Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo
Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG TOÁN HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU
BÀI 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
- Nhận biết khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính và các khái niệm liên quan
(hàm mục tiêu, tập phương án).
- Giải được bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến), vận dụng để giải các bài
toán thực tế đơn giản.
2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Năng lực tư duy và lập luận toán học: Trong quá trình khám phá, hình thành
kiến thức, thực hành và vận dụng kiến thức liên quan đến bài toán quy hoạch
tuyến tính.

-

Năng lực mô hình hóa toán học: thông qua thiết lập, phát biểu các bài toán quy
hoạch tuyến tính mô hình hóa các bài toán thực tiễn khác nhau.

-

Năng lực giải quyết vấn đề toán học: thông qua vận dụng kiến thức về bài toán
quy hoạch tuyến tính vào giải quyết các vấn đề có bối cảnh gắn với thực tiễn.

-

Năng lưc giao tiếp toán học: thông qua sử dụng các thuật ngữ, khái niệm, công
thức, kí hiệu toán học trong trình bày, thảo luận, làm việc nhóm.

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng
nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra được nhận định ban đầu về câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV chiếu Slide dẫn dắt và yêu cầu HS thảo luận và nêu dự đoán về câu hỏi mở đầu.

Một thương nhân sử dụng 120 triệu đồng tiền vốn để mua tối đa 8 tấn trái cây.
Thương nhân đó thu mua hai loại trái cây là A với giá 12 triệu đồng/tấn và B với giá
20 triệu đồng/tấn. Lợi nhuận thương nhân đó thu được sau khi bán mỗi tấn hàng đối
với loại A là 1,1 triệu đồng, đối với loại B là 1,5 triệu đồng. Thương nhân đó nên mua
khối lượng bao nhiêu mỗi loại để thu được lợi nhuận cao nhất khi bán hết hàng đã
thu mua?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi
hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS
vào bài học mới: “Bài toán trên được gọi là một bài toán quy hoạch tuyến tính. Trong
cuộc sống, đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế, thường xuyên xuất hiện bài toán tìm giá trị
lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nào đó. Trong bài học hôm nay
chúng ta sẽ vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến
tính. ”
Bài mới: Bài 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

Hoạt động 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính
a) Mục tiêu:
- Nhận biết khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính và các khái niệm liên quan (hàm
mục tiêu, tập phương án).
- Giải được bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến).
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các hoạt động HĐKP 1, 2; Thực hành 1; 2 ; Vận dụng và các ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS nhận biết được khái niệm và giải được bài toán quy hoạch tuyến tính.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Bài toán quy hoạch tuyến tính

- GV triển khai cho HS thực hiện HĐKP1:
HĐKP1 theo nhóm đôi.
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức F=x +2 y với
(x ; y) là nghiệm của hệ bất phương

trình

{

x−2 y+ 4 ≥ 0
x + y−5 ≤ 0
(I)
x ≥0
y≥0

Miền nghiệm Ω của hệ (I) là miền tứ
giác OABC (được tô màu) trên Hình 1.

a) Thay x=0 ; y =0 vào d ta có:
0+2.0−F=0, suy ra F=0

Với giá trị F cho trước, xét đường thẳng + Thay x=2 ; y=3 vào d ta có:
−x F

d: x +2 y −F=0 hay y= 2 + 2 .

2+2.3−F =0, suy ra F=8

F=0 thì đường thẳng d đi qua điểm O ,
- GV yêu cầu HS nhắc lại các kiến thức Vậy
liên quan đến phương trình đường thẳng F=8 thì đường thẳng d đi qua điểm B.

để áp dụng trả lời các câu hỏi sau:

b) Ta thấy hoành độ giao điểm của d với

F
+ Đường thẳng d đi qua điểm O và trục Oy là x=0 , khi đó tung độ y=
2
điểm B thì tọa độ của điểm O và điểm B
Vậy khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì
có thỏa mãn phương trình đường thẳng
tung độ giao điểm của d với trục Oy thay
d không? Từ đó tìm giá trị F.
đổi cũng tăng (hoặc giảm) tương ứng.
+ Khi giá trị F tăng thì vị trí của đường
Khi đó, đường thẳng d có phương không
thẳng d thay đổi như thế nào? Từ đó ta
đổi, luôn nhận vectơ n⃗ =(1 ;2) làm vectơ
thấy tung độ giao điểm của d với trục
pháp tuyến.
Oy thay đổi thế nào?
c) Đường thẳng d và miền nghiệm Ω có
+ Với điều kiện nào của F thì đường
F
thẳng d và miền nghiệm Ω có điểm điểm chung khi 0 ≤ 2 ≤ 4 , tức là 0 ≤ F ≤ 8.

chung?

