Ch
ủ
đề
1

MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
1. Các khái niệm: giao,
hợp, hiệu các tập hợp
và các khái niệm
khoảng, đoạn, sai số
tuyệt đối, sai số tương
đối,…

Mệnh đề - tập hợp là kiến thức cơ bản của lôgic học, của lý thuyết tập hợp
và các khái niệm số gần đúng và sai số, tạo cơ sở để học sinh học tập tốt các
chương sau, hình thành cho học sinh khả năng suy luận có lí, hợp lôgic, khả
năng tiếp nhận biểu đạt các vấn đề một cách chính xác, góp phần phát triển năng
lực và trí tuệ của học sinh, từ đó học sinh học tiếp các chương sau của Đại số 10.

2. Phép phủ định và các
mệnh đề chứa kí hiệu
và

§1. Mệnh đề

3. Phương pháp CM
các mệnh đề
,


A. Lý thuyết
1. Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa
sai.
2. Mệnh đề phủ định
3. Mệnh đề

4. Ngôn ngữ tập hợp
trong các diễn đạt toán
học
5. Biết ước lượng sai số
khi thực hiện các phép
tính trên các số gần
đúng.

STUDY TIP
đúng khi:

của mệnh đề A là đúng khi A sai và là sai khi A đúng.

chỉ sai khi A đúng B sai

4. Mệnh đề
đúng khi
đúng hoặc cùng sai và ngược lại
5. Mệnh đề

cùng đúng hay A và B cùng

là đúng nếu có ít nhất một phần tử

là mệnh đề đúng và là sai nếu
phần tử của

và

trở thành mệnh đề sai với tất cả các

.

6.

B. Các dạng toán điển hình
Ví dụ 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

+ A đúng, B đúng

A. Hôm nay là thứ mấy?

+ A sai, B đúng

B. Các bạn hãy học đi!

+ A sai, B sai

C. An học lớp mấy?

sao cho

D. Việt Nam là một nước thuộc Châu Á.
Lời giải
Các đáp án A, B, C không phải là một mệnh đề vì ta không biết tính đúng sai của
các câu này.
Đáp án D.
Ví dụ 2: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
A. 10 là số chính phương

B.

C.

D.

chia hết cho 3

Lời giải
Các đáp án B, C, D không phải là mệnh đề mà là mệnh đề chứa biến.
Đáp án A.
Ví dụ 3: Cho mệnh đề: A = “8 không chia hết cho 2”; B = “

”. Khẳng định

nào sau đây là đúng?
A. A = “8 chia hết cho 2”, A sai,
, B sai,
B.

đúng.

= “2 không chia hết cho 8”, A sai,
, B đúng,

C.
=“
D.
STUDY TIP
Để phủ định một
mệnh đề ta thêm
hoặc
bớt
từ
“không”
hoặc
“không phải” vào
trước vị ngữ của
mệnh đề đó.

đúng.

đúng.

= “8 chia hết cho 2”, A sai,
”, B đúng,

đúng.

sai.

= “8 chia hết cho 2”, A sai,
, B đúng,

sai.

đúng.

sai.
Lời giải

- Đáp án A sai và đã khẳng định
- Đáp án B sai vì:

đúng, B sai.

= “2 không chia hết cho 8”.

Đây không phải là mệnh đề phủ định của mệnh đề A = “8 không chia hết cho 2”.

- Đáp án D sai vì

không phải là mệnh đề phủ định của

.
Đáp án C.

Ví dụ 4: Cho 4 mệnh đề sau:
A=“

”; B = “

”;

C=“

”; D = “

”.

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

“Nếu
Nếu

B.

Mệnh đề

mệnh đề “Nếu P thì
Q”

thì
thì

D.

thì
thì

Nếu
Nếu

”.
”.

Nếu
Nếu

là

”.

Nếu

C.

”.

thì

Nếu
STUDY TIP

thì

”.
”.

thì

”.

thì

”.
Đáp án D.

Ví dụ 5: Giả sử ABC là một tam giác đã cho. Lập mệnh đề
STUDY TIP

đúng sai của mệnh đề này.
P = “Góc A bằng 90°”;

Nếu cả hai mệnh đề

Q=“

và
đều đúng ta nói P
và Q là hai mệnh
đề tương đương.

và xét tính

A.

“

B.

“Nếu

C.

“

D.

