MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ II. DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI........................................................................................................... 2
CHỦ ĐỀ 1. DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI – ĐIỆN TRỞ. ĐỊNH LUẬT ÔM CHO ĐOẠN M ẠCH CH Ỉ CÓ
ĐIỆN TRỞ.............................................................................................................................................................. 2
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI......................................................................................... 6
2. ĐIỆN TRỞ TƯƠNG ĐƯƠNG................................................................................................................... 7
3. ĐOẠN MẠCH NỐI TIẾP, SONG SONG................................................................................................. 17
CHỦ ĐỀ 2. MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ. MẠCH CẦU CÓ TỤ ĐIỆN.............................................................40
1. MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ........................................................................................................................... 41
2. MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ CÓ TỤ ĐIỆN.................................................................................................. 54
CHỦ ĐỀ 3. ĐIỆN TRỞ PHỤ TRONG CÁC DỤNG CỤ ĐO ĐIỆN............................................................56
CHỦ ĐỀ 4. ĐỊNH LUẬT ÔM CHO TOÀN MẠCH – ĐỊNH LUẬT ÔM TỔNG QUÁT............................68
1. ĐỊNH LUẬT ÔM CHO TOÀN MẠCH..................................................................................................... 72
2. ĐỊNH LUẬT ÔM CHO CÁC LOẠI ĐOẠN MẠCH................................................................................. 94
CHỦ ĐỀ 5. ĐIỆN NĂNG. CÔNG SUẤT ĐIỆN. ĐỊNH LUẬT JUN – LENXƠ.........................................135

CHUYÊN ĐỀ II. DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI
CHỦ ĐỀ 1. DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI – ĐIỆN TRỞ. ĐỊNH LUẬT ÔM CHO ĐOẠN MẠCH CHỈ
CÓ ĐIỆN TRỞ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
I. DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI
1-Dòng điện
-Dòng điện là dòng chuyển dời có hướng của các hạt mang

I

điện. Chiều của dòng điện được quy ước là chiều chuyển động
của các điện tích dương (ngược với chiều chuyển động của các
êlectron trong kim loại) .
-Dòng điện không đổi (một chiều) là dòng điện có chiều và cường độ không thay đổi theo thời gian.
2-Cường độ dòng điện

-Cường độ dòng điện là đại lượng đặc trưng cho tính “mạnh”, “yếu” của dòng điện và được đo bằng điện
lượng tải qua một tiết diện của dây dẫn trong một đơn vị thời gian:
I=
-Với dòng điện không đổi thì: I =

(5.1)
= const.

3-Đơn vị cường độ dòng điện. Đo cường độ dòng điện
-Trong hệ SI, đơn vị cường độ dòng điện là ampe (A) . Ngoài ra, người ta cũng hay dùng các ước của ampe:
1 miliampe (mA) = 10-3A; 1 micrôampe (

) = 10-6A

-Để đo cường độ dòng điện người ta dùng ampe kế và mắc nối tiếp vào đoạn mạch cần đo cường độ dòng
điện.
II. ĐIỆN TRỞ. ĐỊNH LUẬT ÔM CHO ĐOẠN MẠCH ĐIỆN TRỞ
1-Điện trở
-Điện trở của đoạn mạch là đại lượng đặc trưng cho khả năng cản trở dòng điện của đoạn mạch.
-Điện trở của dây dẫn kim loại hình trụ: R =
(

(5.2)

là điện trở suất; l là chiều dài; S là tiết diện) .

-Điện trở phụ thuộc vào nhiệt độ: R = R0(1+ t) hay

(5.3)

(R0 là điện trở dây dẫn ở 0oC; R là điện trở dây dẫn ở toC; với kim loại
2-Định luật Ôm cho đoạn mạch (điện trở) : I =
3-Ghép các điện trở
a) Ghép nối tiếp:
I = I1 = I 2 = … = I n

(5.5)

U = U1 + U2 + … + Un

(5.6)

(5.4)

>0, với chất điện phân

<0) .

R = R1 + R 2 + … + Rn

(5.7)

b) Ghép song song:
I = I1 + I 2 + … + I n

(5.8)

U = U1 = U2 = … = Un

(5.9)
(5.10)

Chú ý:
-Với đoạn mạch nối tiếp: R > Ri;

(chia thế, tỉ lệ thuận) .

-Với đoạn mạch song song: R < Ri;

(chia dòng, tỉ lệ nghịch) .