Vậy đường thẳng d và miền nghiệm Ω có

+ Từ đó đưa giá các giá trị lớn nhất và điểm chung khi và chỉ khi 0 ≤ F ≤ 8.
nhỏ nhất của biểu thức F=x +2 y .
- GV mời 1 – 2 nhóm HS trình bày kết
quả của hoạt động của nhóm mình.
- GV nhận xét, chốt đáp án.
- GV dẫn dắt: “Bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F=x +2 y trên miền nghiệm Ω của hệ bất

phương trình bậc nhất (I) gọi là bài

F=8 đạt được tại điểm B(2 ; 3)
d) Từ đó, max
Ω
F=0 đạt được tại điểm O(0 ;0).
; min
Ω

toán tuyến tính. Biểu thức F gọi là hàm
mục tiêu, hệ (I) gọi là ràng buộc, miền
nghiệm Ω của hệ (I) gọi là tập phương
án của bài toán.”
→ GV giới thiệu cho HS về khái niệm

bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến). Khái niệm
Bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến) là
bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức dạng F=F ( x , y )=ax +by
(a và b là các số thực không đồng thời bằng
0) trên miền nghiệm Ω của một hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn ( x và y ).
Biểu thức F ( x ; y ) gọi là hàm mục tiêu, hệ
bất phương trình bậc nhất gọi là ràng
buộc, miền nghiệm Ω gọi là tập phương án
- GV giải thích cho HS thấy: “ tập của bài toán quy hoạch tuyến tính đó.
phương án Ω là miền đa giác và hàm
mục tiêu F=x +2 y đạt giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của Ω .Tổng
quát, người ta chứng minh được rằng
khi tập phương án Ω của bài toán quy
hoạch tuyến tính là miền đa giác thì hàm
mục tiêu luôn đạt giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất tại đỉnh của Ω .”
→ GV đưa các bước giải bài toán quy

hoạch tuyến tính trong trường hợp tập
phương án là miền đa giác.

Các bước giải bài toán quy hoạch tuyến
tính trong trường hợp tập phương án là
miền đa giác.
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài
toán trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các
đỉnh của Ω .
Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị
- GV nêu phần chú ý.

này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của F
trên Ω .
Chú ý:
a) Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, ta
viết F=ax +by → max (hoặc min) để thể
hiện tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ
nhất) của F . Nếu tìm cả giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của F thì ta viết
F=ax +by →max, min.

b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F
F và
trên Ω được kí hiệu lần lượt là max
Ω
min F . Với hai số thực x ; y cho trước, ta
0
0
Ω

- HS tìm hiểu Ví dụ 1.
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
F=2 x−5 y →max, min

viết F (x 0 ; y 0 ) để chỉ giá trị của hàm mục
tiêu F=ax +by khi x=x 0 ; y= y 0.
Ví dụ 1 (SGK – tr.8)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.8).

Với ràng buộc

{

2 x+ y −4 ≥ 0
2 x− y ≥ 0
2 x +3 y−12 ≤ 0
y ≥0

- GV hướng dẫn HS:
+ Tìm tập phương án Ω bằng cách tìm
giao điểm của các đường thẳng đã cho
trong ràng buộc.
+ Tính giá trị của biểu thức F tại các
đỉnh của Ω .
+ Từ đó tìm max, min của F.
- GV gọi 1 HS bất kì đứng tại chỗ trả lời
và giải thích.
- GV nhận xét.
- GV triển khai HĐKP2 cho HS trao đổi
theo nhóm đôi, hoàn thành các yêu cầu
sau:
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:
F=2 x+ y → max, min

Với ràng buộc

{

x+ y−4 ≥0
3 x− y ≥ 0 (II)
x≥0
y ≥1

Tập phương án Ω của bài toán là phần

HĐKP2

được tô màu trên Hình 3. Hai điểm
A(1 ; 3) và B(3 ;1) gọi là các đỉnh của Ω .

Với giá trị F cho trước, xét đường
thẳng d :2 x + y =F hay y=−2 x + F .
- GV cho HS thảo luận, trả lời các câu
hỏi trong SGK.
+ Đường thẳng d đi qua điểm A(1 ; 3)
khi F bằng bao nhiêu?
+ Giao điểm của đường thẳng d với trục
Oy là gì? nếu F tăng thì tung độ giao

điểm của d với trục Oy có tăng không?

a) Thay x=1 ; y=3 vào phương trình đường

+ Nếu F< F A thì d và Ω có điểm chung thẳng d ta có:
không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất
của hàm mục tiêu.

