giai pt
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Tống Văn Ký
Ngày gửi: 18h:42' 15-05-2008
Dung lượng: Bytes
Số lượt tải: 5
Nguồn:
Người gửi: Tống Văn Ký
Ngày gửi: 18h:42' 15-05-2008
Dung lượng: Bytes
Số lượt tải: 5
Số lượt thích:
0 người
Giải ph ơng trình
Khi sử dụng đạo hàm trong giải ph ơng trình, ph ơng pháp chung là:
Ta th ờng chọn hàm số thích hợp. Giả sử hàm số xác định trên D, kiểm tra tính liên tục, khả vi của trên D.
Khảo sát hàm số để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực trị bằng công cụ đạo hàm.
Dựa vào khảo sát hàm để kết luận số nghiệm.
Chỉ ra sự tồn tại các mà là nghiệm của ph ơng trình
Kết luận nghiệm của ph ơng trình .
Đồng thời sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì ph ơng trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Chứng minh
Xét tr ờng hợp là hàm số đồng biến.
Giả sử ph ơng trình có hai nghiệm
Nên
Do là hàm số là hàm số đồng biến nên từ mâu thuẫn với . Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy ph ơng trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Đối với tr ờng hợp là hàm nghịch biến ta chứng minh t ơng tự.
Tính chất 2: Nếu là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b)
.
Chứng minh
Xét tr ờng hợp là hàm số đồng biến.
Nếu (hiển nhiên).
Ta đi chứng minh nếu .
Giả sử ,không mất tính tổng quát ta giả sử .
Do là hàm số là hàm số đồng biến nên mâu thuẫn với giả thiết. Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy
Đối với tr ờng hợp là hàm nghịch biến ta chứng minh t ơng tự.
Tính chất 3: Nếu là hàm số tăng còn là hàm số giảm trên thì ph ơng trình có nhiều nhất là một nghiệm.
Chứng minh
Ta có: Xét hàm số trên. Khi đó là hàm số đồng biến trên .
Theo tính chất 1 thì ph ơng trình có nhiều nhất là một nghiệm.
Đpcm.
Ví dụ 1: Giải ph ơng trình sau:
( TH & TT )
Giải:
Điều kiện:
Đặt
Ta có
Xét hàm số trên . Có
Nên hàm số là hàm số đồng biến trên
Khi đó
Đặt
Mà
là hàm đồng biến và có đổi dấu vì :
có nghiệm duy nhất
Ta có bảng biến thiên
-1/2 0 2
- 0 +
Từ bảng trên nếu có nghiệm thì nhiều nhất là hai nghiệm
Mặt khác, .
Do đó ph ơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 2: Giải ph ơng trình
.
Giải:
Điều kiện:
Giải (6.5):
Nếu (6.5) luôn đúng.
Nếu
Chứng tỏ (6.5) đúng với .
Giải (6.6):
Nếu (6.6) luôn đúng
Nếu
. Kết hợp với
Chứng tỏ (6.6) đúng với .
Vậy: .
Viết lại ph ơng trình d ới dạng
Xét hàm số
Ta có
Mặt khác
Vậy hàm số luôn đồng biến trên .
Khi đó (vô nghiệm).
Do đó ph ơng trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải ph ơng trình
.
Giải:
Điều kiện:
Xét hàm số trên
Ta có :
Hàm số đồng biến trên
Có
Ph ơng trình trên có nghiệm duy nhất là .
Ví dụ 4: Giải
Khi sử dụng đạo hàm trong giải ph ơng trình, ph ơng pháp chung là:
Ta th ờng chọn hàm số thích hợp. Giả sử hàm số xác định trên D, kiểm tra tính liên tục, khả vi của trên D.
Khảo sát hàm số để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực trị bằng công cụ đạo hàm.
Dựa vào khảo sát hàm để kết luận số nghiệm.
Chỉ ra sự tồn tại các mà là nghiệm của ph ơng trình
Kết luận nghiệm của ph ơng trình .
Đồng thời sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì ph ơng trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Chứng minh
Xét tr ờng hợp là hàm số đồng biến.
Giả sử ph ơng trình có hai nghiệm
Nên
Do là hàm số là hàm số đồng biến nên từ mâu thuẫn với . Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy ph ơng trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Đối với tr ờng hợp là hàm nghịch biến ta chứng minh t ơng tự.
Tính chất 2: Nếu là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b)
.
Chứng minh
Xét tr ờng hợp là hàm số đồng biến.
Nếu (hiển nhiên).
Ta đi chứng minh nếu .
Giả sử ,không mất tính tổng quát ta giả sử .
Do là hàm số là hàm số đồng biến nên mâu thuẫn với giả thiết. Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy
Đối với tr ờng hợp là hàm nghịch biến ta chứng minh t ơng tự.
Tính chất 3: Nếu là hàm số tăng còn là hàm số giảm trên thì ph ơng trình có nhiều nhất là một nghiệm.
Chứng minh
Ta có: Xét hàm số trên. Khi đó là hàm số đồng biến trên .
Theo tính chất 1 thì ph ơng trình có nhiều nhất là một nghiệm.
Đpcm.
Ví dụ 1: Giải ph ơng trình sau:
( TH & TT )
Giải:
Điều kiện:
Đặt
Ta có
Xét hàm số trên . Có
Nên hàm số là hàm số đồng biến trên
Khi đó
Đặt
Mà
là hàm đồng biến và có đổi dấu vì :
có nghiệm duy nhất
Ta có bảng biến thiên
-1/2 0 2
- 0 +
Từ bảng trên nếu có nghiệm thì nhiều nhất là hai nghiệm
Mặt khác, .
Do đó ph ơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 2: Giải ph ơng trình
.
Giải:
Điều kiện:
Giải (6.5):
Nếu (6.5) luôn đúng.
Nếu
Chứng tỏ (6.5) đúng với .
Giải (6.6):
Nếu (6.6) luôn đúng
Nếu
. Kết hợp với
Chứng tỏ (6.6) đúng với .
Vậy: .
Viết lại ph ơng trình d ới dạng
Xét hàm số
Ta có
Mặt khác
Vậy hàm số luôn đồng biến trên .
Khi đó (vô nghiệm).
Do đó ph ơng trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải ph ơng trình
.
Giải:
Điều kiện:
Xét hàm số trên
Ta có :
Hàm số đồng biến trên
Có
Ph ơng trình trên có nghiệm duy nhất là .
Ví dụ 4: Giải
Các ý kiến mới nhất