B. NHỮNG CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP
VỀ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG
-Vì dòng điện là dòng chuyển dời có hướng của các hạt mang điện nên để có dòng điện cần có: hạt mang
điện và điện trường đặt vào. Dòng điện có thể xuất hiện trong các môi trường khác nhau như kim loại, chất
điện phân, chất bán dẫn, chất khí ...; ở đây ta chỉ xét dòng điện không đổi một chiều trong các vật dẫn kim
loại.
-Khi đo cường độ dòng điện bằng ampe kế cần chú ý đến sự phân cực của ampe kế: cực dương (+) của ampe
kế được nối với nơi có điện thế cao và cực âm (-) của ampe kế được nối với nơi có điện thế thấp của đoạn
mạch.
-Ngoài cường độ dòng điện, để đặc trưng cho dòng điện chạy trong môi trường bất kì cả về chiều và cường
độ người ta còn dùng khái niệm mật độ dòng điện. Mật độ dòng điện là đại lượng có trị số bằng điện lượng
chuyển qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với vận tốc của hạt mang điện trong một đơn vị thời gian:
i=

= q0nv (đại số) ;

(vectơ)

(n là mật độ hạt mang điện; q0 là điện tích của một hạt mang điện;

là vận tốc của các hạt mang điện) .

-Đối với các đoạn mạch điện trở phức tạp, để tính điện trở tương đương của đoạn mạch, ta sử dụng các quy
tắc tính “Điện trở tương đương” sau:
+Các quy tắc biến đổi tương đương:
*Quy tắc 1: Chập các nút có cùng điện thế (thường với đoạn mạch có R = 0) hoặc tách một nút thành nhiều
nút có cùng điện thế.
*Quy tắc 2: Chập các nút đối xứng nhau qua một trục (mạch điện phẳng) hoặc một mặt phẳng (mạch điện
không gian) qua đầu ra – vào của mạch điện (vì có cùng điện thế) ; tách một nút thành nhiều nút thì các nút
này phải nằm đối xứng nhau qua một trục (mạch điện phẳng) hoặc một mặt phẳng (mạch điện không gian)
qua đầu ra – vào của mạch điện.
*Quy tắc 3: Bỏ qua đoạn mạch không có dòng điện đi qua (đoạn mạch có điện trở rất lớn) .
*Quy tắc 4: Biến đổi mạch hình tam giác thành mạch hình sao: Ta có:

Đoạn mạch AB: R12 + R13 =

.

Đoạn mạch AC: R12 + R23 =

.

A

R12

R1
R13

Đoạn mạch BC: R13 + R23 =

R2

R23

.
B

Từ đó: R12 + R13 + R23 =

R3

C

Và
*Quy tắc 5: Biến đổi mạch hình sao thành mạch hình tam giác:
Từ các biểu thức xác định R12, R23 và R13 ở Quy tắc 4, ta được:
R12 + R13 =



R12 + R13 = R1 -



R12 + R13 = R1 -

=

= R1 =>

Tương tự, ta xác định được R2, R3. Cuối cùng:

+Các đoạn mạch có số điện trở vô cùng nhiều: Lúc này điện trở tương đương của mạch sẽ không phụ thuộc
vào số lượng mắc xích nên có thể coi điện trở tương đương của cả mạch (n mắc xích) bằng điện trở tương
đương của mạch gồm (n-1) mắc xích: Rn = Rn-1, từ đó tính được Rn.
VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
. Với dạng bài tập về đại cương về dòng điện không đổi. Phương pháp giải là:
-Sử dụng các công thức:

+Cường độ dòng điện:

;

+Mật độ dòng điện: i =

(dòng điện không đổi) .

= q0nv.

+Tại một nút mạch: I1 + I2 + ... = I1' + I2' + ... (Ivào = Ira) .
+Trên một đoạn mạch gồm nhiều đoạn mạch thành phần nối tiếp: U = U1 + U2 +....
(q là điện lượng qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong thời gian t; n là mật độ hạt mang điện; q 0 là điện tích
của một hạt mang điện; v là vận tốc trung bình của các hạt mang điện) .
-Một số chú ý:
+Đơn vị của các đại lượng: q(C) ; t(s) ; i(A/m2) ; S(m2) ; v(m/s) ; n(hạt/m3) .
+Trong kim loại, hạt mang điện là êlectron nên: q0 = e = 1,6.10-19C.
. Với dạng bài tập về điện trở tương đương của đoạn mạch. Phương pháp giải là:
-Sử dụng các công thức:
+Công thức định luật Ôm (R =

) ; công thức R =

, công thức R = R0(1+ t) .

( là điện trở suất của chất làm vật dẫn; l, S là chiều dài và tiết diện dây dẫn hình trụ; R 0 là điện trở vật dẫn ở
0oC;

là hệ số nhiệt điện trở) .