F=2.1+3=5

Vậy đường thẳng d đi qua điểm A(1 ;3) khi

+ Với giá trị nào của F thì d và Ω có F A=5 .
điểm chung? Hàm mục tiêu đạt giá trị
lớn nhất trên Ω hay không?

b) Giao điểm của đường thẳng d với trục Oy
là (0 ; F). Khi F tăng (hoặc giảm) thì tung

- GV mời 1 – 2 nhóm trình bày kết quả độ giao điểm của d với trục Oy tăng (hoặc
hoạt động của nhóm mình. Các nhóm giảm).
khác nhận xét, bổ sung cho nhóm bạn.
- GV chốt đáp án.

Khi đó, đường thẳng d có phương không
đổi, luôn nhận vectơ n⃗ =(2 ;1) làm vectơ

- GV dẫn dắt: Từ bài toán trên ta thấy pháp tuyến.
nếu tập phương án Ω không phải là miền c) Khi F< F A thì d và Ω không có điểm
đa giác thì hàm mục tiêu F=ax +by của chung. Từ dó, min F=F A =5.
Ω
bài toán quy hoạch tuyến tính có thể
d) d và Ω có điểm chung khi F ≥ F A =5. Suy

không đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ra, hàm mục tiêu F=2 x+ y không đạt giá trị
nhất trên Ω . Tuy nhiên, người ta chứng lớn nhất trên Ω .
minh được rằng nếu F đạt giá trị lớn
nhất hay giá trị nhỏ nhất trên Ω thì F đạt
giá trị đó tại đỉnh của Ω .
→ Từ đó, GV đưa chú ý.

Chú ý: Nhiều bài toán quy hoạch tuyến
tính xuất phát từ tình huống thực tế có tập
phương án Ω (không là miền đa giác) nằm
trong góc phần tư thứ nhất (của mặt phẳng
tọa độ Oxy ) và hàm mục tiêu F=ax +by có
các hệ số a , b không âm. Khi đó, người ta
chứng minh được rằng F luôn đạt giá trị
nhỏ nhất trên Ω tại đỉnh nào đó của Ω .
Từ đó, đối với bài toán quy hoạch tuyến
tính
F=ax +by → min

Với tập phương án không là miền đa giác
nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 2.

a và b không âm, ta có thể giải bằng cách

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính

thực hiện các bước như sau:

F=3 x+ 5 y → min

Bước 1: Biểu diễn tập phương án Ω của bài
toán trên mặt phẳng tọa độ Oxy .

Với ràng buộc

{

x+2 y ≥5
x− y ≤ 2
x≥1
y ≥0

- GV hướng dẫn HS thực hiện:
+ Tìm tọa độ giao điểm của các đường
thẳng trong ràng buộc.

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các
đỉnh của Ω .
Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá
trị nhỏ nhất của F trên Ω .
Ví dụ 2 (SGK – tr.9)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.8-9).

+ Áp dụng chú ý, tìm giá trị nhỏ nhất
của F.
- GV cho HS hoạt động nhóm đôi thực
hiện yêu cầu của Thực hành 1, 2.
+ GV gọi 1- 2 HS lên bảng trình bày
bài.
+ HS ở dưới nhận xét và bổ sung bài
làm.
+ GV chốt đáp án.
Thực hành 1
Tọa độ giao điểm A của đường thẳng y=1
và trục Oy là A(0;1).
Tọa độ giao điểm B của hai đường thẳng

2 x− y−6=0 và x +2 y −8=0 là nghiệm của

{2 x− y=6

hệ phương trình x+ 2 y =8
Vậy B( 4 ; 2).

Tương tự, ta tìm được C ( 3,5 ; 1 ) , D (0 ; 1).
Tập phương án Ω là miền tứ giác ABCD với
A ( 0 ; 4 ) , B ( 4 ; 2 ) , C ( 3,5 ; 1 ) , D (0 ; 1).

Giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của Ω :
F ( 0 ; 4 ) =12; F ( 4 ; 2 )=22
F ( 3,5 ; 1 )=17 ; F ( 0; 1 ) =3
F=F ( 4 ; 2 )=22
Từ đó, max
Ω
min F=F ( 0 ; 1 )=3 .
Ω

Thực hành 2
Viết lại ràng buộc của bài toán thành

{

2 x−3 y −6 ≤ 0
x + y−4 ≥ 0
x ≥2

Tọa độ của điểm B là nghiệm của hệ

y −6=0 ⇒ B 18 ; 2
( 5 5)
{2 x−3
x + y−4=0

Tương tự, tìm A(2; 2).
Tập phương án là miền không đa giác có

(

)

18 2
hai đỉnh A( 2; 2) và B 5 ; 5 như hình bên.

Do Ω nằm trong góc phần tư thứ nhất, các
hệ số của hàm mục tiêu đều dương nên hàm
mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của Ω .
- HS thực hiện Vận dụng
- GV gợi ý cho HS:
+ Tập phương án của bài toán trên là
miền nào?

( 18 2 )

Ta có: F ( 2 ; 2 )=70 ; F 5 ; 5 =94
F=F ( 2 ; 2 )=70.
Từ đó, min
Ω

Vận dụng

+ Tính giá trị của biểu thức F tại các
đỉnh của Ω .
- GV cho HS thực hiện cá nhân.
- GV mời 1 HS trình bày kết quả, cả lớp
chú ý lắng nghe
a) Tập phương án Ω của bài toán là miền tứ

- GV nhận xét, chữa bài.

giác ABCD với các đỉnh là A ( 0 ; 5 ) , B(4 ;1),

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

C (2;1) và D(0 ; 2).

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp Giá trị của F tại các đỉnh của Ω là:
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, F ( 0 ; 5 ) =15 , F ( 4 ; 1 )=15 , F ( 2 ; 1 )=9 , F ( 0; 2 ) =6.
thảo luận nhóm.

F=15 đạt được tại các đỉnh A
Suy ra max
Ω

- GV quan sát hỗ trợ.

F=6 đạt được tại đỉnh D .
hoặc B ;min
Ω

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

b) Tại mọi điểm ( x ; y ¿ trên cạnh AB của

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình miền Ω , ta đều có x + y−5=0 hay x + y=5, do
bày

đó, F=3 ( x+ y )=3.5=15.

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho Vậy F đạt giá trị lớn nhất trên Ω tại mọi
bạn.

điểm thuộc cạnh AB.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu
cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
Hoạt động 2: Ứng dụng vào các bài toán thực tế
a) Mục tiêu:
- Vận dụng bài toán quy hoạch tuyến tính vào giải các bài toán thực tế.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các hoạt động HĐKP 3; Thực hành 3; 4 và các ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS vận dụng bài toán quy hoạch tuyến tính vào giải các bài toán thực tế.
d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2. Ứng dụng vào các bài toán thực tế

- GV triển khai cho HS thực hiện HĐKP3:
HĐKP3 theo nhóm đôi.

a) Ta có: x ≥ 0 , y ≥0 .

Xét tình huống thương nhân thu mua Do tiền thu mua không vượt quá 120 triệu
trái cây ở Bài toán mở đầu (trang 6). đồng nên 12 x+20 y ≤120 hay 3 x+ 5 y −30 ≤0 .
a) Nếu gọi x , y (tính theo tấn) lần lượt Do tổng khối lượng trái cây không vượt quá 8
là khối lượng trái cây loại A và B tấn nên x + y ≤ 8 hay x + y−8 ≤ 0.
được thương nhân thu mua thì x và y
phải thỏa mãn hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn nào?
b) Từ đó, phát biểu bài toán quy
hoạch tuyến tính tìm khối lượng thu

Lợi nhuận đạt được là P=1,1 x +1,5 y.
b) Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch
tuyến tính:
P=1,1 x +1,5 y → max

mua mỗi loại trái cây để thu được lợi Với ràng buộc
nhuận cao nhất. Giải bài toán đó.

{

3 x +5 y−30 ≤ 0
x + y −8 ≤0
x≥0
y≥0

- GV hướng dẫn HS thực hiện:
+ Điều kiện của hai ẩn số là gì?

Ω
+ Bất phương trình biểu diễn số tiền Tập phương án của bài toán là miền tứ giác
OABC trên hình, trong đó O ( 0 ; 0 ) , A (0 ; 6),
thu mua loại trái cây là gì?

+ Bất phương trình biểu diễn tổng
khối lượng trái cây là gì?
+ Biểu thức biểu diễn lợi nhuận đạt
được của công ty là?
+ Áp dụng cách giải bài toán quy

B (5 ; 3 ) , C (8 ; 0).

hoạch tuyến tính giải bài toán đã cho.
- GV mời 1 – 2 HS trình bày đáp án.
- GV nhận xét, chốt đáp án.

