Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

Bài 2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; Lớp: 12 - CTST
Thời gian thực hiện: (4 tiết).
I. MỤC TIÊU.
1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
● Nhận biết được tọa độ của một vectơ đối với hệ trục tọa độ.
● Vận dụng được tọa độ của vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
2. Năng lực:
+Năng lực chung:
● Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
● Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
● Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
+Năng lực riêng:
● Tư duy và lập luận toán học: Lập luận, phân tích, so sánh để xác định được tọa độ của một
vectơ trong không gian.
● Mô hình hóa toán học: Xác định được tọa độ của một vectơ trên hệ trục tọa độ.
● Giải quyết vấn đề toán học: Vận dụng các phép tính của vectơ để tìm tọa độ của một vectơ
bất kì trong không gian.
● Giao tiếp toán học: Đọc hiểu thông tin toán học từ hệ trục tọa độ.
● Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị cực trị của
hàm số.
3. Phẩm chất:
● Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng
ý kiến các thành viên khi hợp tác.
● Chăm chí tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng
dẫn của GV.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU.
1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối vơi HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết
bàng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu: Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc bài toán mở đầu và thực hiện bài toán dưới sự dẫn dắt của GV (HS chưa cần
giải bài toán ngay).
c) Sản phẩm: HS nhận biết được các thông tin trong bài toán và dự đoán câu trả lời cho câu hỏi mở
đầu theo ý kiến cá nhân.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV chiếu Slide dẫn dắt và yêu cầu HS thảo luận và nêu dự đoán về câu hỏi mở đầu (chưa cần HS
giải):
Trong kiểm soát không lưu, người ta dùng bộ ba số để xác định vị trí của máy bay. Người ta đã làm

điều đó như thế nào?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu
cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Xây dựng hệ tọa độ trong không gian tương tự như trong mặt phẳng, sử dụng bộ ba số để xác định
hoành độ, tung độ và cao độ.
Giáo viên: ………………………….

1

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV ghi nhận câu trả lời của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào tìm hiểu
bài học mới: “Để biểu diễn tọa độ của một điểm hay một vectơ trong không gian, ta sẽ làm thế nào?
Bài học ngày hôm nay sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi đó”.
Tọa độ của vectơ trong không gian.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI:
▶Hoạt động 1: Hệ tọa độ trong không gian
a) Mục tiêu: HS nhận biết được hệ trục tọa độ trong không gian.
b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện HĐKP1; Thực hành 1; Vận dụng 1 và các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nhận biết
được hệ trục tọa độ trong không gian.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
GV yêu cầu HS thực hiện hoạt động khám phá 1. Hệ tọa độ trong không gian.
Trong không gian, cho ba trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 đôi một
1 và hoàn thành các yêu cầu sau:
⃗⃗ lần lượt là ba vectơ đơn vị
vuông góc. Gọi 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Đặt
a) Nêu nhận xét về phương và độ dài của ba trên các trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧. Hệ ba trục như vậy được
gọi là hệ trục tọ ̣ độ Descartes vuông góc Oxyz trong
vectơ.
không gian hay gọi đơn giản là hệ tọa độ 𝑶𝒙𝒚𝒛.
b) Nêu nhận xét về ba trục tọa độ.
- GV mời 2 HS đứng tại chỗ trình bày bài.
- GV nhận xét từ đó rút ra kết luận về hệ tọa độ
trong không gian.
GV viết bảng hoặc trình chiếu nội dung trong
Khung kiến thức.

GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi tìm hiểu
Ví dụ 1.

- HS thực hiện Ví dụ 1 và ghi bài
Với 𝑂 là gốc toạ độ, ta vẽ được các trục
𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 như Hình 3. Ba vectơ đơn vị trên ba
⃗⃗ = 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑗⃗ = 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
trục lần lượt là 𝑖⃗ = 𝑂𝐴

- GV yêu cầu HS hoàn thành yêu cầu của thực - HS thực hiện thực hành 1 và ghi bài.
hành 1.
- GV mời 1 HS lên bảng vẽ hình và trình bày
bài.

Trục Ox có vectơ đơn vị là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 .
Trục Oy có vectơ đơn vị là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
Trục Oz có vectơ đơn vị là 𝐴𝑆
- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành
yêu cầu của Vận dụng 1.

