đề thi tuyển vao thpt chuyên toán
Năm học: 2007 – 2008
( Vòng 2 )
Thời gian làm bài: 150 phút.
------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: ( 4 Điểm )
Chứng minh rằng: số
là một nghiệm của phương trình x4 – 16x2 + 32 = 0.
Giải phương trình:

Bài 2: ( 4 Điểm )
Cho x, y, z > 0 và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


Tìm đa thức f(x) và g(x) với các hệ số nguyên sao cho:
.
Bài 3: ( 4 Điểm )
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + xy + y2 = x2y2.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
thì tổng
không thể là số nguyên.
Bài 4: ( 5 Điểm )
Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC ( M khác B ) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD ( N khác D ) sao cho

BD cắt AN và AM thứ tự tại P và Q. Chứng minh 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay đổi.
Đặt SAPQ= S1; SPQMN= S2 chứng minh
không đổi khi M, N thay đổi.
Bài 5: ( 2 Điểm )
Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1, a2 , …., an+2. thoả mãn điều kiện
Chứng minh rằng: Luôn tồn tại hai số ai, aj
sao cho n < ai – aj < 2n.