CHƯƠNG IV. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
Bài 1. TỔNG CÁC GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Tổng các góc trong một tam giác.
Ví dụ 1: Vẽ
( Hình ).

từ đỉnh

vẽ đường thẳng

A

x

1

y

2 3

a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng

C

B
Hình 1

c) Chứng minh rằng
a) Vì

( so le trong).

b) Vì

( so le trong).
B

c) Khi đó
Kết luận:





Tổng ba góc trong một tam giác bằng
Tam giác có ba góc đều là góc nhọn gọi là tam giác nhọn.
Tam giác có một góc tù thì gọi là tam giác tù.
Tam giác có một góc vuông thì gọi là tam giác vuông.
Cụ thể

vuông tại

khi đó cạnh

hai cạnh góc vuông. ( Hình


có
Cụ thể:

B. BÀI TẬP.
Bài 1: Tính số đo

nên

gọi là cạnh huyền, hai cạnh

A

là góc ngoài thì

trong các hình sau:

x

Hình 4

C

640

x

B

C

Hình 3

A

A
740

B

1

B

x

450

gọi là

gọi là góc ngoài của tam giác.

A

720

Hình 2

.

kề bù với góc
có

C

A

C

Hình 5

B

1250

250
Hình 6

C

A

B

A

A

600

310
Hình 7

C

B

x

x
Hình 8

C

B

x

x
Hình 9

C

1

2

Bài 2: Tìm số đo

trong các hình sau:

D
A x

A

A
810

B

630

450
Hình 10

Hình 11

D

1200

600

380

480
Hình 12

C

M

Bài 3: Tìm số đo

x

x

B

x

Hình 15

A

D

D
1300

y

0

56

C

H

530

x

x

y

B

C

A

Hình 17

Hình 16

D

C

x

x

Hình 18

A

x

A

E
y
500

C

B

Hình 19

Bài 4: Cho Hình
và

Biết

x

350

E

x
x
B

C

Hình 20

y

300

A

là tia phân giác góc

Chứng minh rằng

Biết

C

Hình 21

1

Bài 5: Cho Hình

B

M

A

B

C

trong các hình sau:

A

y
M

x

440

B

C

Hình 14

Hình 13

600

C

A

A

x

B

B

D

A

B

x
C

500

B

C

x M

B

C

O
Hình 22

B

Chứng minh rằng

D

1 2

D

A

C

M
Hình 23

3

A

Bài 6: Cho Hình
Biết
Tính số đo trong hình.

x

A
M

1 2

Bài 7: Cho
Kẻ

1300

vuông tại
( Hình

).

B

Chứng minh rằng
Bài 8: Cho

1140

C

H

C

B

Hình 24

Hình 25

A

có

là tia phân giác

kẻ

( Hình

).

a) Tính

B

b) Tính

N

D

H

và

300

C

Hình 26

Bài 9: Cho
có
là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh

( Hình

D

A

).

Chứng minh rằng
B

Bài 10: Cho
có
là tia phân giác góc ngoài tại

400

400

C

Hình 27

( Hình

).

A

Chứng minh rằng

600

E

Bài 11: Cho

có

A

lần lượt là hai tia phân giác

D

của hai góc
Tính

600

B
Hình 28

O

( Hình

).

C

C

B
Hình 29

Bài 12: Cho

có

B

lần lượt là hai tia phân giác của
Tính

( Hình

).

O
A

C
Hình 30

4

Bài 2. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC.
A. LÝ THYẾT.
1) Hai tam giác bằng nhau.
A
Ví dụ 1: Cho
và
như Hình
Nhận thấy
và
có ba cạnh bằng nhau:
,
,
B

và ba góc bằng nhau:
Nên hai
và

C

,
,
gọi là hai tam giác bằng nhau.

D

E

F

Hình 1

Khi đó cạnh
và cạnh
gọi là hai cạnh tương ứng và
và
gọi là hai góc tương ứng.
Kết luận:
 Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có cạnh cạnh tương ứng bằng nhau, các góc
tương ứng bằng nhau.
 Kí hiệu:
cần chú ý về thứ tự các đỉnh khi kí hiệu hai tam giác bằng nhau
Ví dụ 2: Cho Hình
A
D
a) Chứng minh
b) Chứng minh rằng
B

a)

C

có

N

M
Hình 2

có

Suy ra
b) Xét

mà
và

có:
( giả thiết)
( giả thiết) và

( chứng minh câu a)

Vậy
2) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác.
Ví dụ 1: Vẽ

B

C

6cm

biết

Vẽ cạnh
Vẽ cung tròn tâm bán kính
Vẽ tiếp cung tròn tâm bán kính
Hai cung tròn cắt nhau tại điểm
Nối các điểm ta được

