên bảng trình
bày, các HS khác theo dõi, nhận xét.
Luyện tập 7
GV cho HS thực hiện cá nhân trong 3 phút
sau đó gọi đại diện HS lên bảng trình bày, các
HS khác theo dõi, nhận xét.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vào tập.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi,
đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV,
chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả
lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại
kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát,
nhận xét quá trình hoạt động của các HS

60√29.240
'
̂
𝐵 𝐴' 𝑂' ≈ 680 .

=

2√29
29

⇒
Vậy 𝛼 ≈ 680
HS thực hiện Ví dụ 7 và ghi bài.

HS thực hiện Luyện tập 7 và ghi bài.

Theo Ví dụ 7 ta có, khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là
A(2; 1; 0,5), khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là
𝐵(−1; −1,5; 0,8).
√21
𝑘𝑚, 𝑂𝐵
2
√389
km.
10

Ta có: 𝑂𝐴 = √22 + 12 + 0, 52 =

=

√(−1)2 + (−1,5)2 + 0, 82 =
Vì gốc O đặt tại điểm xuất phát và 𝑂𝐴 > 𝑂𝐵 nên khinh khí
cầu thứ hai gần điểm xuất phát hơn.

● Zalo chia sẻ full bộ khbd Toán 12 -Duong Hung word xinh 0774860155

▶Hoạt động 4: VẬN DỤNG VÀ CHỮA BÀI TẬP CUỐI BÀI TRONG SGK
a) Mục tiêu: Củng cố kĩ năng xác định toạ độ của điểm và vectơ trong không gian.
b) Nội dung: HS thực hiện các bài tập cuối bài học.
c) Sản phẩm: Câu trả lời của HS.
d) Tổ chức thực hiện: Hoạt động cá nhân dưới sự hướng dẫn của GV.
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
HS thực hiện bài 2.20 và ghi bài.
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổ chức cho HS hoàn thành bài cá nhân
a) Tọa độ của vectơ 𝑎 + 𝑏⃗ + 𝑐 là (3 − 3 + 6; 1 +
Bài 2.20
0 − 1; 2 + 4 + 0) = (6; 0; 6).
GV cho HS thực hiện cá nhân trong 3 phút,
⃗
sau đó gọi đại diện ba HS lên bảng trình bày, Có 2𝑎 = (6; 2; 4); 3𝑏 = (−9; 0; 12); 5𝑐 =
(30; −5; 0).
các HS khác theo dõi, nhận xét.
Tọa độ của vectơ 2𝑎 − 3𝑏⃗ − 5𝑐 là (6 + 9 −
30; 2 + 5; 4 − 12) = (−15; 7; −8).
b) Có −𝑏⃗ = (3; 0; −4).
Do đó 𝑎 ⋅ (−𝑏⃗) = 3.3 + 1.0 + 2 ⋅ (−4) = 1.
(2𝑎) ⋅ 𝑐 = 6.6 + 2 ⋅ (−1) + 4.0 = 34.
Bài 2.21
HS thực hiện bài 2.21 và ghi bài.
GV cho HS thực hiện cá nhân trong 3 phút,
sau đó gọi đại diện ba HS lên bảng trình bày, а) 𝑀𝑁 - (4 + 4; −4 − 3; 2 − 3) − (8; −7; −1), 𝑀𝑃
các HS khác theo dõi, nhận xét.
- (3 + 4; 6 − 3; −1 − 3) − (7; 3; −4).
Hai vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MN và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MP không cùng phương nên ba
điè̉ m M2 N, P không thẳng hàng.
Giáo viên: ………………………….