+Các quy tắc tính “Điện trở tương đương” đối với các mạch điện trở ghép với nhau:
*Ghép đơn giản: Dùng các công thức tính điện trở đoạn mạch nối tiếp, song song.
*Ghép phức tạp: Dùng các Quy tắc biến đổi tương đương ở mục Về kiến thức và kỹ năng.
-Một số chú ý:
+Gọi R1, R2 là điện trở vật dẫn ở nhiệt độ t1 và t2, một cách gần đúng, ta có:
R2

R1[1 +

(t2 – t1) ] và 2

1[1 +

(t2 – t1) ]

+Khi xác định phương án và số lượng điện trở cần mắc vào đoạn mạch, cần chú ý:
Rđm > R1, R2, …: mắc nối tiếp
Rđm < R1, R2, …: mắc song song
. Với dạng bài tập về đoạn mạch nối tiếp, song song. Phương pháp giải là:
-Sử dụng các công thức:
+Định luật Ôm:

.

+Các tính chất của đoạn mạch nối tiếp, song song ở mục Về kiến thức và kỹ năng.
+Các bài toán “chia thế” (đoạn mạch nối tiếp) , “chia dòng” (đoạn mạch song song) .
-Một số chú ý:
+Với các đoạn mạch phức tạp, cần sử dụng các quy tắc “Điện trở tương đương” để vẽ lại mạch điện từ đó
xác định cấu trúc của đoạn mạch.
+Với đoạn mạch chứa tụ điện, khóa K hoặc vôn kế lý tưởng: dòng điện không qua được đoạn mạch đó.
C. CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. ĐẠI CƯƠNG VỀ DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI
5.1. Một dòng điện không đổi có I = 4,8A chạy qua một dây kim loại tiết diện thẳng S = 1cm2. Tính:
a) Số electron qua tiết diện thẳng của dây trong 1s.
b) Vận tốc trung bình của chuyển động định hướng của electron.
Biết mật độ electron tự do n = 3.1028 (hạt/m3) .
Bài giải:
a) Số electron qua tiết diện thẳng của dây trong 1s

q ne
=
Ta có: I = t t
=>

It 4,8. 1
=
=3. 1019
−19
n = e 1,6 . 10

Vậy: Số electron qua tiết diện thẳng của dây trong 1s là n = 3.1019.
b) Vận tốc trung bình của chuyển động định hướng của electron

I
=nqv
Ta có: Mật độ dòng điện: i = S
=>

v=

.

Vậy: Vận tốc trung bình của chuyển động định hướng của electron là v = 0,01(mm/s) .
5.2. Trong khoảng thời gian 10s, dòng điện qua dây dẫn tăng đều từ I 1 = 1A đến I2 = 4A. Tính cường độ
dòng điện trung bình và điện lượng qua dây trong thời gian trên.
Bài giải:

I 1+ I 2
-Cường độ dòng điện trung bình: I =

2

=

1+4
=2,5 A
2

-Điện lượng qua dây trong thời gian trên: q = It = 2,5.10 = 25 C.
5.3. Tụ phẳng không khí có bản cực hình vuông cạnh a = 20cm, khoảng cách d = 2mm, nối với nguồn U =
500V. Đưa một tấm thủy tinh có chiều dày d' = 2mm, hằng số điện môi ε = 9 vào tụ với vận tốc không đổi v
= 10(cm/s) . Tìm cường độ dòng điện trong mạch trong thời gian đưa tấm điện môi vào tụ. Cường độ này có
thay đổi trong thời gian nói trên không?
Bài giải:
2
εS
S
a
=
-Điện dung của tụ trước khi đưa tấm thủy tinh vào: C = k . 4π d k . 4π d = k. 4π d .

-Điện dung của tụ khi đưa tấm thủy tinh có bề dày d' = d vào:
'

2

ε S 9S
9a
=
C' = k . 4π d k . 4π d = k. 4π d
-Quãng đường đưa tấm thủy tinh vào tụ: s = a.

s a 20
Δt= = = =2 s
v v 10
-Thời gian đưa tấm thủy tinh vào tụ:
.

Δq
U (C'-C)
-Cường độ dòng điện trong mạch: I = Δt = Δt
2

=>

2

U .8a
8 .500 . 0,2
=
=3 , 54 . 10−7 A
9
−3
I = k . 4π d . Δ t 9 .10 .4π . 2 .10 .2
.

-Vì tấm thủy tinh chuyển động đều nên I không đổi.
Vậy: Cường độ dòng điện trong mạch là I = 3,54.10-7 A = const.
5.4. Bốn vật dẫn được nối bằng các dây dẫn như hình vẽ.

(1) M (2)

A

Biết UAB = 12V; UAM = 8V; I = 6A; I1 = 3A; I3 = 5A.

I

(4)

B

N

I1

Chiều của I, I1, I3 được cho như hình. Tìm cường độ dòng

I3

điện và hiệu điện thế trên mỗi vật dẫn còn lại. Cho biết các

I

(3)

điểm trên cùng một dây dẫn sẽ có cùng điện thế.
Bài giải:
-Mạch điện được vẽ lại như sau:
-Theo tính chất của đoạn mạch nối tiếp, song song:

I1

(1)

Ta có: UAB =12 V; UAM = 8 V.