B

A

A

( Hình

4cm

5cm
B

6cm

C

6cm

C

B

Hình 3

6cm

C

5

Ví dụ 2: Vẽ thêm
có
Làm giống ví dụ ta được
Cho nhận xét về
và

D

như Hình

4cm

5cm
E

F

6cm
Hình 4

Kết luận:
 Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác ấy bằng
nhau
 Kí hiệu:
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Xác định các yếu tố bằng nhau của hai tam giác
Bài 1: Cho
a) Hãy chỉ ra các cạnh tương ứng bằng nhau. Các góc tương ứng bằng nhau.
b) Nếu
thì cạnh nào cũng bằng
Bài 2: Cho

Biết

a)
có góc nào cũng có số đo bằng
b) Suy ra số đo cạnh nào của
Bài 3: Cho
Biết
a) Cạnh
bằng bao nhiêu
?
b) Tính chu vi của mỗi tam giác trên.
Bài 4: Cho

Biết

a) Tính
của
b) Tính số đo các góc còn lại của
Bài 5: Cho

Biết

a) Tính số đo góc
của
b) Cho biết
là tam giác gì?
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau
Bài 1: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 2: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Chứng minh
Bài 3: Cho Hình

A

C

A

1
2

B

B

H

C

Hình 6

Hình 5

D

A

M

N

Hình 7

6
B

a) Chứng minh
b) Chứng minh

là tia phân giác

7

Bài 4: Cho Hình
a) Chứng minh

A

b) Chứng minh
Bài 5: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh

B

y

D

M

M
K

Hình 8

E

là tia phân giác

A

Bài 6: Cho Hình

Hình 9

a) Chứng minh

A

N

x

B

b) Chứng minh
O

A

Bài 7: Cho Hình
a) Chứng minh

D

C
Hình 10

b) Chứng minh

O

Dạng 3. Vẽ tam giác khi biết ba cạnh

B

C
Hình 11

Bài 1: Vẽ

biết

Bài 2: Vẽ

biết

Bài 3: vẽ

biết

Bài 4: Vẽ

biết

8

Bài 3. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC
A. LÝ THUYẾT.
y

1) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác
Ví dụ 1: Vẽ
Nối

Trên tia

lấy điểm

C

sao cho

4m

trên tia
lấy điểm sao cho
với ta được
( Hình ).

Ví dụ 2: Vẽ thêm
Trong

thì

Trong
Xét

thì

A

600

B

5m

có

Hình 1

gọi là góc sen giữa hai cạnh

P

gọi là góc sen giữa hai cạnh
có:

và

x

4m

M

600

N

5m
Hình 2

Khi đó ta nói
bằng
theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Kết luận:
 Nếu hai cạnh và góc sen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc sẽ giữa của tam giác
kia thì hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Ví dụ 3: Cho Hình
a) Chứng minh

A

b) Chứng minh
a) Xét

và
là cạnh chung

có:
B

H

C
y

Hình 3

( giả thiết)

x
A

Vậy
b) Vì
( hai góc tương ứng)
2) Trường hợp bằng nhau thứ ba của hai tam giác.
Ví dụ 4: Vẽ đoạn thẳng
Vẽ tia
ta được

Vẽ tia

sao cho

tia

cắt

sao cho

B

4cm

C

Hình 4

tại

( Hình ).

Ví dụ 5: Vẽ thêm

500

600

D

có

Trong

thì

là cạnh xen giữa hai góc

Trong

thì

là cạnh xen giữa hai góc

E

500

600

4cm
Hình 5

F

9

Với hai tam giác có các yếu tố như trên
Khi đó ta nói
bằng
theo trường hợp góc – cạnh – góc.
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Vẽ tam giác theo yêu cầu bài toán.
Bài 1: Vẽ

biết

Bài 2: Vẽ

biết

Bài 3: Vẽ

biết

Bài 4: Vẽ

biết

Bài 5: Vẽ

biết

Bài 6: Vẽ

biết

Bài 7: Vẽ

biết
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

Bài 1: Cho Hình

B

a) Chứng minh

A

M

b) Chứng minh
Bài 2: Cho Hình

O

a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 3: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 4: Cho Hình

A
Hình 6

B

C

M

N

Hình 7

là phân giác

A

H

B

a) Chứng minh
b) Chứng minh

M

Hình 8

N

Bài 5: Cho Hình

K

Hình 9

a) Chứng minh

M

A

b) Chứng minh

I

A

B

Bài 6: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh

O
C

B

N
D

Hình 10

M

A

Hình 11

E

D
H

10

Bài 7: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh

11

Bài 8: Cho

khác góc bẹt, trên tia

Trên tia

lấy điểm

tia phân giác

sao cho

Lấy

y

lấy điểm
Vẽ

bất kì trên tia

B

là
( Hình

m

)

M

a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 9: Cho

O
Hình 13

vuông tại

sao cho

Trên cạnh

Tia phân giác

a) So sánh

x

A

lấy điểm

cắt

ở

A

( Hình

)

D

và
B

b) Tính số đo

C

E
Hình 14

Bài 10: Cho
điểm của

vuông tại
Tia phân giác

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Tính

cắt

là trung
ở

( Hình

B

)
E

là phân giác
A

của

Bài 11: Cho
ở

có

Tia phân giác góc

. Chứng minh

Bài 12: Cho
Trên cạnh
a)