8

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

̅̅
b) Có ̅̅̅̅̅
NM − (−8; 7; 1) và N
P − (−1; 10; −3).
̅̅̅̅̅ + NP
̅̅̅̅ = (−8 − 1; 7 + 10; 1 − 3) =
Suy ra NM
(−9; 17; −2)(1).
̅̅̅̅̅ + NP
̅̅̅̅ = NQ
̅̅̅̅
Theo quy tắc hình bình hành có: NM
(2).
̅̅̅̅ = (x − 4; y + 4; 𝑧 −
GọiQ(x, y; z). Khi đò NQ
2)(3).
𝑥 − 4 − −9
𝑥 = −5
Từ (1), (2), (3), ta có: {𝑦 + 4 − 17 ⇔ {𝑦 − 13 .
𝑧 − 2 − −2
𝑧−0
Vậy 𝑄(−5; 13; 0).
̅̅̅̅̅| = √14;
c) Có ̅̅̅̅̅
MN = (8; −7; −1) = |MN
̅̅̅̅
NP = (−1; 10; −3) = |√NP| = √10;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | + |NP
̂ |) −
Do đò chu vi hình bình hành là: 2(|MN
2(√14 + √110).
Bài 2.22
HS thực hiện bài 2.22 và ghi bài.
GV cho HS hoạt động theo nhóm đôi, sau đó
lên bảng trình bày, các nhóm khác theo dõi
a) Gọi 𝐺(𝑥; 𝑦; 𝑧) là trọng tâm của tam giác
bài của nhóm bạn, nhận xét. GV tổng kết và
𝐴𝐵𝐶.
chốt đáp án.
1+0+4
5
𝑥= 3
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát
𝑥=3
0−3−1
và chú ý lắng nghe, thảo luận, hoàn thành các
Khi đó ta có 𝑦 = 3 ⇔ {𝑦 = −4.
bài tập GV yêu cầu.
3
1+1+4
𝑧
=
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: Mỗi BT GV mời
𝑧
=
2
{
3
5
4
đại diện các nhóm trình bày. Các HS khác chú
Vậy 𝐺 (3 ; − 3 ; 2).
ý chữa bài, theo dõi nhận xét bài các nhóm trên
b) Có ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (0 − 1; −3 − 0; 1 − 1) =
bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
(−1; −3; 0); ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (4 − 1; −1 − 0; 4 − 1) =
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các
(3; −1; 3).
hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
ท। ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (−1) ⋅ 3 + (−3) ⋅ (−1) + 0.3 =
- GV chú ý cho HS các lỗi sai hay mắc phải khi
0.
thực hiện giải bài tập.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ hay 𝐵𝐴𝐶
̂ = 90∘ .
Do đó 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 3; 0); |𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √1 + 9 =
c) Có 𝐵𝐴
√10;
⃗⃗⃗⃗⃗ = (4 − 0; −1 + 3; 4 − 1) =
𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √16 + 4 + 9 = √29.
(4; 2; 3); |𝐵𝐶
̂ = (𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ).
Ta có 𝐴𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐵𝐴⋅𝐵𝐶 = 1.4+3.2+0.3 =
Có cos⁡(𝐵𝐴

- Giao cho HS làm các bài tập sau trong SGK:
Bài tập vận dụng: Các bài tập 2.23, 2.24.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|⋅𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ∣
|𝐵𝐴

√10⋅√29

√290
.
29

̂ ≈ 54∘
Do đó 𝐴𝐵𝐶
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRONG SGK
2.20. a) ( 6; 0; 6 ) ; ( −15; 7; − 8) ;
b) 1 và 34.
2.21. a) Ta tính được MN = (8; − 7; − 1) và MP = ( 7; 3; − 4 ) . Do không tồn tại số thực k sao cho

MP = k MN nên ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
Giáo viên: ………………………….

9

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- KNTT-TẬP 1

b) Ta có NM + NP = ( −8; 7; 1) + ( −1; 10; − 3) = ( −9; 17; − 2 ) . Để MNPQ là hình bình hành thì
NQ = NM + NP = ( −9; 17; − 2) , suy ra Q ( −5; 13; 0) .

c) Chu vi của hình bình hành MNPQ bằng 2MN + 2MP = 2

(

)

114 + 74 .

5 4 
2.22. a)  ; − ; 2  .
3 3 
b) Ta tính được AB  AC = 0 , từ đó suy ra BAC = 90 .
c) 54 .
2.23. Gọi A là đỉnh của hình hộp chữ nhật nằm trên mặt phẳng Oxy và không nằm trên các trục. Gọi B
là đỉnh của hình hộp chữ nhật nằm trên mặt phẳng Oyz và không nằm trên các trục. Trần nhà có
hình chữ nhật nên điểm treo đèn (là tâm của hình chữ nhật) là trung điểm của đường chéo AB. Vì
A ( 6; 0; 3) và B ( 0; 8; 3) nên toạ độ của điểm treo đèn là ( 3; 4; 3) .

2.24. Khoảng cách từ tàu thám hiểm đến ra đa là

252 + 152 + ( −10 )  30,8 (km). Khoảng cách này
2

lớn hơn phạm vi theo dõi của radar nên radar không thể phát hiện được tàu thám hiểm.
……………., ngày tháng năm 2024
Giáo viên soạn

………………………………………………..
GÓP Ý, RÚT KINH NGHIỆM
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
Duyệt của tổ chuyên môn

Duyệt của BGH

.................................................................................

Giáo viên: ………………………….

10

..................................................................................