I2

(2)

I4

(4)



I = 6 A; I1 = 3 A; I3 = 5 A.
=>

I2 = I3 – I1 = 5 – 3 = 2 A.

I3 (3)
M
B

I4 = I – I3 = 6 – 5 = 1 A.
UNM = UAM = 8 V; UNB = UAB = 12 V; UMB = UAB – UAM = 12 – 8 = 4 V.
2. ĐIỆN TRỞ TƯƠNG ĐƯƠNG
5.5. Một tụ phẳng, chất điện môi giữa hai bản tụ có hằng số điện môi ε và điện trở suất ρ . Điện dung của tụ
là C. Tính điện trở của điện môi giữa hai bản tụ.
Bài giải:
Ta có: +Điện trở của điện môi: R =

ρ

l
S

εS
+Điện dung của tụ phẳng: C = k. 4π d

d=l

(1)

S

(2)

+Khoảng cách giữa 2 bản tụ điện bằng chiều dài điện trở của tụ điện: d = l.

d l
ε
= =
-Từ (2) suy ra: S S 4π kC

(3)
−9

εε 0 ρ
1 10
ρε
ε0=
=
=
4π k 36π .
C , với
-Thế (3) vào (1) , ta được: R = 4π k .C

εε 0 ρ
Vậy: Điện trở của điện môi giữa hai bản tụ là R =

C .

5.6. Hai dây dẫn, khi mắc nối tiếp có điện trở lớn gấp 6,25 lần khi mắc song song. Tính tỉ số điện trở của hai
dây.
Bài giải:

R1 R2
Ta có: R1 + R2 = 6,25. R 1 + R2 
2

2

( R1 + R 2 ) −6,25R 1 R2 =0

2

2

2



R1 +2R 1 R2 + R 2−6,25R 1 R2 =0  R1 −4,25R 1 R 2 + R2 =0



( R1 −2,125R2 ) =( 1,875R 2 )

=>

R1 = 4R2 (loại giá trị âm)

2

R1
=>

R2

=4

2

 R1 – 2,125R2 = 1,875R2

.

R1
Vậy: Tỉ số điện trở của hai dây là R 2

=4

.

5.7. Dây dẫn có điện trở R = 144. Phải cắt dây ra bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi mắc các đoạn đó song
song nhau, điện trở tương đương là 4.
Bài giải:

R
-Điện trở của mỗi đoạn dây sau khi cắt là: R0 = n .
-Điện trở tương đương của n đoạn dây giống nhau mắc song song là:
Rtđ =

=>

n=

R0
n

=

R
n2

√ √

R
144
R tđ = 4 = 6.

Vậy: Phải cắt dây dẫn thành 6 đoạn bằng nhau.
5.8. Ba điện trở R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3. Hỏi có bao nhiêu cách mắc các điện trở này với nhau. Tìm điện
trở tương đương trong mỗi trường hợp.
Bài giải:
Các cách mắc 3 điện trở R1, R2, R3 là:
-[R1 nt R2 nt R3]: Rtđ = R1 + R2 + R3 = 1 + 2 + 3 = 6.

1
1 1 1 1 1 1 11
6
= + + = + + =
≈0 ,55 Ω
R
R
R
R
1
2
3
6
1
2
3
-[R1 // R2 // R3]: tđ
=> Rtđ = 11
.
R2 R3
-[R1 nt (R2 // R3) ]: Rtđ = R1 + R 2 + R3

=1+

2 .3
=2,2 Ω
2+3
.

R 1 ( R2 + R 3 ) 1 .( 2+ 3) 5
=
= ≈0,83 Ω
R
+
R
+
R
1+2+3
6
1
2
3
-[R1 // (R2 nt R3) ]: Rtđ =
.

R1 R3
-[R2 nt (R1 // R3) ]: Rtđ = R2 + R 1 + R3

=2+

1 .3
=2,75 Ω
1+3
.

R 2 ( R1 + R 3 ) 2 .(1+ 3)
=
≈1,33 Ω
R
+
R
+
R
2+1+3
2
1
3
-[R2 // (R1 nt R3) ]: Rtđ =
.

R1 R2
-[R3 nt (R1 // R2) ]: Rtđ = R3 + R 1 + R2

=3+

1 .2
≈3,67 Ω
1+2
.

