CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§ 1. Nguyên hàm
Bài tập 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?
a)
và
; b)
và
; c)
và
.

Có bao nhiêu cách để giải bài tập 1?
Có hai cách :
- Tính nguyên hàm.
- Đạo hàm.
Giải:
a)
và
là nguyên hàm của nhau.
b)
là một nguyên hàm của
.
c)
là một nguyên hàm của
.
Bài tập 2 ( trang 100, 101 SGK Giải tích 12): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
; b)
;
c)
d)

e)
; h)

g)
.

Giải :
a, Đưa về hàm số chứa các lũy thừa của biến x,
F(x) =
.
c,
.
hoặc
.
d, Biến đổi thành tổng:


F(x) =
.
b, Biến đổi thành tổng các tích phân:


e, Biến đổi
;



 g, Biến đổi vi phân, F(x) =
.

h,
.

hướng dẫn câu h:



Bài tập 3 ( trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a)
; b)
;
c)
d)
.

Giải:
a, Đặt
. I =
. b, Đặt
. I =
.
c, Đặt
. I =
. d, Đặt
. I =
.
Bài tập 4 (trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a)
b)
c)
d)


Giải
a,Áp dụng nguyên hàm từng phần.
Đặt



c, Áp dụng nguyên hàm từng phần


b,Áp dụng nguyên hàm từng phần hai lần




d, Áp dụng tích phân từng phần




§ 2. phân
Bài tập 1 (Bài tập 1, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau
a)
;
b)
;
c)
;

d)

e)

g)
.

Giải:
a)


.

b)






.

c)
; d)
; e)
;
g) 0.

Bài tập 2 (Bài tập 2, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau
a)
;
b)
;
c)
;
d)


Giải:
a)






.
c)

b)




.

d) Ta có


Bài tập 3 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a)
; b)
; c)
; d)
.
Giải:
a) Đặt t = 1 + x, A =
; b) Đặt x = sint, B =

c) Đặt t = 1 + xex, C = ln(1 + e) d) Đặt x = asint, D =
.
Bài tập 4 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính:
a)
; b)
; c)
; d)

Giải:
a) Đặt
, A = 2 b) Đặt
, B =

c) Đặt
, C = 2ln2 – 1 d) Đặt
,D = –1.(từng phần 2 lần)

§ 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
Bài tập 1. (trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a)
; b)
; c)
.
Giải:
a) Hoành độ giao điểm: x = –1, x = 2

.


c) Hoành độ giao điểm: x = 3, x = 6


= 9.

b) Hoành độ giao điểm:



=

=
.


Bài tập 2: (Trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
, tiếp tuyến với đường này tại
và trục Oy.
Giải :
Viết phương trình tiếp