- HS thực hiện vận dụng 1 và ghi bài.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
Giáo viên: ………………………….

2

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vào tập.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi,
đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV,
chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả
lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại
kiến thức.
+ Sau thời gian thảo luận, GV mời đại diện
từng nhóm lên thực hiện bài giải của nhóm
⃗⃗ ;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑖⃗; 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑖⃗ + 3𝑗⃗; 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑗⃗ + 5𝑘
b) 𝑂𝐶
mình.
⃗⃗ ) =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
+ HS dưới lớp quan sát, thực hiện bài làm vào Có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵
𝑂𝐴 = (2𝑖⃗ + 3𝑗⃗) − (2𝑗⃗ + 5𝑘
vở cá nhân.
⃗⃗
2𝑖⃗ + 𝑗⃗ − 5𝑘
+ GV quan sát, nhận xét bài làm của HS và rút
ra kinh nghiệm làm bài cho HS.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát,
nhận xét quá trình hoạt động của các HS, cho
HS nhắc lại hệ trục tọa độ trong không gian.
● Zalo chia sẻ full bộ khbd Toán 12 -Duong Hung word xinh 0774860155

▶Hoạt động 2: Tọa độ của điểm và vectơ
a) Mục tiêu: Nhận biết được tọa độ của một vectơ đối với hệ trục tọa độ.
Vận dụng được tọa độ của vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện HĐKP2, 3; Thực hành 2, 3; Vận dụng 2 và các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nhận
biết được tọa độ của vectơ đối với trục tọa độ.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2.
Tọa
độ
của
điểm và vectơ
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
HĐKP2:
GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑖⃗ cùng hướng, OA = 3 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 3𝑖⃗.
thực hiện HĐKP2.
'
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Tương tự, ta có: 𝑂𝐶 = 5𝑗⃗; 𝑂𝑂 = 2𝑘.
Gợi ý: + GV yêu cầu HS nhắc lại về quy tắc
hình hộp đã học trong bài “Vectơ trong không Vì OABC.O'A'B'C' là hình hộp chữ nhật nên theo
quy tắc hình hộp, ta có:
gian”.
⃗⃗
Từ đó áp dụng để biểu diễn
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 ' = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + 𝑂𝐶
𝑂𝑂' = 3𝑖⃗ + 5𝑗⃗ + 2𝑘
- GV mời 1HS lên bảng trình bày bài.
Toạ độ của điểm:
- GV nhận xét bài và đưa ra kết luận.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho điểm 𝑀. Nếu 𝑂𝑀
- Từ kết luận trên, GV đặt câu hỏi: “Tọa độ
⃗⃗ thì ta gọi bộ ba số (𝑥; 𝑦; 𝑧) là tọ độ
𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘
của một điểm trong không gian là gì?”, rút ra
của điểm 𝑀 đối với hệ trục toạ độ 𝑂𝑥𝑦𝑧 và viết
định nghĩa về tọa độ của điểm trong không
𝑀 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) hoặc 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧); 𝑥 là hoành độ, 𝑦 là
gian.
tung độ, 𝑧 là cao độ của điểm 𝑀.

HS thực hiện Ví dụ 2 và ghi bài
Giáo viên: ………………………….

3

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

- GV cho HS đọc và tìm hiểu Ví dụ 2.
- GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày bài
giải.
- HS dưới lớp nhận xét.

⃗⃗ , suy ra 𝐴(4; 0; 0);
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑖⃗ + 0𝑗⃗ + 0𝑘
Ta có: 𝑂𝐴
⃗⃗ , suy ra 𝐵(4; 6; 0)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑖⃗ + 6𝑗⃗ + 0𝑘
𝑂𝐵
𝑂𝐴 + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 ' = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + 𝑂𝐶
𝑂𝑂'
⃗⃗ , suy ra 𝐵 ' (4; 6; 3)
= 4𝑖⃗ + 6𝑗⃗ + 3𝑘
- GV yêu cầu HS hoàn thành Thực hành 2:

HS thực hiện thực hành 2 và ghi bài.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑖⃗ cùng hướng và OB = 5 nên 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 5𝑖⃗.
Vì 𝑂𝐵
⃗⃗ .
Tương tự, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐷 = 5𝑗⃗; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴' = 5𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐷 = 5𝑖⃗ + 5𝑗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Theo quy tắc hình hộp, ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐶 ' = 𝑂𝐵
𝑂𝐷 +
'
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 5𝑖⃗ + 5𝑗⃗ + 5𝑘.
Do đó B(5; 0; 0), C(5; 5; 0), C' (5; 5; 5).
Tìm hiểu tọa độ của vectơ
- GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi
thực hiện HĐKP3.
- GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày bài
giải.
- GV nhận xét và kết luận: - GV đặt câu hỏi
“Tọa độ của một vectơ trong không gian được
định nghĩa là gì?” Từ đó HS rút ra kết luận về
định nghĩa của vectơ.
- GV đặt câu hỏi mở rộng, rút ra nhận xét.

HĐKP3.
⃗⃗ .
Ta có 𝐴(𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝑎1 𝑖⃗ + 𝑎2 𝑗⃗ + 𝑎3 𝑘
⃗⃗
Mà ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝑎⃗ nên 𝑎⃗ = 𝑎1 𝑖⃗ + 𝑎2 𝑗⃗ + 𝑎3 𝑘
Toạ độ của vectơ
Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho vectơ 𝑎⃗. Nếu 𝑎⃗ =
⃗⃗ thì ta gọi bộ ba số (𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ) là
𝑎1 𝑖⃗ + 𝑎2 𝑗⃗ + 𝑎3 𝑘
tọ độ của vectơ 𝑎⃗ đối với hệ toạ độ 𝑂𝑥𝑦𝑧 và viết
𝑎⃗ = (𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ) hoặc 𝑎⃗(𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ); 𝑎1 là hoành
độ, 𝑎2 là tung độ, 𝑎3 là cao độ của 𝑎⃗.
HS thực hiện Ví dụ 3 và ghi bài.

GV yêu cầu HS thảo luận nhóm, tìm hiểu Ví
dụ 3.

Giáo viên: ………………………….

4

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

- GV chỉ định 3 HS lên bảng trình bày bài
giải.
- HS dưới lớp nhận xét.

- GV cho HS hoàn thành yêu cầu của Thực
hành 3.
- GV chỉ định 2 HS lên bảng trình bày bài
giải.
- HS ở dưới nhận xét, GV chốt đáp án.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ta cần biểu diễn 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Để tìm tọa độ của vectơ 𝐴𝐵
⃗⃗ .
theo ba vectơ 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng hướng với 𝑖⃗ và |𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝐴𝐵 = 8 =
Do 𝐴𝐵
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 8𝑖⃗ hay 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 8𝑖⃗ + 0𝑗⃗ + 0𝑘
8|𝑖⃗| nên 𝐴𝐵
⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Tương tự, ta cũng có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = 0𝑖⃗ + 6𝑗⃗ + 0𝑘
𝐴𝐴' =
⃗⃗ .
0𝑖⃗ + 0𝑗⃗ + 4𝑘
Trong hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷, ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 +
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = 8𝑖⃗ + 6𝑗⃗ + 0𝑘.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗' =
Trong hình bình hành 𝐴𝐴' 𝐶 ' 𝐶, ta có: 𝐴𝐶
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
𝐴𝐴' = 8𝑖⃗ + 6𝑗⃗ + 4𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (8; 0; 0); 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (8; 6; 0); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Suy ra 𝐴𝐵
𝐴𝐶 ' =
(8; 6; 4).
1
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗' + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗' + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 2 (𝐴𝐶
𝐴𝐷' ) = 2 (𝐴𝐶
𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴' )
1
⃗⃗ + 6𝑗⃗ + 4𝑘
⃗⃗ ) = 4𝑖⃗ + 6𝑗⃗ + 4𝑘
⃗⃗
= (8𝑖⃗ + 6𝑗⃗ + 4𝑘
2
nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = (4; 6; 4).
HS thực hiện thực hành 3 và ghi bài.