R 3 ( R1 + R 2 ) 3 .( 1+2)
=
=1,5 Ω
-[R3 // (R1 nt R2) ]: Rtđ = R3 + R1 + R2 3+ 1+ 2
.
Vậy: Có 8 cách mắc 3 điện trở R2, R1, R3 như trên.
5.9. Có hai loại điện trở R1 = 3, R2 = 5. Hỏi phải cần mỗi loại mấy cái để khi ghép nối tiếp, chúng có điện
trở tương đương là 55.
Bài giải:
Gọi x là số điện trở R1, y là số điện trở R2 cần dùng: x, y nguyên, dương..
-Điện trở tương đương khi hệ ghép nối tiếp: Rtđ = 3x + 5y = 55
=>

55−3x
5
y=
= 11 - 0,6x

-Vì y nguyên, dương nên: 11 – 0,6x ¿ 0 => x ¿18,3 .
+

x = 0 => y = 11

+

x = 5 => y = 8

+

x = 10 => y = 5

+

x = 15 => y = 2.

Vậy: Có 4 phương án chọn các điện trở R1, R2 để khi ghép nối tiếp điện trở tương đương của chúng là 55 Ω
gồm:
+mạch gồm 11 điện trở R2 ghép nối tiếp.
+mạch gồm 5 điện trở R1 và 8 điện trở R2 ghép nối tiếp.
+mạch gồm 10 điện trở R1 và 5 điện trở R2 ghép nối tiếp.
+mạch gồm 15 điện trở R1 và 2 điện trở R2 ghép nối tiếp.
5.10. Ba điện trở R1, R2, R3 được mắc theo sơ đồ bên. Biết khi đổi
chỗ các điện trở, ta có thể tạo được các mạch có điện trở 2,5; 4;
4,5.
Tính R1, R2, R3.
Bài giải:
Vì vai trò của R1, R2, R3 như nhau nên giả sử các cách mắc có điện trở tương đương tương ứng là:

( R1 + R2 ) . R 3
=2,5
R
+
R
+
R
1
2
3
+[(R1 nt R2) // R3]: Rtđ =
(1)
( R 1 + R3 ) . R 2
=4
R
+
R
+
R
1
2
3
+[(R1 nt R3) // R2]: Rtđ =

(2)

( R2 + R3 ) . R 1
=4,5
R
+
R
+
R
1
2
3
+[(R2 nt R3) // R1]: Rtđ =
(3)
-Từ (1)  R1R3 + R2R3 = 2,5(R1 + R2 + R3)

(4)

-Từ (2)  R1R2 + R2R3 = 4(R1 + R2 + R3)

(5)

-Từ (3)  R1R2 + R1R3 = 4,5(R1 + R2 + R3)

(6)

-Lấy (5) - (4) => R1R2 - R1R3 = 1,5(R1 + R2 + R3)

(7)

-Lấy (7) + (6) => 2R1R2 = 6(R1 + R2 + R3)
R1R2 = 3(R1 + R2 + R3)

(8)

-Thay (8) vào (5) => R2R3 = R1 + R2 + R3

(9)

-Thay (8) vào (6) => R1R3 = 1,5(R1 + R2 + R3)

(10)

R1
-Lấy (8) chia (9) : R 3

=3 => R 3 =

R1
-Lấy (10) chia (9) : R 2

R1
3

=1,5 => R 2=

(11)

R1
1,5

(12)

-Thay (11) và (12) vào (8) , ta được: R1
=>

R1 9
1 1
R1 9
+ )=9 Ω
= =6 Ω
= =3 Ω
R1 = 4,5.(1+ 1,5 3
; R2 = 1,5 1,5
; R3 = 3 3
.

Vậy: Giá trị của các điện trở là 3 Ω ; 6 Ω và 9 Ω .
5.11. Tìm hệ số nhiệt điện trở của dây dẫn biết ở nhiệt độ t 1 = 200C, dây có điện trở R1 = 100; ở nhiệt độ t 2
= 24000C, dây có điện trở R2 = 200.
Bài giải:
-Ở nhiệt độ t1:

R1 =R0 (1+αt1 )⇔100=R0 (1+α . 20)

(1)

-Ở nhiệt độ t2:

R2 =R0 (1+αt2 )⇔ 200=R0 (1+α . 2400)

(2)

-Lấy (2) chia (1) ta được:

2=

1+2400α
1+20α



2 + 40 α = 1 + 2400 α  2360 α = 1

=>

α = 4,24.10-4(độ-1) .

