TRƯỜNG PTTH CHUYÊN
NGUYỄN BỈNH KHIÊM

CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN
KIẾN THỨC CƠ BẢN :
I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN :
Hình thành cho các em cách xây dựng phương trình đường tròn , nếu biết trong mặt phẳng Oxy đường tròn có tâm I ( a , b ) và bán kính R .
Gợi ý :
(*) ( tính khoảng cách IM , từ đẳng thức (*) ta được phương trình của đường tròn )

1) Định lí 1 : Trong mặt phẳng Oxy .Phương trình của đường tròn tâm I ( a , b )
bán kính R có dạng :

( 1 )

Gợi ý : Khai triển phương trình đường tròn dạng ( 1 ) sau đó rút gọn , các hằng số gom lại đặt bởi số c
Đặt
.Do đó để tồn tại phương trình đường tròn thì điều kiện
,từ đó ta có định lí 2 sau đây :

2) Định lí 2 : Trong mặt phẳng Oxy , phương trình có dạng :

( 2) với

Phương trình ( 1 ) là phương trình đường tròn tâm I ( a ; b ) , bán kính



Chú ý : Trong phương trình dạng ( 2 ) hệ số của x2 và y2 bằng nhau và bằng 1
Như vậy nếu hệ số của x2 và y2 khác nhau thì phương trình dạng ( 2 ) không phải là phương trình của đường tròn
Nếu hệ số của x2 và y2 bằng nhau nhưng khác 1 ,thì ta phải chia hai vế phương trình cho hệ số đó để được hệ số của x2 và y2 cùng bằng 1 ,sau đó xác định điều kiện
thỏa thì phương trình dạng ( 2 ) là phương trình của đường tròn
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1 : TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN :
1) Phương pháp :
Cách 1 : Đưa phương trình đường tròn về dạng :

Suy ra : ° Tâm I ( a ; b )
° Bán kính R
Cách 2 : Đưa phương trình đường tròn về dạng :

° Kiểm tra điều kiện :

Suy ra : ° Tâm I ( a ; b )
° Bán kính


2) Áp dụng :
Ví dụ 1 : Xác định tâm I và tính bán kính R của đường tròn sau :

(1 )

Giải :
Cách 1 :



(2)
Phương trình ( 2 ) là phương tình của đường tròn tâm I ( 4 ; 0 ) ,bán kính R = 4
Cách 2:
Từ phương trình
(1 )
Ta có
( thỏa điều kiện
)
Phương trình ( 1 ) là phương tình của đường tròn có :
Tâm I ( a ; b )

Bán kính
=

Ví dụ 2 : Xác định tâm I và tính bán kính R của đường tròn sau :

( 1 )
Giải :

( chia hai vế cho 3 )
Ta có :

° Tâm I ( a ; b )

° Bán kính
=

Ví dụ 3 : Cho họ đường cong ( Cm ) :

Định m để ( Cm ) là đường tròn và tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi
Giải :


Ta có

Để ( Cm ) là đường tròn thì



Tâm I

Điều kiện :

Vậy tập hợp tâm I lòa đường thẳng x + y + 1 = 0 với




II PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI MỘT ĐƯỜNG TRÒN :
1) Định nghĩa :
Cho đường tròn tâm I bán kính R và một điểm M cố định .Phương tích của điểm M đối với đường tròn ( I , R ) là một số thực bằng
.
Kí hiệu :

Chú ý :
a) *
M nằm ngoài đường tròn
*
M nằm trong đường tròn
*
M nằm trên đường tròn
b) Cho đường tròn ( I , R ) .Từ điểm M cố định dựng cát tuyến thay đổi MAB








Ta có :

c) Cho đường tròn ( I , R ) .Từ điểm M nằm ngoài đường tròn dựng tiếp tuyến MT








Ta có :

2) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Định lí 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) có phương trình :


Thì phương tích của điểm
đối với đường tròn ( C ) là :



III TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN