CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI À HẰNG ĐẲNG THỨC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1)
2)
3)

( với A
( với A

0 và B

0 và B > 0 )

4)

(với B

5)

( với A

0)
0 và B

0)

( với A < 0 và B

6)

( với AB

7)

( với B > 0 )

8)

0 và B

( Với A

9)

0)

0)

0)

0 và A

( với A

B2 )

0, B

0 và A

B

B. BÀI TẬP
I.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH – RÚT GỌN – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Bài 1. Thực hiện phép tính.
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Bài 2. Thực hiện phép tính:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

Bài 3. Trục căn thức ở mẫu, rút gọn ( với

)
1

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Bài 4. * Chứng minh các đẳng thức sau:
1)
2)
3)
4)
5)
II. RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1. Cho biểu thức: A =
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =

.

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
Bài 2. Cho A =

với x > 0 , x 1

a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
Bài 3. Cho biểu thức

với

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.
c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
Bài 4 Cho biểu thức: P =
a)

Rút gọn P

b)

Tìm a để P <
2

-

Bài 5. Cho biểu thức

với a > 0 và a

a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ So sánh giá trị của M với 1.
Bài 6. Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
Bài 7. Cho A =

với x > 0 , x 4

a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
Bài 8. Cho biểu thức: P =

(a

0; a

4)

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9
Bài 9. Cho biểu thức: N =
1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = - 2016
Bài 10. Cho biểu thức
a. Rút gọn P.
b. Tìm x để
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 11. Cho A =

với x > 0 ,x 1

a. Rút gọn A
b. Tính A với a =
Bài 12. Cho biểu thức:
a) Rút gọn E

b) Tìm Max E

Bài 13.
3

Cho biểu thức: P =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.
Bài 14. Cho A =

với x 0 , x 1

a. Rút gọn A.

b.Tìm GTLN của A.

b. Tìm x để A =

c.CMR : A

Bài 15. Cho A =
a. Rút gọn A

b. Tìm

Bài 16. Cho A =

để

với a 0 , a 9 , a 4.

a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1
c. Tìm

để

Bài 17. Cho A =

với x > 0 , x 4.
a. Rút gọn A.

b. So sánh A với

Bài 18. Cho A =
a. Rút gọn A

với x > 0 , x 1
b. Tính A với x =

Bài 19. Cho A =

với x 0 , x 9

a. Rút gọn A

b. Tìm x để A < -

Bài 20. Cho A =

với x 0 , x 1

a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
c . CMR : A

CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT- BẬC HAI- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
4

I.HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Lý thuyết
1/Hàm số y = ax + b là bậc nhất  a
2/ a) Tính chất : Hàm số xác định với mọi giá trị của x trên R đồng biến khi a > 0 và
nghịch biến khi a < 0).
b) Đồ thị của h/s y = ax + b (a

0) là một đường thẳng luôn cắt trục tung tại điểm có

tung độ là b, song song với đường thẳng y = ax nếu a

0 và trùng với đt y = ax với b = 0.

3/ Cách tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ
Cho x = 0 => y = b => (d) cắt trục tung tại A(0;b)
Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành tại B( -b/a;0)
a gọi là hệ số góc, b là tung độ gốc của (d)
4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Cho x = 0 => y = b => A (0;b)
Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)
Vẽ đường thẳng AB ta được đồ thị hàm số y = ax + b
5/ (d) đi qua A(xo; yo)  yo= axo + b
6/ Gọi

là góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox. Khi đó:
là góc nhọn khi a > 0,

7/ (d) cắt (d')  a

là góc tù khi a < 0

a'

(d) trùng (d') 

(d) vuông góc (d')  a. a' = -1
(d)//(d')

8/ (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là a  (d) đi qua A(a; 0)
9/ (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ b  (d) đi qua B(0; b)
10/ Cách tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d'): Giải phương trình HĐGĐ: ax + b =
a'x + b'
Tìm được x. Thay giá trị của x vào (d) hoặc (d') ta tìm được y
=> A(x; y) là TĐGĐ của (d) và (d').
2. Bài tập
Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)
5

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành .
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất
Bài 2: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:
a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5
c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù
e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2
g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4
h) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
Bài 3: Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1
đồng quy.
Bài 4. Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có
diện tích bằng 1 (đvdt).
Bài 5. Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phương trình đường thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m 2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với
đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm

và

.

a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng
. Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox.
b) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C. Tính góc
tạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút).
6

c) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm
tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bài 7
1) Hàm số y= -2x +3 đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ các giao điểm của đường thẳng y=-2x+3 với các trục Ox ,Oy.
II. VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax 2 VÀ (d): y = ax + b (a

0)

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hàm số y = ax2(a 0):
Hàm số y = ax2(a 0) có những tính chất sau:
 Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
 Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0):
 Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
 Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0):
 Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
 Dựa và bảng giá trị

vẽ (P).

2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (D): y = ax + b:
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số
bằng nhau

đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.

 Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu

>0

pt có 2 nghiệm phân biệt

+ Nếu

=0

pt có nghiệm kép

+ Nếu

<0

pt vô nghiệm

(D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

(D) và (P) tiếp xúc nhau.

(D) và (P) không giao nhau.

3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (Dm) theo tham số m:
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm số
bằng nhau
 Lập

(hoặc

đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
) của pt hoành độ giao điểm.

 Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm

=0

+ (Dm) và (P) không giao nhau khi

>0

giải bất pt

giải pt

tìm m.

<0

giải bất pt

tìm m.
tìm m.

2. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hai hàm số y =

có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm).

7

1. Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ
các giao điểm của chúng.
2. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm).
1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ
các giao điểm của chúng.
2. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng

.

b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P).
1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc..
2. Gọi A(

) và B(2; 1).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).
3. Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.
Bài tập 4: Cho hàm số y =

x2 có đồ thị (P) và y = – 2x +

có đồ thị (D).

1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
3. Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó
bằng – 4.
Bài tập 5: Cho hàm số y =
1.

x2 có đồ thị (P) và y = x +

có đồ thị (D).

Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.

2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
3.Gọi A là điểm

(P) và B là điểm

(D) sao cho

Xác định tọa độ của A và B.

Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.
a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.

8

b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy.
1. Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.
a) Viết phương trình đường thẳng (D).
b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1.
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).
1. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao
điểm của chúng.
2. Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng –
2. Xác định tọa độ của A, B.
3. Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – 2 có đồ thị (D).
a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. Xác định tọa độ giao điểm của (P)
và (D) bằng phương pháp đại số.
b) Gọi A là một điểm thuộc (D) có tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) có hoành độ
bằng – 1. Xác định tọa độ của A và B.
c) Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2.
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm
của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B.
2. Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.

III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. lý thuyết
Xét 2 đường thẳng: ax+by=c ( d) và a'x +b'y=c' (d')
Hay

và

Hay hệ Cho hệ phương trình:
 (d) cắt (d')

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

 (d) // (d')

Hệ phương trình vô nghiệm.

 (d)

Hệ phương trình có vô số nghiệm

(d')

2. Bài tập
9

Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phương trình
1)

2)

3)

5)

4)

6)

7)

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ và hệ phương trình
chứa tham số :
Bài tập 1:

1)

2)
4)

3)
5)

Bài tập 2: Cho hệ phương trình

(m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m =
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y >
0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - HỆ THỨC VI-ÉT
A. LÝ THUYẾT
I-Cách giải phương trình bậc hai:
* Khái niệm :
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó a, b, c là các số thực và a
1/

TQ. Giải pt bậc hai khuyết c:

ax2 + bx = 0

x ( ax + b ) = 0

x = 0 hoặc x =
2/TQ. Giải pt bậc hai khuyết b:
ax2 + c = 0

x2 =

10

0.

Nếu
Nếu

0
<0

pt có hai nghiệm x1,2 =
pt vô nghiệm.

3/Giải pt bậc hai đầy đủ : ax2 + bx + c = 0 ( a

0)

= b2 - 4ac

* Nếu

> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =

* Nếu

= 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

* Nếu

< 0 thì phương trình vô nghiệm

; x2 =

*Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức
nghiêm thu gọn.
' = b'2 - ac
* Nếu

' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 =

; x2 =

* Nếu

' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

* Nếu

' < 0 thì phương trình vô nghiệm.

4/ Phương trình quy về phương trình bậc hai
a/ Phương trình trùng phương

a) Dạng tổng quát:
Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số,
b) Cách giải:
 Loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t ( t

0) từ

đó ta đưa đến một phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0
 Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t ( Nếu những
giá trị tìm được của t thoả mãn t ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình
ban đầu).
b/ phương trình tích

Dạng tổng quát: A.B = 0
Cách giải: Để giải một phương trình bậc lớn hơn 2 thường dùng phương pháp biến
đổi về phương trình tích ở đó vế trái là tích của nhân tử còn về phải bằng 0.
c/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu
11

- Tìm điều kiện xác định của phương trình chính là đặt điều kiện để phương
trình có nghĩa ( giá trị của mẫu thức phải khác không)
- Khử mẫu ( nhân cả hai vế của phương trình với mẫu thức chung của 2 vế)
- Mở dấu ngoặc ở cả hai vế của phương trình chuyển vế: chuyển những hạng tử
chứa ẩn về một vế , những hạng tử không chứa ẩn về vế kia)
- Thu gọn phương trình về dạng tổng quát đã học.
- Nhận định kết quả và trả lời ( loại bỏ những gía trị của ẩn vừa tìm được không
thuộc vào tập xác định của phương trình)

II- Hệ thức Vi - ét và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình

thì :

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình :
(Điều kiện để có u và v là

)

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình

có hai nghiệm :

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình

có hai nghiệm :

III: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho
trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm)    0
2. Vô nghiệm   < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

 a.c < 0 và S < 0

12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

IV. Tính giá trị các biểu thức nghiệm
12

 a.c < 0 và S > 0

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã
cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi
tính giá trị của biểu thức







(



=…….)

(=

=……. )



(=



(=

=…… )
= ……..)

V: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.
Tổng quát:
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x0 vào 2 phương trình ta được hệ
với ẩn là các tham số.
Giải hệ tìm tham số m.
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?
B-BÀI TẬP:
I-CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Giải các phương trình sau :
A/

B/

Bài 2:. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x 2  8 x  15 0 Không giải phương trình, hãy tính

13

1. x12  x22

1

1

x

2. x  x
1
2

b) Cho phương trình :
1

1

1. x  x
1
2

x

4.  x1  x2 

2

1
2
3. x  x
2
1

Không giải phương trình, hãy tính:

2. x12  x22

,

c) Cho phương trình : x 2  14 x  29 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1

1

1. x  x
1
2

2. x12  x22

d) Cho phương trình : 2 x 2  3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1

1

1. x  x
1
2

2.

1  x1 1  x2

x1
x2

3. x12  x22

x1

x2

4. x  1  x  1
2
1

e) Cho phương trình x 2  4 3 x  8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
Q

6 x12  10 x1 x2  6 x22
5 x1 x23  5 x13 x2

Bài 3:Cho phương trình

(x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để biểu thức M =

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4:
Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số.
1) Giải phương trình khi m = 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa
điều kiện

.

Bài 5.
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá
trị của m.
2) Tìm giá trị của m để biểu thức A =

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6 Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện :
Bài 7: 2 điểm:Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
14

Bài 8:
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

.Không giải phương trình,

tính giá trị các biểu thức sau:
a, x1 + x2

b,

c,

Bài 9
Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 10:
1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0
2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương
trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
Bài 11.
Cho phương trình

, với x là ẩn số,

a. Giải phương trình đã cho khi m  – 2
b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
giữa

và

và

. Tìm hệ thức liên hệ

mà không phụ thuộc vào m.

Bài 12
Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)
1. Giải phương trình (*) với a = 1.
2. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của a.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị của a để biểu
thức:
N=

có giá trị nhỏ nhất.

Bài 13.
Cho phương trình x2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1).
a) Giải phương trính (1) khi m = 1.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các
cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).
Bài 14
15

Cho phương trình:

(1)

1) Giải phương trình (1) khi

(với ẩn là ).

=1.

2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là

;

. Tìm giá trị của

dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng

.
để

;

là độ

.

Bài 15
1. Cho phương trình

(1), trong đó m là tham số.

a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để

.

2. Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số.
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4). Với giá trị m vừa tìm được, hàm số
(1) đồng biến hay nghịch biến trên R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y +
3=0
Bài 16. Cho hai phương trình:

và

Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung. ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung là
x = 1)
Câu 17. Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.
và

( Đáp số: m = - 3 nghiệm chung là x = 1)

Bài 18: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phương trình với m = - 5
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 19: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài 20:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0
16

a) Giải phương trình với m = - 2
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22
Bài 21: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m
Bài tập 22: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12 + x22
Bài 23: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1. x2 - x12 - x22
Bài 24: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bài 25: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 26: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trìnhm x2 - 2(m - 2)x + (m - 3) =
0 thoả mãn điều kiện
Bài 27:Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2
nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn
Bài 28:Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn
17

x1 + 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 29: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0

(1)

Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.
Bài 30:

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0

Tìm m để

có giá trị nhỏ nhất

Bài 31: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

CHUYẤN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG
TRÈNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÈNH
A.Tóm tắt lí thuyết
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng đã biết.
c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất một ẩn,
hệ phương trình hay phương trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế....
B. Các Dạng toán

Dạng 1: Toán về quan hệ các số.
*Những kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số :
+ Biểu diễn số có ba chữ số :
+ Tổng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2.
18

+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là:

.

*Bài tập
Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì được 50. Hỏi số đó là bao nhiêu?
Bài 2: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng

số thứ nhất thì bằng

số thứ

hai.
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi
chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho nhau thì số đó giảm đi 45