Hình 15

vuông tại

kẻ

vuông tại
lấy điểm

cắt

. ( Hình

Kẻ

B

)
E

là tia phân giác

sao cho

Chứng minh:
A

C

D

b)
c)

C

D

Hình 16

là đường trung trực của

d) Trên tia đối của tia
thẳng hàng. ( Hình
Bài 13: Cho
sao cho

lấy điểm

sao cho

Chứng minh ba điểm

)

nhọn có

Phân giác của

cắt

tại

( Hình

Trên

lấy điểm

B

a) Chứng minh
b)

cắt

tại

E

Chứng minh
A

c) Chứng minh

A

F

F

C

D
Hình 18

C

Hình 17

E
B

D

12

Bài 14: Cho
điểm

có

trên

. Lấy điểm

sao cho

a) Chứng minh
b) Biết
cắt

trên

A

. ( Hình
và
Cho biết

tại

E

F

.

I

Chứng minh

A
C

B
Hình 19

Bài 15: Cho
có
. Trên các cạnh
lấy lần lượt các điểm
và sao cho
.
Gọi là giao điểm của
và
a) Chứng minh

D
O

. ( Hình

Hình 20

Bài 16: Cho

E

. Kẻ

. Kẻ

. Gọi

c) Chứng minh
Bài 17: Cho

O

là giao điểm

và

.

K

là phân giác
Trên cạnh

Tia phân giác của

A

lấy điểm

cắt

ở

B

b) Kẻ

H

Chứng minh
và

Chứng minh

Bài 18: Cho
Trên cạnh

M

C

E
Hình 22

và

là giao điểm của

của

cắt

tại

c) Trên tia đối của tia

A

thẳng hàng.

biết
lấy điểm

là trung điểm
là phân giác

sao cho

I

B

C

E
Hình 23

N

Chứng minh
lấy điểm

M

.

( Hình

a) Chứng minh
b)

D

( Hình

a) Chứng minh

c) So sánh

C
Hình 21

vuông tại

sao cho

D

B

và
( Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh

d) Gọi

A

C

B

b) Chứng minh

của

E

sao cho
A

Chứng minh

13
E
B

D

C

d) Chứng minh
Bài 19: Cho

thẳng hàng.
có

và tia phân giác

Trên cạnh
lấy điểm sao cho
a) Chứng minh
.
b)
cần thêm điều kiện gì để
c) Gọi
cắt
d) Chứng minh
Bài 20: Cho
a) Trên cạnh

tại

cắt

. ( Hình
.

Chứng minh
.

vuông tại
lấy điểm

và
vuông tại

sao cho

Gọi

B

Trên cạnh

vuông tại
sao cho
cắt

a) Nếu

B

Hình 26

Trên cạnh

I

H

D
N

là trung điểm của

B

C

K

( Hình

Hình 27

Tính
suy ra

kẻ đường thẳng song song với

lần lượt tại
Bài 23: Cho

và

b) Chứng minh

Chứng minh

vuông tại

Trên tia
lấy điểm
a) Chứng minh

Bài 24: Cho

C

M

A

có

b) Chứng minh
c) Qua

Q

F

lấy điểm

Gọi
tại

K

E

Chứng minh

Bài 22: Cho
Kéo dài

A

lấy

( Hình

sao cho

lấy điểm

Hình 25

là trung điểm của

Trên đoạn

C

D

,

b)
cắt
tại
Chứng minh
c) Qua
vẽ đường thẳng song song với
tại

H
E

thẳng hàng.

có

a) Chứng minh

cắt

A

có
. Tính
( Hình
sao cho
.

c) Chứng minh
điểm

F

.

Tia phân giác cắt
tại
Chứng minh
b) Qua vẽ đường thẳng vuông góc với
tại
cắt
tại . Chứng minh
.
Bài 21: Cho

tại

Gọi

sao cho
và

B

cắt
là tia phân giác

A

là trung điểm của

là trung điểm của

( Hình

Hình 28

N

A

và
là trung điểm của

C

M

là trung

D

E

F

14
B

C
Hình 29

điểm của

Vẽ điểm

sao cho

là trung điểm của

a) Chứng minh

( Hình

b) Chứng minh
c) Chứng minh

E

Bài 25: Cho
của

gọi

và

lần lượt là trung điểm

Trên tia đối của tia

tương ứng hai điểm

và

và

.

