CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CĂN BẢN
1. Tọa độ của véc tơ và tọa độ của điểm
Véc tơ

Điểm

Véc tơ

Điểm
;
thì

và

Tọa độ trung điểm I của AB:

Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:


2. Các phép toán
Cho
thì

;


cùng phương với

3. Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ
Trong không gian Oxyz cho

3.1.Tích vô hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véc tơ là một số:

Biểu thức tọa độ:
;

Độ dài véc tơ:

Góc giữa hai véc tơ:

3.2.Tích có hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau


Tính chất:



cùng phương với



Ứng dụng của tích có hướng:

đồng phẳng
(ba véc tơ có giá song song hoặc nằm trên một mặt phẳng).

không đồng phẳng
.
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
(bốn điểm nằm trên một mặt phẳng).
Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
(bốn đỉnh của một tứ diện).
Diện tích hình bình hành:

Diện tích tam giác:
;

Thể tích khối hộp:

Thể tích tứ diện:

4. Phương trình mặt cầu
Dạng 1:
(1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R.
Dạng 2:
(2) , với điều kiện
là
phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) và bán kính
.
5. Phương trình mặt phẳng
Véc tơ
vuông góc với mặt phẳng
được gọi là VTPT của mặt phẳng
.
Véc tơ
có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
được gọi là VTCP của mặt phẳng
.
Nếu
là hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
thì
là một VTPT của mặt phẳng
.
Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì
là một VTPT của mặt phẳng (ABC).
Mặt phẳng
đi qua điểm
và có VTPT
có phương trình


.
Phương trình dạng
được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng với VTPT
.
6. Phương trình đường thẳng
Véc tơ
có giá song song hoặc trùng với đường thẳng
được gọi là VTCP của đường thẳng
.
Đường thẳng
đi qua điểm
và có VTCP
, khi đó
+ Phương trình tham số là:
, t gọi là tham số.
+ Phương trình chính tắc là:
.

Nếu hai mặt phẳng
và
giao nhau thì
hệ phương trình:
được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng
trong không gian.
7. Khoảng cách
7.1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho điểm
và mp
thì:


7.2. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song
Cho đường thẳng
:
,
là một điểm thuộc



7.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng song song
và
, khi đó


trong đó
là một điểm

7.4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng

; được tính bởi CT:


7.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nếu đường thẳng
đi qua điểm
và có

Đường thẳng
đi qua điểm
và có
thì


Lưu ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm nằm trênđường thẳng này đến đường thẳng còn lại, nghĩa là

,
.
8. Vị trí tương đối
8.1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho
và
khi đó
+

+

+
và
cắt nhau

+
và
vuông góc vớ nhau

8.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng



Xét hệ phương trình
, khi đó
+
, hay hệ phương trình (I) có vô số nghiệm.
+
, hay
và hệ (I) vô nghiệm.
+
và
cắt nhau
và hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
.
+
và
chéo nhau
và hệ phương