Giá trị của P tại các đỉnh:
P ( 0 ; 0 )=0; P ( 0 ; 6 )=9 ;
P ( 5;3 )=10 ; P ( 8; 0 )=8,8
P=P ( 5 ;3 ) =10.
Từ đó, max
Ω

Các bước thực hiện giải bài toán tối ưu
trong thực tế:
- GV dẫn dắt và đưa các bước thực
hiện một bài toán tối ưu trong thực tế.

Bước 1: Đặt hai ẩn biểu thị hai đại lượng
chưa biết (cần tìm). Viết điều kiện có nghĩa
cho các ẩn đó.
Bước 2: Từ dữ kiện của bài toán, viết biểu
thức biểu thị đại lượng cần tìm giá trị tối ưu
và các bất phương trình bậc nhất đối với hai
ẩn trên. Từ đó, phát biểu bài toán quy hoạch
tuyến tính nhận được.
Bước 3: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính
và trả lời.
Ví dụ 3 (SGK – tr.11)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.11-12).

- HS tìm hiểu Ví dụ 3.
- GV hướng dẫn HS:
+ Gọi x , y lần lượt là số sản phẩm
loại A và B được sản xuất trong một
tuần. Điều kiện có nghĩa của hai biến
là gì?
+ Bất đẳng thức biểu diễn số giờ làm
việc tối đa của máy I là gì?
+ Bất đẳng thức biểu diễn số giờ làm
việc tối đa của mát II là gì?
+ Biểu thức biểu diễn lợi nhuận thu
được của xưởng là gì?
+ Bài toán quy hoạch tuyến tính nhận
được là gì? Giải bài toán đó.
- GV gọi 1 HS bất kì đứng tại chỗ trả
lời và giải thích.

Ví dụ 4 (SGK – tr.11)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.11-12).

- GV nhận xét.
- GV cho HS thảo luận nhóm đôi tìm
hiểu Ví dụ 4.

Thực hành 3

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày.

Gọi x , y ¿ tính theo 100 tấn) lần lượt là sản

+ GV nhận xét, chốt đáp án.
- GV cho HS hoạt động nhóm đôi
thực hiện yêu cầu của Thực hành 3,

lượng sản phẩm loai A và sản phẩm loại B
cần sản xuất.
Do thời gian làm việc của dây chuyền không

4.

quá 6 giờ nên 2 x+3 y ≤ 6 hay 2 x+3 y −6 ≤0 .

+ GV gọi 1- 2 HS lên bảng trình bày Do sản lượng sản phẩm loại A không ít hơn 3
bài.

lần sản lượng sản phẩm B nên x ≥ 3 y hay

+ HS ở dưới nhận xét và bổ sung bài x−3 y ≥0.
làm.

Lợi nhuận thu được là P=5 x +9 y (triệu đồng)

+ GV chốt đáp án.

Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến
tính:
P=5 x +9 y → max

Với ràng buộc

{

2 x +3 y−6 ≤ 0
x−3 y ≥ 0
x≥0
y ≥0

Tập phương án Ω là miền tam giác OAB như

( )

2
hình bên, trong đó O ( 0 ; 0 ) , A ( 3 ; 0 ) , B 2 ; 3 .

Giá trị của P tại các đỉnh:

( 23 )=16

P ( 0 ; 0 )=0; P ( 3 ; 0 ) =15; P 2;

( )

2
Từ đó, max P=P 2; 3 =16.
Ω

Vậy để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần
200

sản xuất 200 tấn sản phẩm loại A và 3 tấn
sản phẩm loại B. Khi đó, xí nghiệp thu được
16 triệu đồng lợi nhuận.
Thực hành 4
Gọi x , y ¿, tính theo 100g) lần lượt là khối
lượng của thịt bò loại I và loại II cần dùng.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

Từ điều kiện cung cấp tối thiểu 630 g protein

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp và 210 g lipid, ta có hệ bất phương trình
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu
cầu, thảo luận nhóm.

+18 y ≥ 630
{3,521xx+10,5
y ≥210

- GV quan sát hỗ trợ.

Hay

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

x+6 y −210 ≥0
{7 x+3
y −60 ≥0

Ta có 220 nghìn đồng/kg = 22 nghìn

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình đồng/100g; 210 nghìn đồng/kg = 21 nghìn
bày
đồng/100g.
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung Chi phí để mua hai loại thịt bò là:
cho bạn.
F=22 x+21 y (nghìn đồng).
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
Từ đó, ta nhận được bài toán:
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
F=22 x+21 y → min
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào
vở.