( Hình

b) Chứng minh

thẳng hàng.
có

là trung điểm của

A

sao cho

B

C

Hình 31

là trung điểm của

là trung điểm của

E

M

N

lần lượt

và

b) Lấy điểm

C
Hình 30

( Hình

a) Chứng minh

M

B
F

Hai điểm

D

N

lấy

sao cho

a) Chứng minh
Bài 26: Cho

A

A

Chứng minh

c) Chứng minh

I

Bài 27: Cho

là trung điểm của

thuộc tia đối của tia

sao cho

Lấy điểm

B

. ( Hình

K

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Kẻ

và

Bài 28: Cho

thẳng hàng.
có

lấy điểm

là trung điểm của
sao cho

Sao cho

Trên tia đối

. ( Hình

B

Vẽ
sao cho
của

H

tại

Trên cạnh

Hình 33

lấy điểm

Chứng minh

tại vẽ
là trung điểm của

a) Chứng minh

,

Lấy
là trung điểm

lần lượt tại
và chu vi

F

N

.
tại

D

A

nhọn, vẽ

cắt

C

M

từ đó suy ra
Bài 29: Cho

D

K

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Vẽ

Hình 32

A

Chứng minh

d) Chứng minh
của tia

C

E

M
E
B

( Hình

C

H
Hình 34

bằng

A

15
I

B

D
C

b) Nếu

Tính các góc

Bài 30: Cho
góc với

vuông tại
tại

có

Trên cạnh

. Gọi

lấy điểm

là trung điểm cạnh

a) Chứng minh
b) Tia

vuông

sao cho

( Hình

A

Từ đó suy ra

cắt

tại

Chứng minh

từ đó suy ra
Bài 31: Cho
có
của

Vẽ

D

K

và

. Gọi

là trung điểm

N

( Hình

B

a) Chứng minh
b) Trên cạnh

lấy điểm

trên cạnh

lấy điểm

Trên tia đối của
B

C

M

H

thẳng hàng.
có

đối của tia

A

sao cho

Chứng minh
Bài 32: Cho

lấy điểm

Chứng minh

là trung điểm của

tia

C

M
Hình 36

sao cho
c) Gọi

E

lấy điểm

.

là trung điểm của

sao cho

Trên tia

D

E

. ( Hình

Hình 37

a) Chứng minh
A

b) Chứng minh
c) Kẻ
tại
sao cho

Trên tia đối của tia

là trung điểm của

lấy điểm

Chứng minh

d) Chứng minh
Bài 33: Cho
lấy điểm

Gọi

là trung điểm của

sao cho

sao cho

Trên tia đối của tia

H

Hình 38

E

C

M

Trên tia

. ( Hình

a) Chứng minh
b) Vẽ
tại

B

lấy điểm

D

A

Chứng minh

và
c) Chứng minh
Bài 34: Cho
nhọn có
của

Trên tia
a) Chứng minh

lấy điểm

B

. Lấy
sao cho

là trung điểm
là trung điểm của

H

C

B

Hình 39

K

D

( Hình

b) Chứng minh

A

16
B

K

H

C

c) Vẽ

. Trên tia

là trung điểm của
d) Chứng minh
Bài 35: Cho
của tia

lấy điểm

sao cho

Chứng minh

.

.

nhọn. Kẻ

lấy điểm

Trên tia đối

sao cho

. ( Hình

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Gọi

là tia phân giác của

là trung điểm của

sao cho
Bài 36: Cho

tại

Vẽ tia

cắt tia

tại

Chứng minh
Trên

cắt

, tia

E

tại

Hình 41

K
A

tại

thẳng hàng.
sao cho

. Vẽ

E

B

là trung điểm của

( Hình
J

b) Gọi

là trung điểm của

Trên tia

cho

là trung điểm của

Chứng minh

d) Gọi

C

H

a) Chứng minh

c) Chứng minh

C

M

F

nhận tia

cắt tia

nhọn có

lấy điểm

H

.

sao cho

làm tia phân giác. Tia
Chứng minh
.

Bài 37: Cho

sao cho

B

( Hình

b) Kẻ

c) Tia

lấy điểm

Chứng minh
.
. Lấy
là trung điểm của

lấy điểm

a) Chứng minh

A

Trên tia

là trung điểm của
nhọn có

Trên tia đối của tia

.

là tia phân giác

là giao điểm của

lấy điểm

sao cho
.
lấy điểm

A

là trung điểm của
I

.
. ( Hình

sao cho

B

C

D

H

K

.

Chứng minh
c) Tia
cắt
tại tia
cắt
Chứng minh
.
d) Chứng minh
.
Bài 39: Cho
có ba góc nhọn. Kẻ

Hình 42

và

và

D

N

.

Chứng minh
thẳng hàng.
Bài 38: Cho
nhọn có
. Kẻ
Trên đoạn
lấy điểm
a) Chứng minh
b) Trên tia đối của tia

K

sao

Hình 43

E

tại

A

,

.

M
N

H
E

B

17
C

O
F

Gọi

là giao điểm của

Trên tia đối của tia
a)
b)
c)
d)

và
lấy điểm

Gọi
sao cho

là trung điểm của

So sánh
và
. ( Hình
Chứng minh
.
Tìm điều kiện của
để
Trên các đoạn
và
lấy điểm
. Chứng minh

Bài 40: Cho
Vẽ

là trung điểm của

và

nhọn có

tại
Tia
a) Chứng minh

.
và

sao cho

đồng quy.