Ba vectơ đơn vị trên ba trục tọa độ lần lượt là
⃗⃗ với độ dài của 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗ lần lượt bằng
𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
1
1
1
𝐴𝐵, 2 𝐴𝐷, 3 𝐴𝑆.
2
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑖⃗; 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑗⃗; 𝐴𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑘
b) Ta có: 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 0; 0), 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0; 2; 0), 𝐴𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
Do đó 𝐴𝐵
(0; 0; 3).
Theo quy tắc hình bình hành, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 +
Giáo viên: ………………………….

5

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = 2𝑖⃗ + 2𝑗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 (𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
Vì M là trung điếm của SC nên 𝐴𝑀
2
1
3
⃗⃗ ) = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = (2𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 3𝑘
𝐴𝑆
2

- GV triển khai Vận dụng 2, cho HS thảo luận
nhóm hoàn thành yêu cầu sau:

3

2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1; ).
Do đó 𝐴𝑀
2
Vận dụng 2
Vì 𝑁 ∈ (𝑂𝑥𝑦) nên 𝑁(𝑥; 𝑦; 0).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
𝑁𝐵
𝑥
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vào tập. Xét △ NBO vuông tại B, ta có: tan⁡ 32∘ = 𝑂𝐵 = 𝑦
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, và x 2 + y 2 = ON2 (1).
đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.
Xét △ OMC có ON = MC = OM ⋅ sin⁡ 65∘ = 14 ⋅
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, sin⁡ 65∘ ≈ 12,67 (2).
𝑥
chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
= tan⁡ 32∘
𝑦
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Từ (1) và (2), ta có hệ: {
⇔
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 12, 672
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả 𝑥 ≈ 0,62𝑦
{
lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại (0,62𝑦)2 + 𝑦 2 = 12, 672
𝑥 ≈ 6,68
kiến thức.
⇔{
+ Sau thời gian thảo luận, GV mời đại diện
𝑦 ≈ 10,77
từng nhóm lên thực hiện bài giải của nhóm Suy ra 𝑁(6,68; 10,77; 0). Do đó 𝑂𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6,68𝑖⃗ +
mình.
10,77𝑗⃗
+ HS dưới lớp quan sát, thực hiện bài làm vào Xét △ OMC vuông tại C, ta có: 𝑂𝐶 = 𝑂𝑀 ⋅
vở cá nhân.
cos⁡ 65∘ = 14 ⋅ cos⁡ 65∘ ≈ 5,92.
+ GV quan sát, nhận xét bài làm của HS và rút Suy ra 𝐶(0; 0; 5,92). Do đó 𝑂𝐶
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 5,92𝑘
ra kinh nghiệm làm bài cho HS.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát, Ta có 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁 + 𝑂𝐶 = 6,68𝑖⃗ + 10,77𝑗⃗ +
⃗⃗ .
nhận xét quá trình hoạt động của các HS, cho 5,92𝑘
Vậy M (6,68; 10,77; 5,92)
HS nhắc lại Tọa độ của điểm và vectơ
▶Hoạt động 3: Luyện tập
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã họcthông qua một số bài tập.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 1; 2; 3; 4 (SGK – tr.56-57).
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lờicủa HS về vận dụng định nghĩa tọa độ điểm và vectơ.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập
1, 2, 3, 4 (SGK – tr.56-57).
HS thực hiện bài 1 và ghi bài.
Bài 1.
GV cho HS hoạt động cá nhân trong 5 phút, Bài 1:
sau đó gọi HS lên bảng làm bài, các HS khác a) 𝑎⃗ = (5; 7; −3), 𝑏⃗⃗ = (2; 0; 4).
theo dõi bài làm, nhận xét và góp ý; GV tổng b) 𝑀 = (4; −1; 3), 𝑁(8; −5; 0).
kết.
Bài 2
GV cho HS hoạt động cá nhân trong 5 phút,
sau đó gọi HS lên bảng làm bài, các HS khác
theo dõi bài làm, nhận xét và góp ý; GV tổng
kết.

Bài 3.
GV cho HS hoạt động theo bàn trong 7 phút,
sau đó gọi HS lên bảng làm bài, các HS khác
theo dõi bài làm, nhận xét và góp ý; GV tổng
kết.
Giáo viên: ………………………….