Với ràng buộc

{

7 x+6 y −210 ≥0
x+3 y −60 ≥0
x≥0, y≥0

Tập phương án Ω của bài toán là miền không
gạch chéo trên hình bên, có các đỉnh là
A ( 0 ; 35 ) , B ( 18 ; 14 ) và C ( 60 ; 0 ) .

Giá trị của F tại các đỉnh:
F ( 0 ; 35 ) =735 , F (18 ; 14 )=690 ,
F ( 60 ; 0 )=1320 .
F=690, đạt được khi x=18 , y=14 .
Suy ra min
Ω

Vậy cần chọn 18.100 g = 1,8 kg thịt bò loại I
và 14. 100 g = 1,4 kg thịt bò loại II.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 1 ; 2 (SGK) và các
bài tập trắc nghiệm.

c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS. HS nhận biết và giải các bài toán quy
hoạch tuyến tính.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổ chức cho HS trả lời các câu hỏi TN nhanh
Phần 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Khoanh vào chữ cái đặt trước
câu trả lời đúng).
Câu 1. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau :
3 x+ 2 y → min

Với ràng buộc

{

x− y ≥−4
x +2 y ≤ 14
5 x +2 y ≤30
x, y≥0

A. 8.
B. 12.
C. 22.
D. 30.
Câu 2. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
F=3 x+ 4 y ⟶ max

Với ràng buộc

{

2x+ y ≤8
x+2 y ≤6
x≥0
y≥0

Chọn đáp án đúng:
F=24 tại điểm (2 ; 2) .
A. max
Ω
F=22 tại điểm (2 ; 2).
B. max
Ω

F=20 tại điểm (4 ; 2) .
C. max
Ω
F=28 tại điểm ( 4 ; 4) .
D. max
Ω

Câu 3. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
F=5 x+ 6 y ⟶ min

Với ràng buộc

{

x+2 y ≥ 4
2 x+ y ≥ 5
x≥0
y≥0

Chọn đáp án đúng:
F=10 tại điểm (1 ; 2).
A. min
Ω
F=8 tại điểm (2 ; 1).
B. min
Ω
F=12 tại điểm (0 ; 4).
C. min
Ω
F=14 tại điểm (1 ; 1).
D. min
Ω

Câu 4. Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M 1 , M 2 sản xuất hai loại sản phẩm kí
hiệu là I và II . Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi
1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M 1 trong 3 giờ
và máy M 2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M 1 trong 1
giờ và máy M 2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại
sản phẩm. Máy M 1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M 2 một ngày chỉ
làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.
A. Mỗi ngày cần sản xuất 2 tấn sản phẩm loại I và 2 tấn sản phẩm loại II.
B. Mỗi ngày cần sản xuất 3 tấn sản phẩm loại I và 1 tấn sản phẩm loại II.
C. Mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II.
D. Mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 1 tấn sản phẩm loại II.
Câu 5. Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 8 ha. Nếu trồng đậu thì
cần 20 công nhân và thu 3 000 000 đồng trên một ha, nếu trồng cà thì cần 30 công

nhân và thu 4 000 000 đồng trên một ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là
bao nhiêu để thu được nhiều nhất khi tổng số công nhân không quá 180?
A. Trồng 4 ha đậu và 4 ha cà.
B. Trồng 5 ha đậu và 3 hà cà.
C. Trồng 2 ha đậu và 6 ha cà.
D. Trồng 6 ha đậu và 2 ha cà.
Phần 2: Câu trắc nghiệm đúng sai (Đúng ghi Đ, sai ghi S)
Câu 1: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn
mỗi ngày. Mỗi ki-lô-gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng
gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt
bò là 45 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 35 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kg thịt
bò và y kg thịt lợn.
a) Bất phương trình biểu diễn số đơn vị protein là 800 x+ 600 y ≤ 900.
b) Bất phương trình biểu diễn số đơn vị lipit là 200 x+ 400 y ≥ 400.
c) Hàm mục tiêu của bài toán là T =45 x +35 y ⟶ min.
d) Giá đình đó mua 0,7 kg thịt bò và 0,6 kg thịt lợn thì chi phí thấp nhất.
Câu 2: Một nhà dinh dưỡng muốn thiết lập một chế độ ăn uống hàng ngày cho một
bệnh nhân với hai loại thực phẩm: Thực phẩm X và Thực phẩm Y. Mục tiêu là tối ưu
hóa chi phí chế độ ăn uống hàng ngày trong khi đảm bảo bệnh nhân nhận đủ các chất
dinh dưỡng cần thiết. Thông tin như sau:
i) Thực phẩm X chứa 10 đơn vị vitamin C và 5 đơn vị vitamin D mỗi khẩu phần, thực
phẩm Y chứa 6 đơn vị vitamin C và 8 đơn vị vitamin D mỗi khẩu phần.
ii) Bệnh nhân cần ít nhất 100 đơn vị vitamin C và ít nhất 60 đơn vị vitamin D.
iii) Bệnh nhân có thể tiêu thụ tối đa 20 khẩu phần thực phẩm X và 15 khẩu phần thực
phẩm Y mỗi ngày.
Biết giá tiền một khẩu phần thực phẩm X là 12 đồng, giá một khẩu phần thực phẩm Y
là 15 đồng.
Giả sử x và y lần lượt là số khẩu phần thực phẩm X và Y mỗi ngày.