. Phân giác
cắt

tại

A

cắt

tại

Chứng minh

cắt

Hình 45

A

và

có
lấy điểm

C

K

D

tại

c) Chứng minh
Bài 41: Cho
tia đối của tia

E

B

b) Qua vẽ đường thẳng song song với
Lấy điểm
nằm giữa
và sao cho

F

H

( Hình

. Kẻ
Trên tia đối của tia

. Trên
lấy điểm

sao cho
. ( Hình
a) Chứng minh
.

K
D

I
H

B
Hình 46

C

E

O

b) Chứng minh
c) Chứng minh
d)

là tia phân giác của

Chứng minh
Bài 42: Cho
có
Trên đoạn

lấy điểm

sao cho
. ( Hình
a) Chứng minh

. Kẻ

,

.

đồng quy.
. Gọi
là trung điểm của
trên tia đối của tia

A

lấy điểm

M

và

b) Kẻ

và
cắt
tại Chứng minh
c) Đường thẳng qua và vuông góc với
tại
Chứng minh
.

,
và
cắt tia

B

D

H

I

C

E

O
Hình 47

N

18

19

Bài 4. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. LÝ THUYẾT.
1) Ba trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông.

Hình 3

Hình 2

Hình 1

 Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác
vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( Hình ).
 Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng cạnh góc
vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng
nhau ( Hình ).
 Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và góc nhọn
của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( cạnh huyền – góc nhọn)
( Hình ).
A
Ví dụ 1: Cho Hình
Xét
và
có:
N

M

là cạnh chung.
( giả thiết)
Vậy
( cạnh huyền – góc nhọn)
2) Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
 Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này
bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia
thì hai am giác vuông đó bằng nhau.
A
( cạnh huyền – cạnh góc vuông) ( Hình ).
Ví dụ 2: Cho Hình
Xét
và
có:
B

là cạnh chung.
( giả thiết)
Vậy
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình

B

Hình 5

C

Hình 6

D

A

( cạnh huyền – cạnh góc vuông).

a) Chứng minh
b) Chứng minh

Hình 4

B

là trung điểm

H

C

Hình 7

20

Bài 2: Cho Hình

A

A

C

a) Chứng minh

O

b) Chứng minh
Bài 3: Cho Hình

B

a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 4: Cho Hình

Hình 8

B

B

H

a) Chứng minh

F

b) Chứng minh

A

c) Chứng minh
Bài 5: Cho Hình

B

a) Chứng minh

A

C

D
Hình 10

D
A

C

E

b) Chứng minh

Hình 11

c) Chứng minh
Bài 6: Cho Hình

N

M

a) Chứng minh

B

b) Chứng minh

C

H
Hình 12

Bài 7: Cho đoạn thẳng
Qua

D

Hình 9

K

H

Qua

vẽ đường thẳng

một đường thẳng cắt

vẽ đường thẳng
Qua trung điểm

ở

và cắt

ở

So sánh

m

,
của

C

vẽ

n

và

A

B

O

( Hình

Hình 13

Bài 8: Cho
thẳng

vuông tại

(

có

. Qua

cùng phía đối với

a) Chứng minh
b) Chứng minh

). Kẻ

.

E

A

.

y

D

( Hình

x

Bài 9: Cho
và

D

kẻ đường

vuông tại

. ( Hình
a) Chứng minh
b) Qua

kẻ đường thẳng

phía với
Chứng minh

. Kẻ

Gọi

là trung điểm của

B

C
Hình 14

.

A

sao cho
tại

kẻ

và

nằm cùng

d

E

D

tại
B

M
Hình 15

C

21

22

Bài 10: Cho
Kẻ

. Tia

và

đi qua trung điểm

của

vuông góc với

So sánh

và

A

.

. ( Hình

Bài 11: Cho

có

thuộc tia đối của tia

E

là trung điểm của
sao cho

B

Lấy

. ( Hình

C

M
F

A

Hình 16

x

a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
c) Kẻ

I

,

B

Chứng minh
d) Chứng minh

sao cho

K

thẳng hàng.

Bài 12: Cho
có
.
điểm của
Trên tia đối của tia

C

E

A

Hình 17

là trung
lấy điểm

D

. ( Hình

a) Chứng minh

B

d)

và

vuông góc với

cắt

tại

cắt

Chứng minh

K

F

.

tại

C

M

b) Chứng minh
c) Kẻ

E

H

Hình 18

Chứng minh
thẳng hàng.
Bài 13: Cho
nhọn. Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
. Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho

I

N

D

C

. ( Hình

K

a) Chứng minh

O

b) Từ kẻ
, Từ
kẻ
Chứng minh
.
c) Trên tia
lấy điểm
trên tia
. Chứng minh

H

lấy điểm

sao cho
A

thẳng hàng.