Vậy: Hệ số nhiệt điện trở của chất làm dây dẫn là α = 4,24.10-4(độ-1) .
5.12. Hai dây dẫn có hệ số nhiệt điện trở α 1 ,α2 , ở 00C có điện trở R01, R02. Tìm hệ số nhiệt điện trở chung
của hai dây khi chúng mắc:
a) Nối tiếp.
b) Song song.
Bài giải:
-Điện trở của hai dây dẫn ở nhiệt độ t: R1 = R01(1+ α 1 t) ; R2 = R02(1+ α 2 t) .
(với α 1 t, α 2 t <<1)
-Gọi R0 là điện trở chung của hai dây dẫn ở 00C; α là hệ số nhiệt điện trở chung của hai dây dẫn. Điện trở
chung của hai dây dẫn ở nhiệt độ t là:

R = R0(1 + α t)

(1)

a) Khi mắc nối tiếp:
R = R1 + R2 = R01(1+ α 1 t) + R02(1+ α 2 t)
=>

=>

R = (R01 + R02) + (R01 α 1 + R02 α 2 ) t

R = (R01 + R02)

[

1+

α=

-Từ (1) và (2) suy ra:

R01 α 1 +R 02 α 2
R01+R 02

t

]

(2)

R 01 α 1 + R02 α 2
R 01+ R 02

.

b) Khi mắc song song:

R1 R2
R01 (1+α 1 t ). R 02 (1+ α 2 t )
=
R = R 1 + R2 R01 ( 1+α 1 t )+ R 02( 1+ α 2 t )

=>

R 01 . R 02 ( 1+α 1 t )( 1+ α 2 t )
.
R01 . R02 ( 1+ α 1 t )( 1+α 2 t )
R 01 + R 02
R01 α 1 + R02 α 2
1+
t
R01 + R02
R = R 01+ R 02+ R01 α 1 t + R02 α 2 t ) =

-Với ε 1 ,ε 2 <<1 , ta có các công thức gần đúng:

( 1+ ε 1 )(1+ε 2 )≈1+ ε 1 + ε 2 ;

1+ ε 1
1+ ε 2

≈1+ ε 1 −ε 2

nên

(1+α 1 t )(1+α 2 t )≈1+(α 1 +α 2 )t

=>

1+(α 1 + α 2 ) t
R α +R α
≈1+( α 1 + α 2− 01 1 02 2 )t
R01 α 1 + R 02 α 2
R01 + R 02
1+
t
R01 + R 02

R 01 . R 02
=>

R=

R 01+ R 02

-Từ (1) và (3) suy ra:

[

1+

R01 α 2 + R02 α 1

α=

R01 + R02

t

]

R 01 α 2 + R02 α 1
¿

1+

R01 + R02

(3)

R 01 α 2 + R 02 α 1
R 01+ R 02

.

Vậy: Hệ số nhiệt điện trở chung của hai dây khi chúng mắc nối tiếp là
song song là

α=

R 01+ R 02

−1

R 01 α 1 + R02 α 2
R 01+ R 02

; khi chúng mắc

.
−5

−3

α=

R 01 α 2 + R 02 α 1
−3

5.13. Một thanh than ( ρ1 =4 . 10 Ωm ; α 1=−0,8. 10 K

α 2=6. 10 K

t

−1

−6

) và một thanh sắt ( ρ2 =1,2. 10 Ωm ;

) cùng tiết diện, mắc nối tiếp. Tìm tỉ số chiều dài hai thanh để điện trở của mạch không phụ

thuộc nhiệt độ.
Bài giải:
-Điện trở của thanh than và thanh sắt ở nhiệt độ t:

R1 = R01(1+ α 1 t) ; R2 = R02(1+ α 2 t)
-Khi hai thanh mắc nối tiếp thì điện trở tương đương của hai thanh là:
R = R1 + R2 = (R01 + R02) + (R01 α 1 + R02 α 2 ) t
-Để R không phụ thuộc vào nhiệt độ thì:
(R01 α 1 + R02 α 2 ) = 0  R01 α 1 = -R02 α 2

R01=ρ1

Mà:

l1
S ;

R02=ρ2

l2
S

l
l
ρ1 1 . α 1 =−ρ2 2 . α 2
S
S

=>

l1

ρ2 α 2

1,2. 10−7 . 6 .10−3
9
1
=−
=+
=
≈
−5
−3
l2
ρ1 α 1 4 .10 . 0,8. 10
400 44 .

=>

l1
Vậy: Để điện trở của mạch không phụ thuộc vào nhiệt độ thì tỉ số chiều dài hai thanh phải bằng l 2
5.14. Có 12 điện trở được ghép thành mạch như hình vẽ.

1

3

Các giá trị được cho bằng ôm () . Tính điện trở tương
đương của mạch điện.

A

1

2

2

điểm D.

1

6

điểm N.
-Mạch điện được vẽ lại như sau:

A

3
C

A

1

2

2

2

6

2

1 .2 2
3.6
= Ω
=2 Ω
Ta có: RAC = 1+2 3 ; RCM = 3+6
.

2
8
2.4 4
+2= Ω
= Ω
3 ; RMB = 2+4 3 .
RAM = 3
RAP = 2 + 2 = 4 Ω .

2

B

D
1
P

4

2

6

D

2
M,N

3

C

2

1

1

2

1

-Vì 3.4 = 2.6 => Mạch cầu cân bằng nên điểm M chập

1
44 .