“Góc

”.

khi và chỉ khi

” là mệnh đề đúng

thì

” là mệnh đề đúng
thì góc

bằng 90°” là mệnh đề sai

bằng 90° khi và chỉ khi

đúng.
Lời giải
Đáp án này đúng vì theo định lý Pitago thuận và đảo.

” là mệnh đề

Đáp án D.
Ví dụ 6: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
P=“

”; R = “

”.

A. P sai, Q sai, R đúng

B. P sai, Q đúng, R đúng

C. P đúng, Q đúng, R sai

D. P sai, Q đúng, R sai
Lời giải

STUDY TIP
+ “

”; Q = “

- Mệnh đề P sai vì không có số thực nào bình phương bằng
”

là đúng nếu có ít
nhất một phần tử

- Mệnh đề Q đúng vì phương trình
- Mệnh đề R sai vì có giá trị

vô nghiệm
để
Đáp án D.

là đúng.
+ “
là

”
đúng
nếu
đều đúng.

STUDY TIP

Ví dụ 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề:
P=“

”; Q = “

” là:

A.

“

”,

=“

”.

B.

=“

”,

“

”.

C.

=“

”,

=“

”.

D.

=“

”,

=“

”.

Lời giải
thì

Vì theo định nghĩa: P = “
Q=“

”

”
=“

=“

”;

.
Đáp án A.

Ví dụ 8: Mệnh đề “

” khẳng định rằng:

A. Bình phương của mỗi số thực bằng 4
B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 4
C. Chỉ có một số thực bình phương bằng 4
D. Nếu x là một số thực
Đáp án B.
Ví dụ 9: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P = “

STUDY TIP
Phủ

định

của
là

.

A.

“

”

B.

“

“

C.

“

”

D.

“

”

” là:

Lời giải
Vì

“

” thì

“

”.
Đáp án C.

D.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Câu

Xem đáp án chi tiết tại trang 38
Câu 1: Trong các câu sau câu nào không phải
là một mệnh đề?

Phủ

định

của

mệnh

đề:

“

của

mệnh

đề:

“

A.

B.

B.

C.

D.

C.

được hiểu như thế

5:

n chẵn
” là:

A.

Câu 2: Mệnh đề
nào?

chẵn

D.
Câu

6:

Phủ

định

” là:

A. A khi và chỉ khi B
B. B suy ra A

A. “

”

C. A là điều kiện cần để có B

B. “

”

D. A là điều kiện đủ để có B

C. “

”

D. “

”

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Một số chia hết cho 2 và chia hết cho 3
thì nó chia hết cho 6
B. Hai tam giác bằng nhau thì hai trung
tuyến tương ứng bằng nhau
C. Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì
hai tam giác đó bằng nhau
D. Hai tam giác cân có một góc 60° nếu và
chỉ nếu hai tam giác đó có hai góc bằng nhau và
mỗi góc bằng 60°
Câu 4: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phương trình

có nghiệm

Câu 7: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ
để diện tích của chúng bằng nhau
B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần
để diện tích của chúng bằng nhau
C. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần
và đủ để chúng có diện tích bằng nhau
D. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là
điều kiện cần và đủ để chúng bằng nhau
Câu 8: Ký hiệu

P”. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.

B.
C.

vuông tại

= “số a chia hết cho số
và

B.

hoặc

C.

và

D.

và

Câu 9: Cho mệnh đề chứa biến:
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.

B.

Câu 10: Với mọi
là đúng

C.

mệnh đề nào sau đây

A.
B.

là số chính phương

C.

là số lẻ

D.

D.

§2. Tập hợp - Các phép toán trên tập hợp
A. Lý thuyết
1. Tập hợp
Là một khái niệm cơ bản của toán học (không định nghĩa).
Để chỉ rằng a là một phần tử của tập hợp A, ta ký hiệu:
Còn nếu b là một phần tử không thuộc tập hợp A ta ký hiệu:

.
.

2. Cách xác định tập hợp
- Cách 1: Liệt kê các phần tử của nó: Tập X gồm các phần tử: a, b, c, … ta viết
.
- Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó, để chỉ rằng tập X
gồm tất cả các phần tử có tính chất P, ta viết:
.
3. Tập rỗng
Là tập không có phần tử nào, kí hiệu là
4. Tập con
Cho hai tập hợp A và B, nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói
rằng A là một tập hợp con của B, và kí hiệu
Với tập A bất kỳ ta luôn có

và

.

5. Tập hợp bằng nhau
Nếu A và B là hai tập hợp gồm những phần tử như nhau, tức là mọi phần tử của
A đều là phần tử của B, và mọi phần tử của B đều là phần tử của A thì ta nói
rằng các tập hợp A và B là bằng nhau, và ký hiệu A = B.
Vậy

và

.

6. Giao của hai tập hợp
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và
B. Ký hiệu
(phần gạch chéo trong hình)
Vậy

.
.

7. Hợp của hai tập hợp
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B.
Kí hiệu
(phần gạch chéo trong hình bên).
Vậy

.
.

8. Hiệu của hai tập hợp
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và
B. Ký hiệu
(phần gạch chéo trong hình bên).
Vậy

.
.

- Khi

thì

gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là

(phần gạch

chéo trong hình bên).
Vậy
Dạ
ng
1

(với

).

B. Các dạng toán điển hình
Phần tử của tập hợp, cách xác định tập hợp
Ví dụ 1: Ký hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề: “3 là một số tự
nhiên”?

A.

B.

C.

D.

Lời giải
- Đáp án A sai vì kí hiệu “

” chỉ dùng cho hai tập hợp mà ở đây “3” là một số

- Hai đáp án C và D đều sai vì ta không muốn so sánh một số với tập hợp.
Đáp án B.
Ví dụ 2: Ký hiệu nào sau đây để chỉ
A.

không phải là một số hữu tỉ?

B.

C.

D.

Lời giải
Vì

STUDY TIP
Tập hợp
nhiên:

số

chỉ là một phần tử còn

là một tập hợp nên các đáp án A, B, D đều sai.
Đáp án C.

tự
Ví dụ 3: Cho tập hợp

. Tập hợp A là:

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Vì

nên

.
Đáp án D.

Ví dụ 4: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp
A.

B.

.
C.

D.

Lời giải
Vì phương trình

có nghiệm

nhưng vì

nên

.

Vậy

.
Đáp án B.

Ví dụ 5: Liệt kê các phần tử của phần tử tập hợp
A.

B.

.

C.

D.

Lời giải
Vì phương trình

có nghiệm

nên

.
Đáp án D.

Ví dụ 6: Trong các tập sau, tập nào là tập rỗng?

STUDY TIP
Tập rỗng là tập
không có phần tử
nào.

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Xét các đáp án:
- Đáp án A:

.

- Đáp án B: Giải phương trình:
- Đáp án C:

. Vì
. Vì

.

Đây là tập rỗng.
Đáp án C.

Ví dụ 7: Cho tập hợp

. Hỏi tập M có bao nhiêu

phần tử?
A. 0

B. 1

C. 2
Lời giải

D. 3

Vì

nên x, y thuộc vào tập

Vậy cặp

là

thỏa mãn

Có 2 cặp hay M có 2 phần

tử.
Dạ
ng
2

Đáp án C.
Tập hợp con, tập hợp bằng nhau
Ví dụ 1: Cho hai tập hợp A và B. Hình nào sau đây minh họa A là tập con của B?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Hình C là biểu đồ ven, minh họa cho

vì mọi phần tử của A đều là của B.
Đáp án C.

Ví dụ 2: Cho ba tập hợp E, F, G thỏa mãn:

và

. Khẳng

định nào sau đây đúng?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Dùng biểu đồ minh họa ta thấy

.

STUDY TIP
nếu mọi
phần tử của A đều
là phần tử của B.
Đáp án D.
Ví dụ 3: Cho tập hợp
A. 12

. Số tập hợp con gồm hai phần tử của A là:
B. 8

C. 10

D. 6

Lời giải
Cách 1: Mỗi tập con gồm hai phần tử của A là:
.

STUDY TIP

Cách 2: (kiến thức lớp 11)
Vì mỗi tập hợp con gồm hai phần tử là một tổ hợp chập 2 của 4 nên có:
tập con.
Đáp án D.
Ví dụ 4: Cho tập hợp
A. 4

. Số tập con của X là:
B. 6

C. 8

D. 12

Lời giải
- Số tập con không có phần tử nào là 1 (tập
- Số tập con có 1 phần tử là 3:

)
.

- Số tập con có 2 phần tử là 3:

.

Số tập con có 3 phần tử là 1:

. Vậy có

tập con.
Đáp án C.

Nhận xét: Người ta chứng minh được là số tập con (kể cả tập rỗng) của tập hợp n
phần tử là

. Áp dụng vào Ví dụ 4 có

tập con.