a) Hàm biểu diễn số tiền phải trả mỗi ngày là T =12 x+15 y .
b) Bất phương trình biểu diễn số vitamin C mỗi ngày một người cần là 10 x+ 6 y ≥ 100.
c) Bất phương trình biểu diễn giới hạn tiêu thụ của khẩu phần X là 0 ≤ x ≤ 15.
d) Một người nên tiêu thụ 5 khẩu phần thực phẩm X và 5 khẩu phần thực phẩm Y để
tổng chi phí thấp nhất.
Phần 3: Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu,
9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước
cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; phá chế 1 lít nước táo cần 10 g
đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng,
mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế báo nhiêu lít nước cam
để số điểm thưởng là lớn nhất.
Câu 2: Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất 12 viên kim cương to và 9
viên kim cương nhỏ. Từ 1 tấn Cacbon loại 1 (giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất
được 6 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ, từ 1 tấn Cacbon loại 2 (giá 40
triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 2 viên kim cương nhỏ. Mỗi
viên kim cương to có giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ có giá 10 triệu đồng.
Hỏi trong một tháng công ty này thu về được nhiều nhất là bao nhiêu tiền? Biết rằng
mỗi tháng chỉ có thể sử dụng tối đa 4 tấn Cacbon mỗi loại.
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 1 ; 2 (SGK -tr.13+14).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn
thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các học sinh, ghi nhận và tuyên
dương
Kết quả:
Phần 1:
1

2

3

4

5

C

A

B

C

D

Phần 2:
Câu

Câu 1

Câu 2

a)

S

Đ

b)

Đ

Đ

c)

Đ

S

d)

S

S

Phần 3:
Câu

1

2

Trả lời

4

280 triệu

BÀI TẬP
1.
Tập phương án Ω của bài toán là miền ngũ giác ABCDE trên hình bên với các đỉnh
A ( 0 ; 5 ) , B ( 1,5 ;5 ) ,C ( 3; 2 ) , D ( 3; 0 ) , E (0 ;1).

Giá trị của F tại các đỉnh :
F ( 0 ; 5 ) =25 ; F ( 1,5 ;5 )=37 , F ( 3 ; 2 )=34 , F (3 ; 0 )=24 , F ( 0 ; 1 ) =5
F=F ( 1,5 ; 5 )=37 ; min F=F ( 0 ;1 )=5.
Vậy max
Ω
Ω

2.
Tập phương án Ω của bài toán là miền không gạch chéo trên hình bên với các đỉnh
A ( 0 ;8 ) , B

( 58 ; 85 ) và C (4 ; 1).

Giá trị F tại các đỉnh :
F ( 0 ; 8 )=160 , F

( 85 ; 85 )=48 , F ( 4 ; 1)=60.

8

F=48 đạt được khi x= y =
Vậy min
Ω
5

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập.
c) Sản phẩm: Kết quả thực hiện các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Bài tập: đại diện HS trình bày kết quả, các HS khác theo dõi, đưa ý kiến.
Bước 4: Kết luận, nhận định
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay mắc
phải.
Gợi ý đáp án:
3.
Gọi x , y ( x , y ∈ N ) lần lượt là số thuyền loại A, loại B cơ sở đóng được trong một
tuần.
Cơ sở chỉ bố trí được tối đa 120 giờ lao động nên 10 x+15 y ≤ 120 hay 2 x+3 y −24 ≤ 0.
Mỗi tuần cơ sở bán được tối đa 6 thuyền loại A và bán được tối thiểu 2 thuyền loại B
nên x ≤ 6 và y ≥2.
Lợi nhuận thu được là P=0,5 x +0,7 y (triệu đồng).
Từ đó, ta nhận được bài toán :
P=0,5 x +0,7 y ⟶ max

Với ràng buộc

{

2 x +3 y−24 ≤0
0 ≤ x ≤6
y≥2

Tập phương án Ω của bài toán là miền tứ giác ABCD với A ( 0 ;2 ) , B ( 6 ; 2 ) ,C (6 ; 4) và
D(0 ; 8).

