Ví dụ 1: Cho
còn
là 3 số bất kỳ thoả mãn điều kiện


Chứng minh phơng trình
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).
Giải:
Đặt

Ta xét
là 1 nguyên hàm của
,

trên [0;1].
Hiển nhiên hàm số liên tục trên [ 0;1], có đạo hàm trên (0;1). Nên theo định lý Lagrang tồn tại ít nhất 1 điểm
(0;1) sao cho


Nhng

Nên
, nghĩa là phơng trình
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).
Nhận xét: Với cách giải trên ta có thể giải quyết bài toán tổng quát sau
Cho
và các số
thoả mãn


Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm thuộc (0;1)


Khi ta cho
các số cụ thể ta cũng có thêm nhiều bài toán mới. Ví dụ khi
có bài toán sau: Cho
. Chứng minh rằng phơng trình
luôn luôn có nghiệm.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với
, hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất


( ĐH Khối D - 2006 )
Giải:
Điều kiện

Rút
từ phơng trình (6.2) thay vào phơng trình (6.1) ta dợc phơng trình:

Đặt


khi
và

Vậy
là hàm số liên tục, đồng biến trong
.
Mặt khác

Nên phơng trình
có một nghiệm trong
. Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất với
.
Chú ý: Học sinh dễ mắc sai lầm khi thấy hàm số đồng biến (nghịch biến) đã kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất. Ta chỉ có thể kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất khi hàm số đơn điệu liên tục và trong giá trị của nó có cả các giá trị âm và dơng.
Ví dụ 3 (Định lý Cauchy)
Nếu các hàm số
và
đều liên tục trên đoạn
, khả vi trong khoảng
và
tại mọi
trong khoảng đó thì phơng trình sau luôn có nghiệm:

.
Giải:
Do
tại
.
Thật vậy giả sử
. Theo định lý Lagrang
sao cho

( mâu thuẫn với giả thiết).
Xét hàm số

Do các hàm số
liên tục trên đoạn
, khả vi trong khoảng
nên hàm số
cũng liên tục trên đoạn
, khả vi trong khoảng
.
áp dụng định lý Lagrang
sao cho:



đpcm.
Nhận xét: Dựa vào ví dụ trên ta có thể giải quyết bài toán sau
Giả sử
const, liên tục và có đạo hàm cấp một trên khoảng
. Cho
là hai số thực thoả mãn
. Chứng minh phơng trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc
.


Hớng dẫn: Xét
và
. Rồi áp dụng ví dụ 4.