Bài viết cho chuyên mục Kính gửi: Ban biên tập tòa soạn
" vượt vũ môn " Họ và tên: Cao Xuân Nam
--------------@------------ Giáo viên: Trường THPT Chuyên Hà Giang
Tỉnh: Hà Giang.

Sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc để giải phương trình-hệ phương trình
---------------------------------------

Các bạn hẳn đều biết và dể ràng chứng minh được các các hằng đẳng thức sau:
(a + b )3 - (a3 + b3) = 3ab(a + b) (1).
(a - b )3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b) (2).
(a + b )2 - (a2 + b2) = 2a b (3).
(a - b )2 - (a2 + b2) = -2a b (4).
Sau đây chúng ta sẽ vận dụng các hằng đẳng thức trên vào việc giải phương trình- hệ phương trình:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(2x2 - x - 1)3 = (x2 + 2x - 2)3 + (x2 - 3x + 1)3 . (*)
Lời giải:
(*)

x2 - 3x + 1) + (x2 + 2x - 2
3 -
x2 - 3x + 1)3 + (x2 + 2x - 2)3
= 0

3(x2 - 3x + 1) (x2 + 2x - 2) (2x2 - x - 1) = 0 ( theo hằng đẳng thức (1) )





Vậy PT (*) có các nghiệm là:
và
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(x2 - 4x - 2)3 = (x2 - x + 3)3 - ( 3x + 5)3 . (**)
Lời giải:
(**)

x2 - x + 3) - (3x + 5
3 -
x2 - x + 3)3 - (3x + 5)3
= 0

-3(x2 - x + 3) (3x + 5) (x2 - 4x - 2) = 0 ( theo hằng đẳng thức (2) )





Vậy PT (**) có các nghiệm là:
và
.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:


Lời giải:
Cộng hai PT của hệ vế với vế ta được:
(x + 1)3 + (y - 1)3 = (x + y)3

(x + 1)3 + (y - 1)3 =
x + 1) + (y - 1
3


x + 1) + (y -1
3
-
x + 1)3 + (y - 1
= 0

3(x + 1)(y - 1)(x+ y) = 0 ( theo hằng đẳng thức (1) )
TH 1: x + 1 = 0
x = - 1 thay vào hệ ta được: y3 - 3y2 = 0
y = 0; y =3
TH 2: y - 1 = 0
y = 1 thay vào hệ ta được: x3 + 3x2 = 0
x = 0; x = - 3
TH 3: x + y = 0
x = - y thay vào hệ ta được: (x + 1)3 = 2x3

x+ 1 =
x

x =

y =

Tóm lại: Hệ đã cho có các nghiệm là:
(x; y) = (-1; 0) ; (-1; 3); (0; 1); (-3; 1); (
;
).

Ví dụ 4: Giải phương trình:


Điều kiện cho các căn có nghĩa là: 3x2 + 2x - 1
0 và 2x2 - 3x + 1
0.

Bình phương hai vế của PT ta được:






- 2
( theo hằng đẳng thức (4) )
Suy ra: 3x2 + 2x - 1 = 0
x = - 1; x =

Hoặc 2x2 - 3x + 1 = 0
x = 1; x =

Thử lại ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn PT đã cho. Vậy PT đã cho vô nghiệm.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
27x3 = (2x + 5)3 + (x - 5)3
(2x2 + 4x - 7)3 = (x2 - x - 3)3 - (4 - 5x - x2 )3


Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
a)

b)

----------------------------------------------------