PHÇN I: c¸C BµI TO¸N VÒ Sè Vµ CH÷ Sè
phÇn i: sè Vµ CH÷ Sè
Tạ Văn Khôi
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí
1. Dïng 10 ch÷ sè ®Ó viÕt sè lµ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.
2. Cã 10 sè cã 1 ch÷ sè: (Tõ sè 0 ®Õn sè 9)
Cã 90 sè cã 2 ch÷ sè: (tõ sè 10 ®Õn sè 99)
Cã 900 sè cã 3 ch÷ sè: (tõ sè 100 ®Õn 999)
…
3. Sè tù nhiªn nhá nhÊt lµ sè 0. Kh«ng cã sè tù nhiªn lín nhÊt.
4. Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 1 ®¬n vÞ.
5. C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8 gäi lµ sè ch½n. Hai sè ch½n liªn tiÕp h¬n
(kÐm) nhau 2 ®¬n vÞ.
6. C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1, 3, 5, 7, 9 gäi lµ sè lÎ. Hai sè lÎ liªn tiÕp h¬n (kÐm)
nhau 2 ®¬n vÞ.
II. Bµi tËp
Bµi 1: Cho 4 ch÷ sè 2, 3, 4, 6.
a) Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? §ã lµ
nh÷ng sè nµo?
b) Cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? H·y viÕt
tÊt c¶ c¸c sè ®ã?
Bµi gi¶i
LËp b¶ng sau ta ®-îc:
Hµng
Hµng chôc
Hµng ®¬n vÞ
ViÕt ®-îc sè
tr¨m
2
3
4
234
2
3
6
236
2
4
3
243
2
4
6
246
2
6
3
263
2
6
4
264
NhËn xÐt: Mçi ch÷ sè tõ 4 ch÷ sè trªn ë vÞ trÝ hµng tr¨m ta lËp ®-îc 6 sè cã 3
ch÷ sè kh¸c nhau. Vëy cã tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau lµ: 6 x 4 = 24
(sè).
T-¬ng tù phÇn (a) ta lËp ®-îc: 4 x 6 = 24 ( sè)
C¸c sè ®ã lµ: 2346; 2364; 2436; 2463; 2643; 2634; 3246; 3264; 3426; 3462; 3624;
3642; 4236; 4263; 4326; 4362; 4623; 4632; 6243;6234; 6432; 6423.
Bµi 2: Cho 4 ch÷ sè 0, 3, 6, 9.
a) Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn?
b) T×m sè lín nhÊt vµ sè bÐ nhÊt cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè
trªn?
Bµi gi¶i
a, Chän ch÷ sè hµng tr¨m cã ba c¸ch: ( kh«ng chän sè 0)
Chän ch÷ sè hµng chôc cã ba c¸ch :
Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cã hai c¸ch:
Sè c¸c sè cã ba ch÷ sè lµ:3  3  2  18 (sè)
b, Sè lín nhÊt lµ: 9630; sè bÐ nhÊt lµ: 3069
Bµi 3: a) H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè mµ tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng
3?
Bµi gi¶i
V× 3 = 3+0+0 ta cã c¸c sè :300;120;102;210;201;111
= 1+2+0
=2+1+0
=1+1+1
1

Bµi 4: Cho sè 1960. Sè nµy sÏ thay ®æi nh- thÕ nµo? H·y gi¶i thÝch?
a) Xo¸ bá ch÷ sè 0.
b) ViÕt thªm ch÷ sè 1 vµo sau
sè ®ã.
c) §æi chç hai ch÷ sè 9 vµ 6 cho nhau.
Bµi gi¶i
a, Xãa bá ch÷ sè 0 sè ®ã gi¶m 10 lÇn;
b, ViÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn ph¶i sè ®ã sè ®ã gÊp lªn 10 lÇn vµ 1 ®¬n vÞ;
c,Khi ®æi ch÷ sè 9 vµ sè 6 cho nhau ta cã : 1960 - 1690 = 270 (®¬n vÞ)
Bµi 5: Hái cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè mµ mçi sè cã:
a) 1 ch÷ sè 5
b) 1 ch÷ sè 6.
Bµi gi¶i
a, Chän ch÷ sè 5 ë hµng tr¨m: Cã 1 c¸ch chän : chän 5 ( L-u ý v× bµi to¸n
kh«ng yªu cÇu c¸c ch÷ sè kh¸c nhau)
-Chän ch÷ s« hµng chôc cã 9 c¸ch:( chän 0;1;2;3;4;6;7;8;9)
- Chän Ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cã 9 cÊch : ( chän 0;1;2;3;4;6;7;8;9)
Ta cã : 1  9  9  81 (sè)
b, Chän ch÷ sè 5 ë hµng chôc 1 c¸ch : ( chän 5)
- Chän ch÷ sè hµng tr¨m cã 8 c¸ch:
- Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ 9 c¸ch:
Ta cã : 1  8  9  72 (sè)
c, Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 5 cã 1 c¸ch.T-¬ng tù ta cã : 1  8  9  72 (sè)
Tæng c¸c sè lËp ®-îc lµ: 81+72+72= 225 (sè)
§¸p sè: 225 sè.
Bµi 6: Cho ba ch÷ sè: a, b, c kh¸c ch÷ sè 0 vµ a > b; b > c.
a) Víi ba ch÷ sè ®ã, cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè? (trong c¸c sè,
kh«ng cã ch÷ sè nµo lÆp l¹i hai lÇn)
b) TÝnh nhanh tæng cña c¸c sè võa viÕt ®-îc, nÕu tæng cña ba ch÷ sè a, b, c lµ
18.
c) NÕu tæng cña c¸c sè cã ba ch÷ sè võa lËp ®-îc ë trªn lµ 3330, hiÖu cña sè
lín nhÊt vµ sè bÐ nhÊt trong c¸c sè ®ã lµ 594 th× ba ch÷ sè a, b, c lµ bao
nhiªu?
Bµi gi¶i
a) 6 sè
b) 222  (a  b  c) =222  18=3996
c) Theo kÕt qu¶ ý b) ta cã: 222  (a  b  c) =3330 Hay a+b+c =3330:222=15
MÆt kh¸c : abc > cba nªn abc - cba =595 . §Æt cét däc ta cã : -

abc
V× ccba
595

nªn1c-a=5 nhí 1.XÐt hµng chôc 1b-(b+1) =9 nhí 1. Va¹y hµng tr¨m a- (c+1)
=5 hay a-c=6
VËy nÕu a=9 th× c=3 khi ®ã b= 15 -9-3 =3 lo¹i v× b=c=3
NÕu a=8 th× c=2 khi ®ã b= 15-8-2=5 chän v× a>b>c.
NÕu a=7 th× c=1 khi ®ã b=15-7-1=7 lo¹i
PhÇn hai
Bèn phÐp tÝnh víi sè tù nhiªn, ph©n sè vµ sè thËp ph©n
A. PhÐp céng
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. 0 + a = a + 0 = a
4. (a - n) + (b + n) = a + b
5. (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2
6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2
2

7. NÕu mét sè h¹ng ®-îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®-îc gi÷
nguyªn th× tæng ®ã ®-îc t¨ng lªn mét sè ®óng b»ng (n - 1) lÇn sè h¹ng ®-îc gÊp lªn
®ã.
8. NÕu mét sè h¹ng bÞ gi¶m ®i n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®-îc gi÷ nguyªn
1

th× tæng ®ã bÞ gi¶m ®i mét sè ®óng b»ng (1 - ) sè h¹ng bÞ gi¶m ®i ®ã.
n
9. Trong mét tæng cã sè l-îng c¸c sè h¹ng lÎ lµ lÎ th× tæng ®ã lµ mét sè lÎ.
10. Trong mét tæng cã sè l-îng c¸c sè h¹ng lÎ lµ ch½n th× tæng ®ã lµ mét sè ch½n.
11. Tæng cña c¸c sè ch½n lµ mét sè ch½n.
12. Tæng cña mét sè lÎ vµ mét sè ch½n lµ mét sè lÎ.
13. Tæng cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ mét sè lÎ.
II. Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a) 4823 + 1560 + 5177 + 8440)
b) 10556 + 8074 + 9444 + 926 + 1000
c) 576 + 789 + 467 + 111
Bµi gi¶i:
(4823 + 5177) + ( 1560 + 8440) = 10.000 + 10.000
= 20.0000
(10556 + 94444) + ( 8074 + 926) + 1000 = 19500 + 9000 + 1000
= 29500
576 + 467 + 789 +111 = 1043 + 900
= 1943
Bµi 2: TÝnh nhanh:
5 7 19 6 9 9
1
20 300
4000
d) 
   


7 13 13 5 7 5
10 100 1000 10000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b)         
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
1
2
3
4
5
17 18 19 20
c)      ...    
21 21 21 21 21
21 21 21 21

a) 

Bµi gi¶i:
5
7
19 6 9 9


  
7 13 13 5 7 5
5 9
7
19 6 9
  

 
7 7 13 13 5 5
14 26 15



7
13
5
 223 7
a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
        
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
(1  10)  (2  9)  (3  8)  (4  7)  (5  6)

11
11  11  11  11  11

11
11x5 55


5
11
11

b)

3

1
2
3
4
5
17 18 19 20
     ...    
21 21 21 21 21
21 21 21 21
(1  20)  (2  19)  ...  (10  11)

21
21x10 210


 10
21
21

c)

Bµi 3: T×m hai sè cã tæng b»ng 1149, biÕt r»ng nÕu gi÷ nguyªn sè lín vµ gÊp sè bÐ
lªn 3 lÇn th× ta ®-îc tæng míi b»ng 2061.
Bµi gi¶i
Khi gÊp sè bÐ lªn ba lÇn th× tæng sÏ t¨ng:3-1 = 2 ( lÇn sè bÐ)
Hai lÇn sè bÐ øng víi: 2061- 1149 =912
Sè bÐ lµ : 912 : 2 = 456
Sè lín lµ : 1149 – 456 = 693
§¸p sè : 693; 456
Bµi 4: Khi céng mét sè thËp ph©n víi mét sè tù nhiªn, mét b¹n ®· quªn mÊt dÊu
phÈy ë sè thËp ph©n vµ ®Æt tÝnh nh- céng hai sè tù nhiªn víi nhau nªn ®· ®-îc tæng
lµ 807. Em h·y t×m sè tù nhiªn vµ sè thËp ®ã? BiÕt tæng ®óng cña chóng lµ 241,71.
Bµi gi¶i
Nh×n vµo tæng ®óng sè thËp ph©n cã hai ch÷ sè phÇn thËp ph©n, khi viÕt nhÇm nhvËy sè thËp ph©n ®· t¨ng lªn 100 lÇn. VËy tæng t¨ng lªn 100 -1 = 99 (lÇn sè thËp
ph©n)
99 lÇn sè thËp ph©n øng víi : 807 – 241,71 = 565,29
Sè thø hai lµ :
565,29 : 99 = 5,71
Sè lín lµ :
241,71 – 5,71 = 236
§¸p sè :236; 5,71
Bµi 5 : Cho sè cã hai ch÷ sè. NÕu viÕt sè ®ã theo thø tù ng-îc l¹i ta ®-îc sè míi bÐ
h¬n sè ph¶i t×m. BiÕt tæng cña sè ®ã víi sè míi lµ 143.
Bµi gi¶i
V× a+b =13
Mµ ba=8 th× b= 5
85
a=7 th× b=6
76
§¸p sè : 94;85 ; 76
b. PhÐp trõ
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí
1. a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c
2. NÕu sè bÞ trõ vµ sè trõ cïng t¨ng (hoÆc gi¶m) n ®¬n vÞ th× hiÖu cña chóng kh«ng
®æi.
3. NÕu sè bÞ trõ ®-îc gÊp lªn n lÇn vµ gi÷ nguyªn sè trõ th× hiÖu ®-îc t¨ng thªm mét
sè ®óng b»ng (n -1) lÇn sè bÞ trõ. (n > 1).
4. NÕu sè bÞ trõ gi÷ nguyªn, sè trõ ®-îc gÊp lªn n lÇn th× hiÖu bÞ gi¶m ®i (n - 1) lÇn
sè trõ. (n > 1)
5. NÕu sè bÞ trõ ®-îc t¨ng thªm n ®¬n vÞ, sè trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu t¨ng lªn n ®¬n
vÞ.
6. NÕu sè bÞ trõ gi¶m ®i n ®¬n vÞ, sè trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu gi¶m ®i n ®¬n vÞ.
II. Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh:
4

a) 32 - 13 - 17
c) 45 - 12 - 5 – 23

b) 1732 - 513 - 732
d) 2834 - 150 – 834
Bµi gi¶i

a, 32 – 13 -17 = 32 – (13+17 ) = 2
513

b,

= 1000 -513 = 487

c, 45 -12 -5 -23= 45 – 5-( 12+23 )
= 40 - 30 = 10
Bµi 2: TÝnh nhanh:
34 19 3
19
9

 =1 

31 28 31
28 28
18 55 5
55 101
b)   =1 + 
13 46 13
46 46

a)

1732 – 513 -732 = 1732 -732 -

7 11 4
11 16
  =1 + 
3 5 3
5
5
 27 4   2 5 
d)        =0
 25 9   25 9 

c)

Bµi 3: TÝnh nhanh
a,46,55 - (20,33+25,67 )=0,55
(2,5+3,5)

Bµi gi¶i
b, 20- (0,5+5,5) –( 1,5+4,5) -

= 20 – 6 - 6 – 6 = 2
Bµi 4: HiÖu hai sè lµ 3,8. NÕu gÊp sè trõ lªn hai lÇn th× ®-îc sè míi h¬n sè bÞ trõ lµ
4,9. T×m hai sè ®· cho. (VÏ s¬ ®å ®Ó gi¶i)
Bµi gi¶i
C¸ch gi¶i kh«ng vÏ s¬ ®å
Gäi sè trõ lµ ¢, th× s« bÞ trõ lµ A+3,8.
Theo bµi ra ta cã :
A  2  ( A  3,8)  4,9
Hay :
A – 3,8
= 4,9
A
= 4,9 +3,8 = 8,7
Sè bÞ trõ lµ
: 8,7+3,8 =12,5
§¸p sè : 12,5; 8,7
Bµi 5: Mét m¶nh v-ên h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi h¬n chiÒu réng 6,8m. NÕu ta bít
mçi chiÒu ®i 0,2m th× chu vi míi gÊp 6 lÇn chiÒu réng míi. TÝnh diÖn tÝch m¶nh
v-ên ban ®Çu.
Bµi gi¶i
Khi bít mçi chiÒu ®i 0,2 m th× nöa chu vi gÊp chiÒu réng sè lÇn lµ:
6: 2 = 3 (lÇn chiÒu réng)
Coi nöa chu vi lµ ba phÇn th× chiÒu réng lµ 1 phÇn nh- thÕ .V©y chiÒu dµi sÏ øng
víi:
3 – 1 = 2 (phÇn) MÆt kh¸c khi cïng bít ®i ë chiÒu dµi vµ chiÒu réng
cïng 1 sè th× hiÖu gi÷a chiÒu réng vµ chiÒu dµi kh«ng ®æi.Nªn 1 phÇn lóc sau (hay
chiÒu réng lóc sau ) øng víi :
6,8  1  6,8(m)
ChiÒu dµi lóc ®Çu lµ : 6,8  2  0,2  13,8(m)
ChiÒu réng lóc ®Çu lµ: 6,8 +0,2 =7 ( m)
DiÖn tÝch m¶nh v-ên lµ : 13,8  7 = 96,6 (m2) 2
§¸p sè : 96,6 (m )
Bµi 6: Thay c¸c ch÷ a, b, c b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp trong mçi phÐp tÝnh sau: (mçi
ch÷ kh¸c nhau ®-îc thay bëi mçi ch÷ sè kh¸c nhau)

BiÕt a + b = 11.
5

Bµi gi¶i
a,XÐt ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ab – c = 0 nªn suy ra hµng phÇn m-êi b – c = a cã nhí
vµ nhí nhiÒu nhÊt lµ 1. ab – (c+1) = 0 Suy ra c = 9 . tõ ®ã suy ra ab= 10=> a= 1;
b= 0
b,

V× a+b =11 nªn b,a +a,b =12,1
MÆt kh¸c b,a – a,b =2,7 (ý b) Suy ra b,a > a,b

§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã b,a lµ: (12,1+2,7 ) : 2 = 7,4
a,b lµ : 7,4 -2,7 =4,7
Tõ ®Êy suy ra a= 4 ; b= 7
§¸p sè a, a= 1; b=0; c=9
B, a= 4; b= 7
C.PhÐp nh©n
I. KiÕn thøc cÇn nhí
1. a x b = b x a
2. a x (b x c) = (a x b) x c
3. a x 0 = 0 x a = 0
4. a x 1 = 1 x a = a
5. a x (b + c) = a x b + a x c
6. a x (b - c) = a x b - a x c
7. Trong mét tÝch nÕu mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn ®ång thêi cã mét thõa sè kh¸c
bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch kh«ng thay ®æi.
8. Trong mét tÝch cã mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn
th× tÝch ®-îc gÊp lªn n lÇn vµ ng-îc l¹i nÕu trong mét tÝch cã mét thõa sè bÞ gi¶m ®i
n lÇn, c¸c thõa
sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch còng bÞ gi¶m ®i n lÇn. (n > 0)
9. Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi mét thõa sè ®-îc
gÊp lªn m lÇn th× tÝch ®-îc gÊp lªn (m x n) lÇn. Ng-îc l¹i nÕu trong mét tÝch mét
thõa sè bÞ gi¶m ®i m lÇn, mét thõa sè bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch bÞ gi¶m ®i (m x n) lÇn.
(m vµ n kh¸c 0)
10. Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®-îc t¨ng thªm a ®¬n vÞ, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷
nguyªn th× tÝch ®-îc t¨ng thªm a lÇn tÝch c¸c thõa sè cßn l¹i.
11. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch ®ã ch½n.
12. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè trßn chôc hoÆc Ýt nhÊt mét thõa sè cã
tËn cïng lµ 5 vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch cã tËn cïng lµ 0.
13. Trong mét tÝch c¸c thõa sè ®Òu lÎ vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng lµ 5 th×
tÝch cã tËn cïng lµ 5.
II. Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a. 8 x 4 x 125 x 25
d. 500 x 3,26 x 0,02
b. 2 x 178 x 5
e. 0,5 x 0,25 x 0,2 x 4
c. 2,5 x 16,27 x 4
g. 2,7 x 2,5 x 400
Bµi gi¶i
a,8 (125)  (4  25)  1000 100  100000
d, 500  0,02  3,26  32,6
b,2  5 178  1780
e,0,5  0,2  0,25  4 
c,2,5  4 16,27  16,27
Bµi 2: TÝnh nhanh:
4 5 3 5
x  x
7 6 7 6
7 8 7 3
c) x  x
9 5 9 5

5 1 4 3
x  x
9 4 9 12
2006 3 3
1
x  x
d)
2005 4 4 2005

a)

5
6

4
7

3
7

b)

Bµi gi¶i
5
6

a,  (  )  ,

b,

1 5 4
1
(  ) 
4 9 9
4

6

7

8

3

7

c,  (  ) 
9 5 5
9
Bµi 3: TÝnh b»ng c¸ch thuËn tiÖn nhÊt:
a)

1 2 3 4 5
x x x x
2 3 4 5 6

a,

d, 1
1

2 3 4 5 6 7 8 9

b) x x x x x x x x
10 9 8 7 6 5 4 3 2
Bµi gi¶i

1
6

b,

1
10

Bµi 4: TÝnh nhanh:
a) (81,6 x 27,3 - 17,3 x 81,6) x (32 x 11 - 3200 x 0,1 - 32)
b) (13,75 - 0.48 x 5) x (42,75 : 3 + 2,9) x (1,8 x 5 - 0,9 x 10)
c) (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (109 - 900 x 0,1 - 9)
Bµi gi¶i
1

a,81,26  (27,3  17,3)  (32  11  32  100   32)
10
= 81,26 10  (32  (11  10  1)  0
Bµi 5: T×m 2 sè cã tÝch b»ng 5292, biÕt r»ng nÕu gi÷ nguyªn thõa sè thø nhÊt vµ
t¨ng thõa
sè thø hai thªm 6 ®¬n vÞ th× ®-îc tÝch míi b»ng 6048.
Bµi gi¶i
S¸u lÇn thõa sè thø nhÊt lµ:6048 -5292=756
Thõa sè thø nhÊt lµ: 756 : 6 =126
Thõa sè thø hai lµ:5292 :126 =42
Bµi 6: Mét h×nh ch÷ nhËt nÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 25% chiÒu dµi th× chiÒu réng ph¶i
thay ®æi nh- thÕ nµo ®Ó diÖn tÝch cña h×nh kh«ng thay ®æi?
Bµi gi¶i
1

1

Ta ®æi 25% = .NÕu chiÒu dµi bít ®i tøc lµ chiÒu dµi chia cho 4 .®Ó diÖn tÝch
4
4
kh«ng ®æi th× chiÒu réng ph¶i gÊp lªn 4 lÇn. Th©t vËy ta cã:
1
S = a  b <=> S =a   b  4  a  b .Bµi to¸n chøng minh xong.
4

Bµi 7: T×m 2 sè, biÕt tæng gÊp 5 lÇn hiÖu vµ b»ng

1
tÝch cña chóng.(50 ®Ò NguyÔn
6

¸ng)
Bµi gi¶i
BiÓuthÞ HiÖu lµ 1 phÇn , th× tæng sÏ lµ 5 phÇn b»ng nhau nh- thÕ. Nh- vËy th× tÝch sÏ
øng víi 6 phÇn .§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã:
Sè lín øng víi sè phÇn lµ:(5+1): 2 = 3 ( phÇn)
Do vËy, Sè bÐ øng víi:3 - 1 = 2 ( phÇn)
Nh- thÕ ,tÝch sÏ b»ng 3 lÇn sè bÐ .Mµ tÝch b»ng sè lín nh©n víi sè bÐ.
Nªn sè lín b»ng : 6: 2 = 3.
Sè bÐ lµ : 6: 3= 2 .
Thö l¹i ta cã :Tæng : 3+ 2= 5
HiÖu: 3-2= 1
TÝch :3  2  6
Râ rµng tæng gÊp 5 lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch: (1  5  5; 6 :1 = 6)
Bµi 8: T×m 2 sè, biÕt tæng gÊp 3 lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch cña chóng.(50 ®Ò ,®Ò sè 3
)
Bµi gi¶i
BiÓuthÞ HiÖu lµ 1 phÇn , th× tæng sÏ lµ 3 phÇn b»ng nhau nh- thÕ. Nh- vËy th× tÝch sÏ
øng víi 6 phÇn .§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã:
Sè lín øng víi sè phÇn lµ:(3+1): 2 = 2 ( phÇn)
Do vËy, Sè bÐ øng víi:3-2 = 1 ( phÇn)
7

Nh- thÕ ,tÝch sÏ b»ng 6 lÇn sè bÐ .Mµ tÝch b»ng sè lín nh©n víi sè bÐ. Nªn sè lín
b»ng 6.
Sè bÐ lµ : 6:2 =3 .
Thö l¹i ta cã :Tæng : 3+6 = 9
HiÖu:6-3= 3
TÝch :3  6  18
Râ rµng tæng gÊp ba lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch: (3  3  9; 18 :2 = 9)
D. PhÐp chia
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí (®äc kÜ tr-íc khi lµm bµi tËp )
1. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
2. 0 : a = 0 (a > 0)
3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0)
4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
5. Trong phÐp chia, nÕu sè bÞ chia t¨ng lªn (gi¶m ®i) n lÇn (n > 0) ®ång thêi sè chia
gi÷
nguyªn th× th-¬ng còng t¨ng lªn (gi¶m ®i) n lÇn.
6. Trong mét phÐp chia, nÕu t¨ng sè chia lªn n lÇn (n > 0) ®ång thêi sè bÞ chia gi÷
nguyªn th× th-¬ng gi¶m ®i n lÇn vµ ng-îc l¹i.
7. Trong mét phÐp chia, nÕu c¶ sè bÞ chia vµ sè chia ®Òu cïng gÊp (gi¶m) n lÇn (n >
0) th× th-¬ng kh«ng thay ®æi.
8. Trong mét phÐp chia cã d-, nÕu sè bÞ chia vµ sè chia cïng ®-îc gÊp (gi¶m) n lÇn
(n > 0) th× sè d- còng ®-îc gÊp (gi¶m ) n lÇn.
II. Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a) 1875 : 2 + 125 : 2
b) 20,48 : 3,2 + 11,52 : 3,2
c) 62,73 : 8,4 + 21,27 : 8,4
d) 43,3 : 2,5 - 19,3 : 2,5
Bµi gi¶i
a, (1875+125):2= 1000
b,(20,48 +11,52 ):2 = 16
c,(62,73 +21,27 ) : 2 =42
d,(43,3 +19,3 ):2,5=31.3
Bµi 2: Nam lµm mét phÐp chia cã d- lµ sè d- lín nhÊt cã thÓ cã. Sau ®ã Nam gÊp
c¶ sè bÞ chia vµ sè chia lªn 3 lÇn. ë phÐp chia míi nµy, sè th-¬ng lµ 12 vµ sè d- lµ
24. T×m phÐp chia Nam thùc hiÖn ban ®Çu.
Bµi gi¶i
Trong mét phÐp chia ,nÕu gÊp c¶ sè bÞ chia;sè chia lªn ba lÇn th× th-¬ng kh«ng thay
®æi nh-ng sè d- còng t¨ng lªn ba lÇn. Do ®ã th-¬ng trong phÐp chia cña Nam lµ 12
vµ sè d- ban ®Çu lµ:
24 : 3 = 8
Sè chia lµ ban ®Çu lµ : 8 + 1 = 9
Sè bÞ chia lµ
: 9  12 +8= 116
§¸p sè : 116; 9
Bµi 3: Sè A chia cho 12 d- 8. NÕu gi÷ nguyªn sè chia th× sè A ph¶i thay ®æi nh- thÕ
nµo ®Ó th-¬ng t¨ng thªm 2 ®¬n vÞ vµ phÐp chia kh«ng cã d-?
Bµi gi¶i
NÕu phÐp chia t¨ng 1 ®¬n vÞ th× sè A cÇn t¨ng: 12 – 8 = 4
§Ó th-¬ng t¨ng 2 ®¬n vÞ th× sè A cÇn t¨ng: 12 +4 = 16
§¸p sè : 16
Bµi 4: Mét sè chia cho 18 d- 8. §Ó phÐp chia kh«ng cßn d- vµ th-¬ng gi¶m ®i 2 lÇn
th× ph¶i thay ®æi sè bÞ chia nh- thÕ nµo?
Bµi gi¶i
§Ó phÐp chia kh«ng cã d- vµ th-¬ng kh«ng ®æi th× sè bÞ chia cÇn bít 8 ®¬n vÞ.
§Ó th-¬ng gi¶m ®i 2 lÇn th× sè bÞ chia gi¶m ®i 2 lÇn.
VËy sè bÞ chia ph¶i gi¶m ®i 2 lÇn vµ 8 ®¬n vÞ.
Bµi 5: NÕu chia sè bÞ chia cho 2 lÇn sè chia th× ta ®-îc 6. NÕu ta chia sè bÞ chia cho
3 lÇn sè th-¬ng th× còng ®-îc 6. T×m sè bÞ chia vµ sè chia trong phÐp chia ®Çu tiªn.
Bµi gi¶i
8

NÕu chia mét lÇn sè chia ta cã th-¬ng lµ: 6  2 = 12
Chia mét lÇn cho 12 ta cã sè chia lµ:
6: 3=2
VËy sè bÞ chia lµ:
12  2 =24
§¸p sè : 24
Bµi 6: Mét phÐp chia cã th-¬ng lµ 6, sè d- lµ 3. Tæng sè bÞ chia, sè chia vµ sè db»ng 195T×m sè bÞ chia vµ sè chia?
Bµi gi¶i
V× sè d- lµ 3 vµ th-¬ng b»ng 6 nªn sè bÞ chia gÊp 6 lÇn sè chia vµ 3 ®¬n vÞ.Bít ®i
3+3 =6 ta ®-a vÒ bµi to¸n tæng tØ ta cã: tæng lµ 195 -6 = 189
Tæng sè phÇn b»ng nhau lµ: 6 +1 =7 ( phÇn )
Sè bÞ chia lµ : 189 : 7  6 +3 = 165
Sè chia lµ ( 165 -3) : 6 = 27
§¸p sè : 165 ;27
Bµi 7: Cho 2 sè, lÊy sè lín chia cho sè nhá ®-îc th-¬ng lµ 7 vµ sè d- lín nhÊt cã
thÓ cã®-îc lµ 48. T×m 2 sè ®ã.
Bµi gi¶i
V× sè d- lµ sè lín nhÊt cã thÓ cã nªn sè chia lµ: 48 +1 = 49
V©y sè lín lµ 49  7 = 343
§¸p sè : sè lín :343 ; sè bÐ : 49
Bµi 8: HiÖu 2 sè lµ 33. LÊy sè lín chia cho sè nhá ®-îc th-¬ng lµ 3 vµ sè d- lµ 3.
T×m 2 sè ®ã.
Bµi gi¶i
Coi sè bÐ lµ 1 phÇn th× sè lín lµ 3 phÇn vµ 3 ®¬n vÞ . V¹y hiÖu sè phÇn gi÷a sè lín
vµ sè bÐ (hay 33 øng víi )lµ: 3 phÇn + 3 – 1 phÇn = 2 phÇn + 3 ®¬n vÞ
VËy 2 phÇn øng víi :
33 -3 = 30
VËy 1 phÇn lµ : 30 :2 = 15
Sè lín lµ : 15  3 +3 = 48
Sè bÐ lµ 48 – 33 = 15
§¸p sè : 48 ; 15
PHẦN III. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí
1. BiÓu thøc kh«ng cã dÊu ngoÆc ®¬n chØ cã phÐp céng vµ phÐp trõ (hoÆc chØ cã
phÐp nh©n vµ phÐp chia) th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh theo thø tù tõ tr¸i sang ph¶i.
VÝ dô: 542 + 123 - 79
482 x 2 : 4
= 665 - 79
= 964 : 4
= 586
= 241
2. BiÓu thøc kh«ng cã dÊu ngoÆc ®¬n, cã c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia th× ta
thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh nh©n, chia tr-íc råi thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh céng trõ sau.
VÝ dô: 27 : 3 - 4 x 2
=9-8
=1
3. BiÓu thøc cã dÊu ngoÆc ®¬n th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh trong ngoÆc ®¬n tr-íc,
c¸c phÐp tÝnh ngoµi dÊu ngoÆc ®¬n sau
VÝ dô: 25 x (63 : 3 + 24 x 5)
= 25 x (21 + 120)
=25 x 141
=3525
II. Bµi tËp
Bµi 1: ViÕt d·y sè cã kÕt qu¶ b»ng 100:
a) Víi 5 ch÷ sè 1 .
b) Víi 5 ch÷ sè 5.
Bµi gi¶i
a, 111 -11 =100
b,( 5+5+5+5)  5 =20  5 = 100
Bµi 4: Cho d·y tÝnh: 128 : 8 x 16 x 4 + 52 : 4. H·y thªm dÊu ngoÆc ®¬n vµo d·y
tÝnh ®ã sao cho:
9

a) KÕt qu¶ lµ nhá nhÊt cã thÓ?

b) KÕt qu¶ lµ lín nhÊt cã thÓ ?
Bµi gi¶i
a,128 : (8  16 )  (4 + 52 ) : 4 = 1  14 = 14
32
8
HoÆc 128 : (8  16  4 + 52 ) : 4 =128 : 564 :4 =
:4 
141
141
b,128:8  16  (4 +52:4) = 3328
Bµi 5: H·y ®iÒn thªm dÊu ngoÆc ®¬n vµo biÓu thøc sau:
A = 100 - 4 x 20 - 15 + 25 : 5
a) Sao cho A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt lµ bao nhiªu?
b) Sao cho A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã lµ bao nhiªu?
Bµi gi¶i
a,(100- 4)  20 – (15 + 25) : 5 =1920- 8=1912
b,100- (4  20) – (15 +25 : 5 )= 20 -20 = 0
Bµi 6: T×m gi¸ trÞ sè tù nhiªn cñ a ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ nhá
nhÊt ®ã lµ bao nhiªu?
A = (a - 30) x (a - 29) x …x (a - 1)
Bµi gi¶i
a= 30 th× A =0 thËt vËy A =( 30 – 30 )  (30  29)  ...  (30  1)  0 1 2  ...  29  0
Bµi 7: T×m gi¸ trÞ cña sè tù nhiªn a ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ lín
nhÊt ®ã lµ bao nhiªu?
A = 2006 + 720 : (a - 6)
Bµi gi¶i
§Ó A lín nhÊt th× 720 : ( a- 6) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi ®ã a -6 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ
lín h¬n 0. Hay a- 6 = 1 => 720 : (a – 6 ) = 720 => 2006 +720 : ( a – 6 ) = 2006 +
720 = 2726
Bµi 8: TÝnh:
1

a) 1 
1

c) 1 

1
1
1
2

1
2

1
3

1 

1

tõ d-íi

1
2

1
1 

2
2  3

Quy ®ång tõ d-íi vµ gi¶i ng-îc

1

1

d) 2 

1

e) 1 

1

b) 1 

1
1  4

Ph©n sè tØ sè cã nhiÒu bµi tËp kiÓu nµy. NÕu trong ®Ò thi
cã kÕt qu¶ th× nªn gi¶i ng-îc tõ cuèi.
VÝ dô d-íi ®©y sÏ chøng tá ®iÒu ®ã:

Bµi 8b,T×m c¸c sè tù nhiªn a,b,c sao cho: A=

1
52
=5+
1
9
a
b

1
c

52
7
 5+ (®æi ra hçn sè)
9
9
1
1
1
1
1
=5+ =5+
=5+
=5+
=5+
=.> a=1;b=3;c=2
1
2
1
1
9
a
1
1
1
1
1
7
7
7
b
3
c
2
2

A=

10

Bµi tËp t-¬ng tù S=

1
61
=8+
1
7
a
b

B=
1
c

1
52
=7+
1
7
a
b

1
c

Bµi 9:
2+

h¹ng)
chia)

3

1
157
=7
b, 2+
=
1
1
68
4
3
2 y
1
4
3
y
=7 -2 =5( t×m sè
1
1
157
4
=
-2
2 y
1
68
3
1
3
1
4
4 =3:5= (t×m sè
y
5
2 y
h¹ng)

3+
3 17
1
=4 - = (t×m sè
5 5
2 y
chia)

trõ)

2 – y =1 :
sè chia)
y= 2 y=

1
4
y

 1:

1

17 5
= (t×m
5 17

5
(t×m sè trõ)
17

1

1
4
y



21
(t×m
68

sè

21 68
= (t×m
68 21

sè

=

68
5
-3=
21
21

1 21
21  20 1

4
 (PSTS)
y 5
5
5

29
17

Bµi 10 a,TÝnh tæng S = 1+ 4+ 9+...+1 00 = 1 1  2  2  3  3  ...  10 10 = 10
 (10+1)  (2  10 +1 ) : 6=385
b,§iÒn dÊu ngoÆc vµo chç thÝch hîp ®Ó A= 1004, biÕt A= 11  91  24 : 5  3
Ta cã A= 11  91  24 : (5  3) =1004
Bµi 11: a, T×m sè tù nhiªn n sao cho:
121 54
100 25
121 54
100 25
Ta cã :

n
:

n
:
27 11
21 126
27 11
21 126

=

Bµi 12: T×m x lµ sè tù nhiªn biÕt:
x 60
a) 
V× 207:17=12nªn ta cã
17 204
x 60
5  12
5
=
= =>x =5

17 204 17  12 17

12  x 2

d)
43  x 3
1 1 2
h,   (a  b) v×
a b 99

c)

;b=11

22

< n < 24 => n =23

6 x 7

33 11
6  x 7 7  3 21
=>6+x=21
 =

33 11 11  3 33

b)

x 3
11
11
e) 1   2
g1   2

5 7
x
x
ba 2
2


=> b-a =2 nªn aa  b 99 9  11

a=9

11

Bµi 17 TÝnh:
253  75  161  37  253  25  161  63
a,

100  47  12  3,5  5,8 : 0,1
253  (75  25)  161  (37  63) 100  (253  161)
9200
=


4700  42  58
4600
4600
2004  37  20040  2  2004  2004  59  2004

27  45  55  27

c,
d, A=
334  321  201  324  324  101  18  324
2  4  6  ...  14  16  18
Bµi 18 C¸c bµi to¸n t×m x,y
1 1 1 1
1
1
a, T×m y, biÕt:(y - ) : (    ...  ) 
2 2 6 12
90
3
Gi¶i:TÝnh trong ngoÆc tr-íc.
1 1 1
1
1933
b,T×m x,biÕt 1+    ... 
1

6 10
x  ( x  1) : 2
1935
1
1
1
1933
Ph©n sè cã d¹ng:1 +
(bít 1 c¶ 2 vÕ)

 ... 
 1
(1  2)  2 (1  3)  3
x  ( x  1)
1935
2
2
2
3

1
1
1
1933

 ... 

(1  2)  2 (1  3)  3
x  ( x  1) 1935
2
2
2
2
2
2
2
1933
=
=


 ......+
2  3 3 4 4  5
x  ( x  1) 1935

=

1
1
1
1
1933
)=


 ...+
2  3 3 4 4  5
1935
x  ( x  1)
1
1
1933
= 2( 
)=
2 x  1 1935
x  1 1933
x 1
1933
=2  (
=>
=>x=1934
)
)
x  1 1935
( x  1)  2 1935
1 1 1
1
2011
Bµi tËp t-¬ng tù : 1+    ... 
1
3 6 10
x  ( x  1) : 2
2013
1 1 1
1
933
1+    ... 
1
3 6 10
x  ( x  1) : 2
935
x 2 6
c,   ( §Ò thi ks HSG VÜnh T-êng 2011)
27 9 18
x
6 2 15
  = => x= 15
27 18 9 27

=2  (

Bµi 19: T×m y:
2
1 7 4 1 
 3 1
 3 :  2  1     1 : 
5
4 2 5 5 2
 4 4
=64
 1 3
1    y
 2 4
B=x+ x  2  x  3  ...  x  5  x  6  18090 (kh¶o s¸t huyÖn S«ng L«)
Cïng bít c¶ hai vÕ x  6 ta cã x  9 = 18090

Bµi 20 Tim x,biÕt
32 44
76
a, x - 
=>x =
43 43
x  125
 100  125
c,
5

43

d,

x

= 18090 : 9 = 2010
b,

3
7

x -10  11

100  x  0,5  2
 0,5  0
2

2
5
=> x =21
7
7

12

Bµi 21 a, TÝnh A= 1,1 +2,2+ 3,3 + ...+8,8 +9,9 =(1,1 +9,9)  9 : 2 =49,5
1 1 1
1
B= 1  1  1  ...  1
(®æi ra PS )
2

3

4

7

b, Ta cã : 1+2=3
(1)
4+5+6= 7+ 8 (2)
9 +10+11 +12 =13 +14 +15 (3)
a,Em h·y viÕt tiÕp hµng thø t-.
b,Trong « thø 100 cã bao nhiªu sè,sè cuèi cïng b»ng bao nhiªu ? (§Ò thi HSG n¨m
2009)
Gi¶i
a,16+17+18+19+20 =21+22+23+24 (4)
b, XÐt nhãm (1) bªn ph¶i cã 1 sè h¹ng ,bªn tr¸i cã(1+1 =)2 sè h¹ng
XÐt nhãm (2) bªn ph¶i cã 2 sè h¹ng, bªn tr¸i cã(2+1 =) 3 sè h¹ng
XÐt nhãm (3) bªn ph¶i cã 3 sè h¹ng, bªn tr¸i cã(3+1 =) 4 sè h¹ng
Suy ra nhãm thø 100 bªn ph¶i cã 100 sè h¹ng , bªn tr¸i cã 100+1 = 101 (sè h¹ng
)
VËy nhãm thø 100 cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng lµ :
100+101 =201 (sè h¹ng )
Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (1)cã d¹ng :1  1 = 1
Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (2)cã d¹ng :2  2 = 4
Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (3)cã d¹ng :3  3 = 9
VËy
Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (100)cã d¹ng :100  100 =10000
Sè h¹ng cuèi cïng trong nhãm thø 100 lµ : 1000 +1  (201 -1) =10200
§¸p sè :a, 16+17+18+19+20
=21+22+23+24 (4
b, 201 :10200
Bµi tËp t-¬ng tù (§Ò thi KSCL HSG VÜnh Phóc)
Ng-êi ta cã 10 bao g¹o nh- sau : 1kg ; 3kg ; 6kg ; 10kg ; ...
a,Em h·y ghi tiÕp khèi l-îng cña c¸c bao cßn l¹i.
b. NÕu ng-êi ta muèn lÊy 1 t¹ tõ c¸c bao nguyªn th× cã thÓ chän nh÷ng bao nµo ?
Gi¶i
a,
Ta cãbao sè 1 lµ 1=1
Ta cãbao sè 2 lµ 3=1+2
Ta cãbao sè 3 lµ 6=1+2+3
Ta cãbao sè 4 lµ 10=1+2+3+4 nªn ta cã c¸c bao tiÕp
theo lµ :
Ta cãbao sè 5 lµ 15=1+2+3+4+5
Ta cãbao sè 6 lµ 21=1+2+3+4+5+6
Ta cãbao sè 7 lµ 28=1+2+3+4+5+6+7
Ta cãbao sè8 lµ
36=1+2+3+4+5+6+7+8
Ta cãbao sè 9 lµ 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9
Ta cãbao sè 10 lµ 55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
b, 1 t¹ = 100kg mµ 100= 45+55=45+36+15+3+1=....
Bµi 22 §iÒn dÊu ngoÆc vµo phÐp tÝnh ®Ó ®-îc kÕt qu¶ lµ 2009
a, 34  59  24 : 6  2
Gi¶i
a, 34  59  24 : (6  2) =2009
b, §iÒn dÊu ngoÆc ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ lín nhÊt B=34  59  6 : 2
§Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× B = 34  (59+ 6 : 2) =34  62 = 2108
c,XÐt d·y sè sau :

1 3 8 21
; ; ; ;... ViÕt sè h¹ng thø 5 trong d·y
2 5 13 34

13

Gi¶i Quy luËt cña d·y sè lµ :

1+2=3
2+3=5
5+8=13
8+13 =21
VËy tö cña ph©n sè tiÕp theo lµ : 13+21=34
VËy mÉu cña ph©n sè tiÕp theo lµ : 21+34 =55
6765
- BiÕt
lµ mét sè h¹ng trong d·y , viÕt sè h¹ng ®øng tr-íc nã(§Ò thi HSG
10964
2008)
Gi¶i
MÉu sè cña ph©n sè tr-íc nã lµ : 10964 -6765=4199
Tö sè cña ph©n sè tr-íc nã lµ : 6765 –4199=2566 VËy ph©n sè cÇn t×m
2566
lµ :
4199
Bµi 23 §Ò thi HSG n¨m 2010 -2011
A, TÝnh A = 12,3  3,5  12,3  2,4  12,3  4,1 = 12,3  (3,5 +2,4 +4,1 )=12,3  10=123
b, ViÕt tÊt c¶ ph©n sè cã tæng tö sè vµ mÉu sè b»ng 10 vµ nhá h¬n 1.
0 1 2 3 4
gi¶i v× 10=0+10 ;1+9 ; 2+8 ;3+7 ;4+6 =>ta cã ; ; ; ; .
10 9 8 7 6
Bµi tËp t-¬ng tù :ViÕt tÊt c¶ c¸c PS cã tæng tö vµ mÉu b»ng 11 vµ lín h¬n 1
Bµi 24 Cho nhãm sè (1) ; (2,3) ; (4,5,6) ; ...a, ViÕt nhãm thø 4
b, Nhãm thø 100 cã bao nhiªu sè h¹ng.
c, Sè h¹ng thø 2 trong nhãm thø 100 lµ sè
nµo ?
Bµi gi¶i
+ Nhãm 4 cã d¹ng :(7,8,9,10)
+Nhãm 1 cã 1 sè h¹ng ; nhãm 2 cã 2 sè h¹ng ; nhãm 3 cã 3 sè h¹ng ;... ; nhãm 100
cã 100 sè h¹ng.
+Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm 1 lµ :1
- Sè cuèi cïng cña nhãm 2 lµ :1+2=3
- Sè cuèi cïng cña nhãm 3 lµ :1+2+3 =6
...
- Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm 99 lµ :1+2+3+...+99=(1+99)  99 :2=4950
VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 100 lµ :4950+2 =4952.
1 1 1
1
Bµi tËp t-¬ng tù : Cho d·y sè:    .  .....
1 5 15 34
a, ViÕt tiÕp 3 ph©n sè tiÕp theo.
b,Ph©n sè thø 100 mÉu cã bao nhiªu sè h¹ng.
c, Sè h¹ng thø 2 trong mÉu sè cña PS thø 100 lµ sè nµo? (§Ò to¸n Kh«i s¸ng t¸c)
Gi¶i
a,XÐt tö cña tÊt c¶ c¸c ph©n sè ®Òu b»ng 1. XÐt mÉu cña tõng ph©n sè ta cã:
MÉu sè cña ph©n sè thø nhÊt lµ:1=1
MÉu sè cña ph©n sè thø hai lµ: 5=2+3
MÉu sè cña ph©n sè thø ba lµ:15=4+5+6 vËy
MÉu sè cña ph©n sè thø t- lµ:
7+8+9+10=34
MÉu sè cña ph©n sè thø n¨m lµ: 11+12+13+14+15=65
MÉu sè cña ph©n sè thø s¸u lµ:
16+17+18+19+20+21=91
1 1 1
VËy ta cã 3 ph©n sè tiÕp theo lµ: ; ;
34 65 91
b,XÐt mÉu cña phÊn thø nhÊt cã 1 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a)
XÐt mÉu cña phÊn thø haicã 2 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a)
XÐt mÉu cña phÊn thø ba cã 3 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a)
....
XÐt mÉu cña phÊn thø 100 cã 100 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a)
c/+Sè h¹ng cuèi cïng cña mÉu PS 1 lµ :1
- Sè cuèi cïng cña PS 2 lµ :1+2=3
- Sè cuèi cïng cña PS 3 lµ :1+2+3 =6
14

...
- Sè h¹ng cuèi cïng cña PS 99 lµ :1+2+3+...+99=(1+99)  99 :2=4950
VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 100 lµ :4950+2 = 4952
Bµi 23 b/ Dù kiÕn ®Ò thi häc sinh giái 2011-2012.(§Ò kh«i s¸ng t¸c)
1 5 34
Cho d·y sè : ; ; ...
1 15 65
a, H·y viÕt tiÕp ph©n sè tiÕp theo.
b,NÕu viÕt ph©n sè thø 50 c¶ tö vµ mÉu d-íi d¹ng 1 tæng th× c¶ tö vµ mÉu gåm bao
nhiªu sè h¹ng.
c, Sè h¹ng thø nhÊt ë mÉu lµ sè nµo?
Bµi gi¶i
Ph©n sè thø nhÊt cã d¹ng :1=1
Tö ph©n sè thø hai cã d¹ng:5=2+3
MÉu ph©n sè thø hai cã d¹ng: 15=4+5+6
Tö ph©n sè thø ba cã d¹ng : 34=7+8+9+10
MÉu ph©n sè thø ba cã d¹ng: 65=11+12+13+14+15
...
VËy tö cña ph©n sè thø t- lµ : 16+17+18+19+20+21=111
111
MÉu cña ph©n sè thø t- lµ:
22+23+24+25+26+27+28=155 ta cã ph©n sè:
155
b, Gäi mÉu cña ph©n sè thø nhÊt lµ nhãm 1 th× sè h¹ng cuèi cïng cña mÉu PS 1
lµ :1
- Gäi tö sè cña PS thø hai lµ nhãm 2 th× sè h¹ng cuèi cïng cña tö PS thø 2
lµ :1+2=3
- Sè cuèi cïng cña mÉu PS thø 2 lµ :1+2+3 =6
..... Ta l¹i cã mÉu PS thø 50 thuéc nhãm : 50  2-1 =99,vËy tö PS thó 50 thuéc nhãm
99-1= 98
Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm thø 98 hay tö PS thø 50 lµ :1++2+3+4+...98=4751
VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 99 lµ hay sè h¹ng thó nhÊt ë mÉu ph©n sè thø
50 lµ :4751+1=4752.
1 11 31
Bµi 24. Cho d·y sè : ; ;7; ;... a, TÝnh tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu.
3 3
3
b, Trong 100 sè h¹ng ®Çu cã bao nhiªu sè tù
nhiªn.
c, TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn trong 100 sè
h¹ng ®Çu.
Bµi gi¶i
10
a,Kho¶ng c¸ch cña c¸c sè h¹ng lµ :
3
1 10
991
Sè h¹ng thø 100 lµ : +  (100-1)=
3 3
3

Tæng 100 sè h¹ng
1 991
49600
®Çu lµ : ( +
)  100 :2=
3
3
3
b,C¸c sè tù nhiªn trong d·y lµ c¸c ph©n sè mµ tö chia hÕt cho 3 theo nguyªn t¾c sè
991
thø nhÊt chia 3 d- 1 ; sè thø 2 chia 3 d- 2, sè thø ba chia 3 d- 0. XÐt ph©n sè
3

991 10
chia 3 d- 1 nªn ph©n sè tr-íc nã lµ sè tù nhiªn.Sè tù nhªn ®ã lµ :
- =327
3 3

c, Ta cãd·y 7 ;17 ;27 ;... ;327
Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè tù nhiªn lµ :
17 -7 =27 -17 =...=10
Sè sè h¹ng lµ :
(327 -7) : 10 +1 =33(sè h¹ng)
Tæng c¸c sè tù nhiªn trong 100 sè h¹ng ®Çu lµ : (7 +327)  33 :2 =5511
1 2
1
Bµi tËp t-¬ng tù :Cho d·y sè ;3 ;7;10 ;... a, T×m sè h¹ng thø 100 trong d·y.
3

3

3

15

b,§Õm trong 100 SH ®Çu cã bao nhiªu sè tù
nhiªn ;
c,TÝnh tæng cña 100 SH ®Çu vµ tæng cña c¸c sè tù nhiªn võa t×m ®-îc ë ý b.
G, C¸c bµi to¸n chän läc
Bµi 1
2009  2009  20082008  2008  2008  20092009
a,TÝnh : S =
Ta cã

2008  20072007
2009  2009  2008  10001  2008  2008  2009  10001
S=
2008  2007  10001
2009  2008  1001  (2009  2008)
S=
(Rót gän)
2008  2007  10001
2009
S=
2007

Bµi tËp t-¬ng tù 1a/
1b/

11  11  1010  10  10  1111
10  2020
2011  2011  20102010  2010  2010  20112011
2010  20092009

Bµi 3 TÝnh S = 1 -2 + 3- 4 +5 – 6 ... -100 +101
1
1
1
P = 5 – 5  6  6  ...  99  100
2
2
2
A = 9,8 + 8,7 + 7,6 +....+ 2,1 - 2,1 - 1,2-...- 8,9

Gîi ý (9,8 -8,9)

Bµi 4 T×m x biÕt : (x+1) + (x+4) +...+ (x +28) = 155
Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè h¹ng lµ : (x + 4) - (x+1) = (x +7) – (x + 4) =...= 3
Sè c¸c sè h¹ng lµ : (x+28) - (x +1) :3 +1 = 10( sè h¹ng)
Tæng cña nhãm lµ : (x+28+x+1)  10 : 2 =x  5+145=155 => x=1
Bµi 5 TÝnh tæng S =10,11+11,12+12,13 +... + 98,99 +99,100
S =10,10 +11,11 +12,12+...+98,98 + 99,99
Kho¶ng c¸chcña d·y sè lµ :11,11-10,10 = 12,12-11,11=...= 99,99 - 98,98 =1,01
Sè sè h¹ng lµ:(99,99 - 10,10) :1,01+1 = 90(sè h¹ng)
Tæng cña d·y lµ:(10,10 + 99,99)  90 : 2 = 4954,05
Bµi...