HS thực hiện bài 2 và ghi bài.
Bài 2:
⃗⃗ , 𝑏⃗⃗ = 4𝑖⃗ + 𝑘
⃗⃗
a) 𝑎⃗ = −2𝑖⃗ + 5𝑗⃗ − 7𝑘
⃗⃗ , 𝐵(0; 5; 0) ⇒
b) 𝐴(7; −2; 1) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 7𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 5𝑗⃗.
𝑂𝐵
HS thực hiện bài 3 và ghi bài
a)

6

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

Các vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, O lần lượt là
⃗⃗ với độ dài của 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗ lần lượt bẩng
𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
1
1
1
𝐵𝐶, 2 𝐵𝐴, 2 𝑆𝐴.
3
b) Vì B trùng với gốc tọa độ nên B(0; 0; 0).
Vì 𝑗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 cùng hướng và BA = 2 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 = 2𝑗⃗.
Suy ra A(0; 2; 0).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng hướng và BC = 3 nên 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑖⃗.
Vì 𝑖⃗ và 𝐵𝐶
Suy ra 𝐶(3; 0; 0).
Gọi E là hình chiếu của S lên trục Oz.
Ta có BE = AS = 2.
⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ .
Vì 𝑘
𝐵𝐸 cùng hướng và BE = 2 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐸 = 2𝑘
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
⃗⃗ . Suy ra S(0; 2; 2).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑗⃗ + 2𝑘
𝐵𝑆

Bài 4
GV cho HS hoạt động cá nhân trong 8 phút,
sau đó gọi HS lên bảng làm bài, các HS khác
theo dõi bài làm, nhận xét và góp ý; GV tổng HS thực hiện bài 4 và ghi bài
Bài 4:
kết.
+ Tuỳ tình hình lớp học, GV có thể lựa chọn
thêm một số bài tập trong SBT hoặc bài tập
nâng cao để giao cho những HS đã hoàn thành
bài tập trong SGK hoặc HS khá giỏi (Dạy học
phân hoá trong tiết chữa bài tập).

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là
⃗⃗ = 𝑂𝐻
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑗⃗ = 𝑂𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với E là điếm thuộc tia Oy
𝑖⃗ = 𝑂𝐶
sao cho OE = 1 và H là điếm thuộc tia Oz sao cho
OH = 1.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và Vì △ ABC đều và AO ⊥ BC nên O là trung điếm của
chú ý lắng nghe, thảo luận, hoàn thành các bài BC.
tập GV yêu cầu.
Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và 𝑂𝐴 = √3.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: Mỗi BT GV mời
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑖⃗ ngược hướng và OB = 1 nên 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑖⃗.
vì 𝑂𝐵
đại diện các nhóm trình bày. Các HS khác chú
ý chữa bài, theo dõi nhận xét bài các nhóm trên Suy ra B(−1; 0; 0).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑖⃗ cùng hướng và 𝑂𝐶 = 1 nên 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖⃗. Suy
vì 𝑂𝐶
bảng.
Giáo viên: ………………………….

7

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các
hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
- GV chú ý cho HS các lỗi sai hay mắc phải khi
thực hiện giải bài tập.

ra 𝐶(1; 0; 0).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑗⃗ cùng hướng và 𝑂𝐴 = √3 nên 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √3𝑗⃗.
vì 𝑂𝐴
Suy ra 𝐴(0; √3; 0).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
Theo quy tắc hình bình hành, ta có 𝑂𝑆
⃗⃗ . Suy ra 𝑆(0; √3; 1)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 = √3𝑗⃗ + 𝑘