B

M
Hình 19

Bài 14: Cho
của

nhọn và

Trên tia đối của tia
a) Chứng minh

. Gọi
lấy điểm

sao cho

. ( Hình

và

b) Gọi
lần lượt là trung điểm của
Chứng minh
.
c) Chứng minh

là trung điểm

là trung điểm của

A

N

F

M
B

E

23
Hình 20

C

24

Bài 15: Cho

nhọn. Có

Trên tia đối của tia

là trung điểm của

lấy điểm

sao cho

A

F

. ( Hình
Q

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Gọi

là trung điểm của đoạn
cắt

Bài 16: Cho

N

đường thẳng

tại

Chứng minh

có

.

Chứng minh
a) Từ
kẻ

là trung điểm của

là trung điểm của

A

( Hình
và

. Chứng minh

kẻ đường thẳng vuông góc với

thẳng vuông góc với
tại

.

Từ

kẻ

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Gọi
là giao điểm của
và

Chứng minh

E

kẻ đường

.

F

B

thẳng hàng.

nhọn có
vuông góc với

Từ

Hai đường thẳng này cắt nhau

Chứng minh

Bài 17: Cho

P

E
Hình 21

b) Chứng minh
c) Từ

K

C

M

Hình 22

N

là trung điểm của

tại

vuông góc với

A

tại

( Hình
với

,

là giao điểm của

E

.

B
M

F
H
Hình 23

C
N

25

Bài 5. TAM GIÁC CÂN, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG
A. LÝ THUYẾT.
1) Tam giác cân.
Ví dụ 1: Cho
có hai cạnh
Khi đó
được gọi là tam giác cân.
Kết luận:
 Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Cụ thể: Hình
cân tại đỉnh .
Hai cạnh

là hai cạnh bên.

A

là cạnh đáy.

B

C
Hình 1

Hai góc
là hai góc ở đáy.
 Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại tam giác có hai góc bằng
nhau là tam giác cân.
A

Cụ thể: Hình
có
nên là tam giác cân tại
 Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc ba góc bằng nhau.
 Tam giác cân có góc bằng
là tam giác đều.
 Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân tại góc vuông.
B

C

2) Đường trung trực của một đoạn thẳng.
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng
là trung điểm của
Đường thẳng

vuông góc với

tại

Hình 2

( Hình ).

(d)

Khi đó
được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng
Kết luận:
 Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm
Của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
 Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều
Hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

A

Hình 3

(d)

Cụ thể: Hình Điểm
 Ngược lại điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng
thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình
a)
là tam giác gì?
b) Tính
Bài 2: Cho Hình
a)
là tam giác gì?
b) Tính

B

M

O

A

B

M
Hình 4

A

B

B

650
Hình 5

C

A

500
Hình 6

C

26

27

Bài 3: Cho Hình

A

B

a) Tính
b)
là tam giác gì?
Bài 4: Cho Hình
là tam giác gì?
Bài 5: Cho Hình

450

A

Hình 7

C

600

B

C

Hình 8

là tam giác gì?
A

Bài 6: Cho Hình
a) Chứng minh
b)
là tam giác gì?

A
B

1200

A

C
Hình 9

Bài 7: Cho Hình
a) Chứng minh
b)
là tam giác gì?

C

B

D

Hình 10

M

C

N
Hình 11

B

A

Bài 8: Cho

Tia phân giác

cắt

ở

Trên tia đối của tia

lấy điểm sao cho
. Chứng minh
Bài 9: Cho
cân tại A, lấy điểm D thuộc AC,
E thuộc AB sao cho

( Hình

lần lượt ở

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Chứng minh
Bài 12: Cho
Đường thẳng qua

lấy điểm
. Gọi

Hình 12

D

E

E

I

A

trên
,
là giao

B

C
Hình 13

K

( Hình
là tam giác cân.

b) Chứng minh
Bài 11: Cho
cân tại
cắt cạnh

C

. ( Hình

cân tại
sao cho

điểm của
và
a) Chứng minh

B

A

a) So sánh
và
.
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE.
Khi đó
là tam giác gì? Vì sao?
Bài 10: Cho
điểm
trên

D

A

H
O

B
E

Tia phân giác của
và

. ( Hình

cân.

C
Hình 14

D
O

B

C

A

Hình 15

.
cân tại
Tia phân giác
cắt
tại
và vuông góc với AB cắt AB tại H. Đường

K

H
B

28

M
Hình 16

C

thẳng qua M và vuông góc với AC cắt AC tại K. ( Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Chứng minh
Bài 13: Cho

So sánh
.
cân tại

Gọi là giao điểm của
a) Chứng minh
b) Gọi

vẽ

tại

và
và

cân tại

a) Chứng minh
b) Trên cạnh
Chứng minh
c) Tia

E

Chứng minh

Gọi

B

thẳng hàng.

lấy điểm
.
tại

Hình 17

bất kỳ.

tại

B

E

tia

F
K

D

Chứng minh

A

B

M

H
Hình 19

F

vuông tại

Trên cạnh

. Tia phân giác của

cắt cạnh

lấy điểm
ở

sao cho

B

( Hình

K

a) Chứng minh

M
A

vẽ đường thẳng vuông góc với
tại
cắt đường thẳng
tại . Chứng minh

c) Chứng minh
Bài 16: Cho
vuông tại
.