Giá trị của P tại các đỉnh :
P ( 0 ; 2 )=1,4 ; P ( 0 ; 8 )=5,6; P ( 6 ; 4 )=5,8 ; P ( 6 ; 2 )=4,4.
P=P ( 6 ; 4 ) =5,8(triệu đồng).
Suy ramax
Ω

Vậy mỗi tuần cơ sở đó nên đóng 6 chiếc thuyền loại A và 4 chiếc thuyền loại B thì
thu được lợi nhuận cao nhất là 5,8 triệu đồng
4.
Gọi x , y ( x ≥ 0 , y ≥ 0) lần lượt là số bánh bao loại X, loại Y làm được.
Theo đề bài, ta có khối lượng bột mì tối đa là 3kg = 300g nên 100 x+150 y ≤ 3000 hay
2 x+3 y ≤ 60.

Ta có khối lượng thịt nạc vai tối đa là 1,2kg = 1200g nên 60 x+ 30 y ≤ 1200 hay
2 x+ y ≤ 40.

Từ đó, ta nhận được bài toán :
F=x + y ⟶ max

Với ràng buộc

{

2 x +3 y ≤60
2 x + y ≤ 40
x≥0, y≥0

Tập phương án Ω của bài toán là miền tứ giác OABC được tô màu như hình dưới đây
với các đỉnh O(0 ; 0), A (0 ;20), B(15 ;10) và C (20 ;0).

Giá trị của F tại các đỉnh :
F ( 0 ; 0 )=0 ; F ( 20 ; 0 ) =20 ; F ( 15; 10 )=25 ; F ( 0 ;20 ) =20.
F=P ( 15 ;10 )=25.
Do đó, max
Ω

Vậy có thể làm được nhiều nhất 25 chiếc bánh bao từ 3 kg bột mì và 1,2 kg thịt nạc
vai có sẵn.
5.
Gọi x , y ¿) lần lượt là khối lượng thực phẩm X và Y cần chọn.
Từ yêu cầu khối lượng tối thiểu của các vi chất calcium, phosphorus, iron, ta có các
bất phương trình :

{

{

2 x+ 5 y ≥ 2000
2 x+ 5 y ≥ 2000
6 x +3 y ≥ 3000 hay 2 x+ y ≥ 1000
0,08 x+ 0,06 y ≥ 48
4 x +3 y ≥2400

Lượng thực phẩm hỗn hợp nhận được là M =x + y (g).
Từ đó, ta nhận được bài toán :
M =x + y → min

Với ràng buộc

{

2 x+ 5 y ≥ 2000
2 x+ y ≥ 1000
4 x +3 y ≥2400
x≥0; y≥0

Tập phương án Ω của bài toán là miền không bị gạch chéo trên hình dưới đây, có các

(

)

3000 1600
đỉnh là A(1 000 ;0), B 7 ; 7 , C(300 ; 400) và D(0 ; 1 000).

Miền Ω nằm trong góc phần tư thứ nhất, các hệ số của hàm mục tiêu M dương nên M
đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của Ω.
Giá trị của M tại các đỉnh :
M (1000 ; 0 )=1000 ; M

1600 4600
;
=
;
( 3000
7
7 )
7

M (300 ; 400 )=700 ; M ( 0; 1000 )=1000.
4600

Suy ra min M = 7
Ω
Vậy cần dùng

3000

1600

đạt được khi x= 7 ; y= 7 .

3000
1600
g thực phẩm loại X và 7 g thực phẩm loại Y thì lượng thực
7

phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất.
* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Chuẩn bị bài mới: "Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu.”

Đây là demo giáo án Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo
Thày cô liên hệ 0969 325 896 ( có zalo ) để có trọn bộ cả năm bộ giáo án trên.
Có đủ Word và PowerPoint đồng bộ
Có giáo án tất cả các môn học cho 3 bộ sách giáo khoa mới
CÁNH DIỀU, KẾT NỐI TRI THỨC, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Thày cô xem và tải tài liệu tại website: tailieugiaovien.edu.vn
https://tailieugiaovien.edu.vn