2

Bài giải:
-Vì 1.6 = 2.3 => Mạch cầu cân bằng nên điểm C chập

≈

B
2

2

M
1
N
1

B
2

=>

RAM.RPB = RAP.RMB => mạch cầu cân bằng.

-Mạch điện được vẽ lại như sau:

R AM . R AP

+

RAM

RMB . RPB

=>

RAB = R AM + R AP

=>

8
4
.4
.2
3
3
+
=2,4 Ω
8
4
+4
+2
3
RAB = 3
.

RMB

A

RMB + RPB

B
RAP

RPB

Vậy: Điện trở tương đương của mạch điện là RAB = 2,4 Ω .

1
2

5.15. Các điện trở trong mạch có sơ đồ như hình bên đều có cùng giá
trị R. Tính điện trở giữa hai nút A và B.

A

3
B

Bài giải:
-Mạch điện được vẽ lại như sau:

4

5

-Điện trở tương đương của điện trở 1, 2, 4:

R
R124 = 3
-Điện trở tương đương của điện trở 1, 2, 3, 4:
1

R
4R
+ R=
3
R1234 = 3

A

B

2

-Điện trở tương đương của đoạn mạch AB:

4

R1234 . R5

3

5

RAB = R 1234 + R5

4R
.R
3
4R 3 4R
= . =
4R
3 7 7
+R
RAB = 3
.

4R
Vậy: Điện trở giữa hai nút A, B là RAB = 7 .
5.16. Cho mạch điện như các hình sau. Điện trở mỗi đoạn là r. Tìm điện trở toàn mạch trong mỗi hình.
B

B

A

B
A

B

A
A

Bài giải:
a) Hình 1:
M
i1
A

i1

N

i2
i3
i3

O

i2
i3
i3

P
i1
i1 B

K

-Ta thấy AM và AH, MN và HK, NP và KQ, PB và QB, MO và HO, OP và
OQ đối xứng với nhau qua trục quay Δ nên dòng điện qua các đoạn mạch
đối xứng sẽ bằng nhau và có chiều như hình vẽ.
-Vì vậy ta có thể nhả nút O mà không làm thay đổi dòng điện qua các đoạn
mạch:
-Vì điện trở mỗi đoạn bằng nhau nên đoạn mạch MNPO và HKQO là mạch cầu cân bằng nên cường độ dòng
điện qua NO và KO bằng không.
-Điện trở tương đương của đoạn mạch MP, HQ:

2r
=r
RMP = RHQ = 2

N
i2

M

-Điện trở tương đương của đoạn mạch ANB, AKB:

i1
A

i1
H

-Điện trở tương đương của đoạn mạch AB:

i2
i3

i3 O
i3
i2

2r
RAB =
= =r
R ANB + R AKB 2

B

i3
Q

i2

K

R ANB . R AKB

P

b) Hình 2:

C

-Đoạn mạch CM và CN, MP và PN, NB và AM, AP và BP đối xứng

i1

nhau qua trục CP nên dòng điện qua các đoạn mạch đối xứng sẽ bằng
nhau và có chiều như hình vẽ. Vì vậy ta có thể nhả nút P mà không
làm thay đổi dòng điện qua các đoạn mạch.

i1

M
A

i1

N
i2
P

i1

i1

i2
i1

-Điện trở tương đương của đoạn mạch MCN:

1

R MCN

=

1 1 1
2r r
+ + ⇒ RMCN = =
2r r 2r
4 2

C
i1

-Điện trở tương đương của đoạn mạch ACB:

RACB =r + RMCN +r=

M
i1

5r
=2,5r
2

A

-Điện trở tương đương của cả đoạn mạch AB:

RAB =

2,5r . 2r 10r
=
2,5r+2r 9 .

c) Hình 3:
-Vì lí do đối xứng, ta nhả các nút như hình vẽ:
B

Q

D

P

F

C

A

B

N
A E

M

i1

i2 i2
i1

N
i1
B

B

-Mạch điện sẽ tương đương:
RCD
r
r

r

r

r

r

r

r

REF

A

r
r

r

r

r

r

B

r
r

+Điện trở tương đương của đoạn CD: RCD = 4r.
+Điện trở tương đương của nửa phía trên:

R CD . 3r
R1 = r + R CD+ 3r

+r =r +

4r . 3r
26
+ r= r
4r +3r
7

+Điện trở tương đương của toàn mạch:

RAB =

26r 13r
=
7.2 7 .

d) Hình 4:
-Vì lí do đối xứng của mạch, ta chập các nút: B, D, A'; C, B', D'.
D'
A'

C'
C,B',D'

B'
D

A

A

C

C'

B,D,A'

B

r
-Điện trở tương đương của đoạn AB: RAB = 3 .