C

E

C

Hình 18

b) Qua

C

H

là trung điểm của

( Hình

Bài 15: Cho

D

I

A

cắt cạnh

cắt cạnh

tại

( Hình
.

là trung điểm của

Bài 14: Cho

A

và
Trên cạnh

là trung điểm của

C

D

Hình 20

thẳng hàng.
lấy điểm
sao cho

H

( Hình

a) Chứng minh
b) Đường thẳng
cắt đường thẳng
tại
c) Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
Chứng minh

Trên cạnh
là trung điểm của cạnh

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Tia

.
A

thẳng hàng.

Bài 17: Cho
. Gọi

Chứng minh
.

cắt cạnh

lấy điểm

sao cho

( Hình

B

.
tại

C

K
Hình 21

F

Chứng minh

D

M

.

A

29
I
B

E

M
C

d) Trên tia đối của tia

lấy điểm

Chứng minh
Bài 18: Cho

.

thẳng hàng.
có

Trên cạnh

sao cho

.

lấy điểm

là tia phân giác

.

sao cho

. ( Hình

Chứng minh

là trung điểm của

a) Chứng minh
b)

cắt

tại

c) Trên tia đối của tia

lấy điểm

d) Chứng minh
Bài 19: Cho

sao cho

. Chứng minh

thẳng hàng.
vuông tại

Kẻ

F

vuông góc với

B

và tia phân giác
của
. ( Hình
a) Trên cạnh
lấy điểm sao cho
.
Chứng minh
và
.
b) Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
Chứng minh
Bài 20: Cho

H
D

.

A

thẳng hàng.
vuông tại

Hình 23

E

là tia phân giác của

. Trên tia
lấy điểm
sao cho
. ( Hình
a) Chứng minh
từ đó suy ra
.
b) Từ
kẻ đường thẳng vuông góc với
nó cắt
tại

H

D

K

Chứng minh
Bài 21: Cho
a) Chứng minh
b) Chứng minh

là trung điểm của

( Hình

là tia phân giác

A

.

.
và

là giao điểm của
.

là trung điểm của

Gọi

sao cho
B

trên tia đối của tia

và

K

N

O

và

. Chứng minh
cân tại

M

P

lấy lần lượt hai điểm

sao cho
Bài 22: Cho

Gọi

suy ra

. Gọi
Chứng minh
d) Gọi

F

I

Hình 24

cân tại

c) Trên cạnh

C

E

C

D
Hình 25

lấy điểm

thẳng hàng.
lần lượt là trung điểm của

a) Chứng minh
b) Gọi là giao điểm của
và
.
c) Chứng minh
có hai góc bằng nhau.

và

( Hình

A

E

J

I

và

F

O
B

Hình 26

C

30

d) Lấy điểm
điểm của

và
và

sao cho

và

lần lượt là trung

Chứng minh

là trung điểm

của
Bài 23: Cho
cân tại
Trên tia đối của tia
Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
Chứng minh

lấy điểm

A

.

là tam giác cân. ( Hình
D

B

C

E

Hình 27

31

Bài 24: Cho

cân tại

là tia phân giác của góc

. Trên tia đối của tia
Trên tia đối của tia
lấy điểm
a) Chứng minh
b) Chứng minh

.
.

( Hình

D

.

c) Chứng minh
Bài 25: Cho

lấy điểm
sao cho

A

B

sao cho
. Nối
a) Chứng minh

E

E

C

M

C

P

F

Hình 28

.
cân tại

C

A

Trên cạnh

và
cân.

lấy 2 điểm

và

( Hình
B

D
Hình 29

b) Chứng minh

A

Bài 26: Cho
cân tại
Lấy điểm là trung điểm của
Trên tia
lấy điểm , trên tia
lấy điểm
sao cho
. Chứng minh ( Hình
a)
b)
c)
d)

và

là tia phân giác của góc

.

B

N

.

I
Hình 30

.
là đường trung trực của

Bài 27: Cho

cân tại

của đoạn thẳng

( Hình

Gọi

M

là trung điểm

a) Chứng minh
Từ đó suy ra
.
b) Trên tia đối của tia
lấy điểm và trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
. Chứng minh
c) Lấy điểm bên trong
sao cho
.
Chứng minh

I
E

.

N

D
Hình 31

thẳng hàng.

32

ÔN TẬP CHƯƠNG 4.
Bài 1: Cho

vuông tại
Trên cạnh

Kẻ

là tia phân giác của

lấy điểm

a) Chứng minh
b) Chứng minh

sao cho

.
A

và

D

.

c) Chứng minh
là đường trung trực của
d) Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
Chứng minh
Bài 2: Cho

có

. Trên cạnh
cắt

lấy điểm

F

sao cho
A

.