● Zalo chia sẻ full bộ khbd Toán 12 -Duong Hung word xinh 0774860155

▶Hoạt động 4: Vận dụng
a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng thực tế để nắm vững kiến thức.
- HS thấy sự gần gũi toán học trong cuộc sống, vận dụng kiến thức vào thực tế, rèn luyện tư duy toán
học qua việc giải quyết vấn đề toán học
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức để trao đổi và thảo luận hoàn thành các bài
toán theo yêu cầu của GV.
c) Sản phẩm: HS hoàn thành các bài tập được giao.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
SẢN PHẨM DỰ KIẾN
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
HS thực hiện bài 5 và ghi bài.
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài
tập 5; 6; 7 (SGK – tr.57)
Bài 5:
Vì 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thoi cạnh bằng 5, 𝑂 là giao điểm
của 𝐴𝐶 và 𝐵𝐷 nên 𝑂 là trung điếm của 𝐴𝐶 và 𝐵𝐷.
Bài 5
Xét △ OAB vuông tại O, có 𝑂𝐵 = √𝐴𝐵 2 − 𝑂𝐴2 =
GV cho HS hoạt động cá nhân trong 8 phút,
√25 − 16 = 3.
sau đó gọi HS lên bảng làm bài, các HS khác
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
theo dõi bài làm, nhận xét và góp ý; GV tổng vì 𝑂𝐵 và 𝑖⃗ cùng hướng và 𝑂𝐵 = 3 nên 𝑂𝐵 = 3𝑖⃗.
vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑗⃗ cùng hướng và OA = 4 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = −4𝑗⃗.
kết.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = 3𝑖⃗ + 4𝑗⃗. Do đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 =
(3; 4; 0).
Có 𝐴𝐶 = 20 A = 8 mà ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 và 𝑗⃗ cùng hướng nên
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = 8𝑗⃗. Do đó 𝐴𝐶 = (0; 8; 0).
⃗⃗ cùng hướng và 𝑂𝑆 = 4 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ .
Có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑆 và 𝑘
𝑂𝑆 = 4𝑘
⃗⃗ . Do đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐵 = 𝑂𝐵
𝑂𝑆 = 3𝑖⃗ − 4𝑘
𝑆𝐵 =
(3; 0; −4).
⃗⃗ ) =
Lại có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑆 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑆 = (3𝑖⃗ + 4𝑗⃗) − (3𝑖⃗ − 4𝑘
⃗⃗ . Do đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4𝑗⃗ + 4𝑘
𝐴𝑆 = (0; 4; 4).
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
Vì M là trung điếm của SC nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 2 (𝐴𝑆
1
⃗⃗ + 8𝑗⃗) = 6𝑗⃗ + 2𝑘
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 ) = 2 (4𝑗⃗ + 4𝑘
Bài 6
Do đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = (0; 6; 2).
GV cho HS hoạt động cá nhân trong 7 phút, HS thực hiện bài 6 và ghi bài.
sau đó gọi HS lên bảng làm bài, các HS khác Bài 6:
theo dõi bài làm, nhận xét và góp ý; GV tổng
⃗⃗ cùng hướng và OA = 10 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑘
𝑂𝐴 =
kết.
⃗⃗
10𝑘.
Xét △ OBH vuông tại H, có BH = OB ⋅ sin⁡ 30∘ =
7,5 m.
OH = OB ⋅ cos⁡ 30∘ =

15√3
2

m.

Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 và 𝑗⃗ cùng hướng và 𝑂𝐻 =
15√3

15√3
2

nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 =

𝑗⃗.
Có BH = OK = 7,5.
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐾 và 𝑖⃗ cùng hướng và 𝑂𝐾 = 7,5 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐾 =
2

Giáo viên: ………………………….

8

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

7,5𝑖⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐾
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 7,5𝑖⃗ +
Vì 𝐴𝐵
15√3
⃗⃗
𝑗⃗ − 10𝑘
2

15√3

Bài 7
GV cho HS hoạt động cá nhân trong 6 phút,
sau đó gọi HS lên bảng làm bài, các HS khác
theo dõi bài làm, nhận xét và góp ý; GV tổng
kết.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát
và chú ý lắng nghe, thảo luận, hoàn thành các
bài tập GV yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: Mỗi BT GV mời
đại diện các nhóm trình bày. Các HS khác chú
ý chữa bài, theo dõi nhận xét bài các nhóm trên
bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các
hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
- GV chú ý cho HS các lỗi sai hay mắc phải khi
thực hiện giải bài tập.

Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (7,5; 2 ; −10).
HS thực hiện bài 7 và ghi bài.
Bài 7:
Giả sử M(x; y; z).
H ∈ (Oxy) ⇒ H(x; y; 0).
Vì OBHA là hình bình hành nên BH = OA.
Vì OCMH là hình bình hành nên OC = MH.
Xét ΔMHO vuông tại H, có OH = OM ⋅ cos⁡ 48∘ =
50 ⋅ cos⁡ 48∘ ≈ 33,46.
MH = OM ⋅ sin⁡ 48∘ = 50 ⋅ sin⁡ 48∘ ≈ 37,16.
Xét △ OAH vuông tại A, có BH = OA = OH ⋅
cos⁡ 64∘ = 33,46 ⋅ cos⁡ 64∘ ≈ 14,67.
Xét △ OBH vuông tại B, có 𝑂𝐵 = √𝑂𝐻 2 − 𝐵𝐻 2 =
√33, 462 − 14, 672 ≈ 30,07.
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑖⃗ cùng hướng và OA = 14,67 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 =
14,67𝑖⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑗⃗ cùng hướng và OB = 30,07 nên 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
Vì 𝑂𝐵
30,07𝑗⃗.
⃗⃗ cùng hướng và 𝑂𝐶 = 37,16 nên 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
Vì 𝑂𝐶
⃗⃗ .
37,16𝑘
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 + 𝑂𝐶
𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
⃗⃗
= 14,67𝑖⃗ + 30,07𝑗⃗ + 27,16𝑘
Vậy M (14,67; 30,07; 27,16).

HD GIẢI BÀI TẬP SGK
Bài 1:
a) 𝑎⃗ = (5; 7; −3), 𝑏⃗⃗ = (2; 0; 4).
b) 𝑀 = (4; −1; 3), 𝑁(8; −5; 0).
Bài 2:
⃗⃗ , 𝑏⃗⃗ = 4𝑖⃗ + 𝑘
⃗⃗
a) 𝑎⃗ = −2𝑖⃗ + 5𝑗⃗ − 7𝑘
⃗⃗ , 𝐵(0; 5; 0) ⇒ 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 5𝑗⃗.
b) 𝐴(7; −2; 1) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 7𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘
Bài 3:
a)

Giáo viên: ………………………….

9

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

⃗⃗ với độ dài của 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗ lần lượt bẩng
Các vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, O lần lượt là 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
1
1
1
𝐵𝐶, 2 𝐵𝐴, 2 𝑆𝐴.
3
b) Vì B trùng với gốc tọa độ nên B(0; 0; 0).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng hướng và BA = 2 nên 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑗⃗. Suy ra A(0; 2; 0).
Vì 𝑗⃗ và 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng hướng và BC = 3 nên 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑖⃗. Suy ra 𝐶(3; 0; 0).
Vì 𝑖⃗ và 𝐵𝐶
Gọi E là hình chiếu của S lên trục Oz.
Ta có BE = AS = 2.
⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ .
Vì 𝑘
𝐵𝐸 cùng hướng và BE = 2 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐸 = 2𝑘
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
⃗⃗ . Suy ra S(0; 2; 2).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑗⃗ + 2𝑘
𝐵𝑆
Bài 4:

⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là 𝑖⃗ = 𝑂𝐶
𝑂𝐸 , 𝑘
𝑂𝐻 với E là điếm
thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điếm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.
Vì △ ABC đều và AO ⊥ BC nên O là trung điếm của BC.
Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và 𝑂𝐴 = √3.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑖⃗ ngược hướng và OB = 1 nên 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑖⃗. Suy ra B(−1; 0; 0).
vì 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑖⃗ cùng hướng và 𝑂𝐶 = 1 nên 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖⃗. Suy ra 𝐶(1; 0; 0).
vì 𝑂𝐶
vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑗⃗ cùng hướng và 𝑂𝐴 = √3 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = √3𝑗⃗. Suy ra 𝐴(0; √3; 0).
⃗⃗ . Suy ra 𝑆(0; √3; 1).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Theo quy tắc hình bình hành, ta có 𝑂𝑆 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 = √3𝑗⃗ + 𝑘
Bài 5:
Vi 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thoi cạnh bằng 5, 𝑂 là giao điểm của 𝐴𝐶 và 𝐵𝐷 nên 𝑂 là trung điếm của 𝐴𝐶 và 𝐵𝐷.
Xét △ OAB vuông tại O, có 𝑂𝐵 = √𝐴𝐵 2 − 𝑂𝐴2 = √25 − 16 = 3.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑖⃗ cùng hướng và 𝑂𝐵 = 3 nên 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑖⃗.
vì 𝑂𝐵
vi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑗⃗ cùng hướng và OA = 4 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = −4𝑗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = 3𝑖⃗ + 4𝑗⃗. Do đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (3; 4; 0).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Có 𝐴𝐶 = 20 A = 8 mà 𝐴𝐶 và 𝑗⃗ cùng hướng nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = 8𝑗⃗. Do đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (0; 8; 0).
⃗⃗ cùng hướng và 𝑂𝑆 = 4 nên 𝑂𝑆
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑘
Có 𝑂𝑆
⃗⃗ . Do đó 𝑆𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑖⃗ − 4𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3; 0; −4).
Có 𝑆𝐵
⃗⃗ ) = 4𝑗⃗ + 4𝑘
⃗⃗ . Do đó 𝐴𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3𝑖⃗ + 4𝑗⃗) − (3𝑖⃗ − 4𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0; 4; 4).
Lại có 𝐴𝑆
1
1
⃗⃗ + 8𝑗⃗) = 6𝑗⃗ + 2𝑘
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Vì M là trung điếm của SC nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 2 (𝐴𝑆
𝐴𝐶 ) = 2 (4𝑗⃗ + 4𝑘
Do đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = (0; 6; 2).
Bài 6:
⃗⃗ cùng hướng và OA = 10 nên 𝑂𝐴
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 10𝑘
Vì 𝑂𝐴
Xét △ OBH vuông tại H, có BH = OB ⋅ sin⁡ 30∘ = 7,5 m.
OH = OB ⋅ cos⁡ 30∘ =

15√3
2

m.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑗⃗ cùng hướng và 𝑂𝐻 =
Vì 𝑂𝐻
Có BH = OK = 7,5.
Giáo viên: ………………………….

15√3
2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
nên 𝑂𝐻

10

15√3
2

𝑗⃗.

Trường THPT ………………………

Kế hoạch bài dạy Toán ⓬- CTST-TẬP 1

Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐾 và 𝑖⃗ cùng hướng và 𝑂𝐾 = 7,5 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐾 = 7,5𝑖⃗.
15√3
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵
𝑂𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐾 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 7,5𝑖⃗ +
𝑗⃗ − 10𝑘
2

15√3

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (7,5;
Vậy 𝐴𝐵
; −10).
2
Bài 7:
Giả sử M(x; y; z).
H ∈ (Oxy) ⇒ H(x; y; 0).
Vì OBHA là hình bình hành nên BH = OA.
Vì OCMH là hình bình hành nên OC = MH.
Xét ΔMHO vuông tại H, có OH = OM ⋅ cos⁡ 48∘ = 50 ⋅ cos⁡ 48∘ ≈ 33,46.
MH = OM ⋅ sin⁡ 48∘ = 50 ⋅ sin⁡ 48∘ ≈ 37,16.
Xét △ OAH vuông tại A, có BH = OA = OH ⋅ cos⁡ 64∘ = 33,46 ⋅ cos⁡ 64∘ ≈ 14,67.
Xét △ OBH vuông tại B, có 𝑂𝐵 = √𝑂𝐻 2 − 𝐵𝐻 2 = √33, 462 − 14, 672 ≈ 30,07.
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑖⃗ cùng hướng và OA = 14,67 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 14,67𝑖⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 30,07𝑗⃗.
Vì 𝑂𝐵 và 𝑗⃗ cùng hướng và OB = 30,07 nên 𝑂𝐵
⃗⃗ cùng hướng và 𝑂𝐶 = 37,16 nên 𝑂𝐶
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 37,16𝑘
Vì 𝑂𝐶
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 14,67𝑖⃗ + 30,07𝑗⃗ + 27,16𝑘
𝑂𝑀
Vậy M(14,67; 30,07; 27,16).
……………., ngày tháng năm 2024
Giáo viên soạn

………………………………………………..
GÓP Ý, RÚT KINH NGHIỆM
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
Duyệt của tổ chuyên môn

Duyệt của BGH

.................................................................................

Giáo viên: ………………………….

11

..................................................................................