r
-Điện trở tương đương của đoạn BC: RBC = 6 .
r r r 5r
RAC' = + + =
3 6 3 6 .
-Điện trở tương đương của toàn mạch:
5.17. Cho mạch điện như hình, dây có tiết diện đều, điện trở của đoạn dây có chiều
dài bằng bán kính vòng tròn là r. Dòng điện đi vào ở tâm một vòng tròn và đi ra ở
tâm một vòng tròn khác. Tính điện trở của mạch.
Bài giải:
Gọi r là điện trở của bán kính, R là điện trở của 1/4 đường tròn.
-Mạch điện được vẽ lại như sau:
A
O1

r

C
O2

O1

R

A

R
E

2R
R

r

C
2R

R

O2

B

D

B

D

-Đoạn mạch O1E và EO2 là mạch cầu cân bằng.
-Điện trở tương đương của các đoạn O1E, EO2:
-Điện trở tương đương của đoạn O1O2:
-Ta có:

R=

RO

RO E =REO =
2

1

r +R
2 .

O =R O1 E + R EO2 =2
1 2

r+R
=r + R
2
.

2π r
=1,57r => RO O =r +1,57r=2,57r
1 2
4
.

Vậy: Điện trở tương đương của mạch là

RO

=2,57r

1 O2

.

Tương tự, bạn đọc hãy tính điện trở của mạch điện sau khi dòng điện đi vào ở tâm

.

một vòng tròn và đi ra ở tâm một vòng tròn khác.

.

(Kết quả: R = 1,1r) .

.

5.18. Một mạch điện có 5 nút. Giữa hai nút bất kì nào cũng đều có mắc một điện trở r. Tính điện trở tương
đương của mạch nếu dòng điện đi vào và đi ra tại hai nút bất kì. Xét trường hợp tổng quát mạch có N nút.
Bài giải:
Giả sử dòng điện vào nút 1 và ra nút 2:

(5)

-Khi giữa các cặp nút 3 và 4, 3 và 5, 4 và 5 có điện trở r thì cường độ
dòng điện vẫn không qua các điện trở này vì cầu cân bằng. Mạch điện

(4)

được vẽ lại như sau:

(3)

-Điện trở tương đương của toàn mạch:
(1)

1 1 1 1 1 5
2r
= + + + = => R=
R r 2r 2r 2r 2r
5 .
-Nếu mạch có N nút thì:

R=

(2)

2r
N .

5.19. Cho mạch điện như hình bên R1 = 0,4; R2 = 8, số ô

A

điện trở là vô tận.
Tìm điện trở tương đương của mạch.
Bài giải:

R1

R1
R2

R2

R1
R2

B

-Vì mạch điện dài vô hạn nên đoạn mạch từ CD trở đi tương đương với cả đoạn mạch AB.
-Gọi R là tương đương của đoạn mạch (R = RAB = RCD) :

R=R 1 +


R2 R
R 2+ R

=0,4 +

8R
8+ R

A

2

R1

C R1
R2

R2

8R+R =3,2+8,4R
B

D

R1
R2


=>

2

R −0,4R−3,2=0
8
− Ω
R = 2; R' = 5 (loại) .

Vậy: Điện trở tương đương của mạch là R = 2.

1
1
Ω
Ω
2
n
5.20. Cho đoạn mạch gồm n điện trở R1 = 1; R2 =
; ……Rn =
mắc song song. Tìm điện trở tương
đương của mạch.
Bài giải:

1 1 1
1
n(n+1)
= + +.. .+
R
R
R
R
2
1
2
n = 1 + 2 + ... + n =
Ta có:
.
=>

2
R = n(n+1) .

A
R1

2
Vậy: Điện trở tương đương của mạch là R = n(n+1) .

R2

Rn

B

3. ĐOẠN MẠCH NỐI TIẾP, SONG SONG
−8

5.21. Cuộn dây đồng ( ρ=1,75 .10 Ωm ) có n = 1000 vòng, đường kính mỗi vòng là d = 6cm. Mật độ dòng
điện cho phép qua cuộn dây i = 2(A/mm2) . Tìm hiệu điện thế lớn nhất có thể đặt vào cuộn dây.
Bài giải:
-Cường độ dòng điện cho phép qua cuộn dây: I = iS = 2.106. π r2.

l
nπ d
nπ d
ρ =ρ
=ρ 2
S
πr .
-Điện trở của cuộn dây đồng: R = S
-Hiệu điện thế lớn nhất đặt vào cuộn dây: Umax = IR = 2.106.
=>

πr 2 . ρ

nπ d
πr 2 .

Umax = 2.106.1,75.10-8.1000. π .0,06 ¿6,6 V .

Vậy: Hiệu điện thế lớn nhất có thể đặt vào cuộn dây là Umax ¿ 6,6 V .
5.22. Đoạn mạch gồm 4 đoạn dây cùng độ dà