I
D

và
B

là trung điểm của

Chứng minh

d) Chứng minh

thẳng hàng.

trên tia

. Lấy điểm
sao cho

y

trên tia

. Gọi

K

là trung điểm của

đoạn

B

a) Chứng minh
b) Trên tia
lấy điểm
sao cho
Chứng minh
.
c) Qua
kẻ đường thẳng song song với
tại

Chứng minh

d) Gọi giao điểm của
Bài 4: Cho
có
Trên cạnh
lấy điểm
a) Chứng minh
b) Tia

cắt tia

với

O

cắt
và

là

tại

d) Cho

cắt cạnh

là tia phân giác của
tại

x

.

A

D

Chứng minh

Vẽ

E

là đường trung trực của

. Chứng minh
cân tại

A

tại

Chứng minh

. Tia phân giác
sao cho
.
.

M

S
H

.

B

c) Chứng minh

Bài 5: Cho

C

E

.

Bài 3: Cho góc nhọn

và

C

E

tại
và

b) Gọi là giao điểm của
Chứng minh
.

và điểm

B

.

thẳng hàng.

. Tia phân giác của
a) Chứng minh

c) Gọi

F

.

C

I

E

là phân giác góc

A

a) Chứng minh

B

33
E

N

M

K
D

C

b) Chứng minh

là trung trực của

c) Vẽ
sao cho
và
d) Gọi

tại

Trên cạnh
. Chứng minh

.
là trung điểm của

Chứng minh
Bài 6: Cho
Kẻ

Trên tia đối của tia

vuông tại

chứa điểm
Chứng minh

trên tia

lấy điểm

D

B

O

sao cho

.

Chứng minh

H

thẳng hàng.

tại

A

. Kẻ
sao cho

là tia phân giác của
.
kẻ một đường thẳng song song với
và cắt

.

K
C

H

Chứng minh

ở

và

(

thuộc tia

N

và

Chứng minh

B

M

cắt
D

là đường trung trực của
c) Kẻ

C

E

không

.

Bài 7: Cho
vuông tại có
Lấy điểm
thuộc tia đối của tia
a) Chứng minh rằng

Bài 8: Cho
sao cho

.

A

là đường trung trực của
nằm trên nửa mặt phẳng bờ

là trung điểm của

tại

sao cho

là phân giác
.

b) Chứng minh
c) Kẻ
(

và tia
b) Qua

lấy điểm

thẳng hàng.

tại
a) Chứng minh

d)

lấy

thẳng hàng.

cân tại
Trên cạnh
lấy điểm
Trên tia đối của tia
lấy điểm
. Các đường thẳng vuông góc với
kẻ từ
và cắt
và
lần lượt
Chứng minh

A

a)
b) Đường thẳng

cắt

tại điểm

Kẻ
tại

là trung điểm của

M

. Đường thẳng vuông góc với
cắt đường thẳng

tại

Chứng minh
c)
.
Bài 9: Cho
Biết
tại
a) Chứng minh

B

H

D

và

I

C

E

O
N

vuông tại

Gọi

là trung điểm của

Phân giác

.

cắt

A

tại
K

I

34

M

C

H
B

b) Tính các góc của
c) Biết độ dài các cạnh của
là ba số nguyên dương
liên tiếp. Tính chu vi của
d) Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
.
Chứng minh
Bài 10: Cho
góc với
tại

cân tại
cắt

tại

Kẻ tia phân giác
và cắt

Phân giác góc

tại

cắt

Qua

đường thẳng kẻ qua

tại

vẽ đường thẳng vuông
và song song với

cắt

K

Chứng minh

a)

A

b)
c)

là các tam giác cân.
.

d)

.

Bài 11: Cho
Trên cạnh

D

B

có
lấy điểm

.
sao cho

là tia phân giác của
.

.
P
A

b) Gọi là giao điểm của
và
c) Chứng minh là trung điểm
là trung điểm của

lấy điểm sao cho
e) Trên tia đối của tia
Chứng minh
Bài 12: Cho

K

và

.
B

. Chứng minh
lấy điểm sao cho

cắt

có

và

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Từ

kẻ

Chứng minh

. Trên tia

lần lượt tại

E

A

lần lượt

D

.

F
B

Bài 13: Cho

C

D

.

thẳng hàng.
sao cho
là tam giác đều.

A

I

trên tia đối của tia

đều, Trên các cạnh

lấy ba điểm
Chứng minh rằng

C

F

a) Chứng minh

d) Gọi

E

M

lấy điểm

C

E

sao cho

. Tia phân giác
D

và

H
A

.
tại

I
E

B

C

35

Bài 14: Cho
cắt

ở

có
Gọi

lấy điểm

sao cho

. Tia phân giác

là trung điểm của

D
H

a) Chứng minh
b) Chứng minh

A

.

c) Chứng minh

thẳng hàng.

d) Kẻ
để

. Trên tia

.

K
E

cần thêm điều kiện gì

B

C

.

36