Ví dụ 5: Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng một tập hợp con?
A.

B.

C.

D.

STUDY TIP
Lời giải

Tập có n phần tử
có

tập con và
.

Vì tập

có tập hợp con là chính nó.

- Đáp án B có 2 tập con là

và

- Đáp án C có 2 tập con là

và

.
.

- Đáp án D có 4 tập con.
Đáp án A.
Ví dụ 6: Cho tập hợp
thỏa mãn:

?

và

. Có tất cả bao nhiêu tập X

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Lời giải
X là tập hợp phải luôn có mặt 1 và 2.
Vì vậy ta đi tìm số tập con của tập

, sau đó cho hai phần tử 1 và 2 vào các

tập con nói trên ta được tập X.
Vì số tập con của tập

là

nên có 8 tập X.
Đáp án D.

Ví dụ 7: Cho tập hợp
thỏa mãn:

và

và

. Có tất cả bao nhiêu tập X

?

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Lời giải
Cách 1: Vì

nên

Mà

Có

.
tập X.

Cách 2: X là một trong các tập sau:

.
Đáp án B.

Ví dụ 8: Cho tập hợp
các cặp
A.

. Để

thì tất cả

là:
B.

và

C.

D.

và

Lời giải
Ta có:
Dạ
ng
3

Cặp

là

.
Đáp án B.

Các phép toán trên tập hợp
Ví dụ 1: Cho tập hợp
A.

STUDY TIP

. Tập
B.

C.

là tập hợp nào sau đây?
D.

Lời giải
Vì

là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X và vừa thuộc Y nên chọn D.
Đáp án D.

Ví dụ 2: Cho tập
A.

. Tập nào sau đây bằng tập
B.

STUDY TIP

C.

?

D.

Lời giải
Vì

là tập hợp các phần tử thuộc X mà không thuộc Y nên chọn C.
Đáp án C.

Ví dụ 3: Cho tập hợp
A.

.
B.

C.

là tập hợp nào sau đây?
D.

Lời giải
Vì

là tập hợp gồm các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y nên chọn D.
Đáp án D.

Ví dụ 4: Cho hai tập hợp A và B khác rỗng thỏa mãn:
sau mệnh đề nào sai?
A.

B.

C.

. Trong các mệnh đề
D.

Lời giải
Vì

gồm các phần tử thuộc B và không thuộc A nên chọn C.
Đáp án C.

Ví dụ 5: Cho ba tập hợp:
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Vì

mà
Đáp án A.

Ví dụ 6: Cho tập hợp

; B là tập hợp tất cả các giá trị

nguyên của b để phương trình

vô nghiệm. Số phần tử chung của

hai tập hợp trên là:
A. 1

STUDY TIP

B. 2

C. 3

D. Vô số

Lời giải
Ta có:
Phương trình

có

Phương trình vô nghiệm
Có

là phần tử chung duy nhất của hai tập hợp.
Đáp án A.

Ví dụ 7: Cho hai tập hợp
A.

B.

.
C.

là tập hợp sau đây?
D.

Lời giải
Vì

nên
Đáp án C.

Ví dụ 8: Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa bằng biểu đồ ven như hình vẽ.
Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Vì với mỗi phần tử x thuộc phần gạch sọc thì ta thấy:

.
Đáp án B.

Ví dụ 9: Cho hai tập hợp

và

. Số tập hợp X thỏa mãn

là:
A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Lời giải
Vì

nên bắt buộc X phải chứa các phần tử

Vậy X có 3 tập hợp đó là:

và

.

.
Đáp án B.

Ví dụ 10: Cho hai tập hợp

và

. Số tập hợp X thỏa mãn

là:
A. 3

B. 5

C. 6

D. 8

Lời giải

STUDY TIP
Ta có

có 3 phần tử nên số tập con

có

(tập).
Đáp án D.

Ví dụ 11: Cho tập hợp
và

. Tìm số tập hợp X sao cho
.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải
Vì

nên X phải chứa hai phần tử 2; 4 và X không chứa các phần tử

1; 3; 5. Mặt khác

vậy X phải chứa 6; 7 và các phần tử khác nếu có

phải thuộc A. Vậy

.
Đáp án A.

Ví dụ 12: Ký hiệu

là số phần tử của tập hợp X. Mệnh đề nào sai trong các

mệnh đề sau?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Kiểm tra các đáp án bằng cách vẽ biểu đồ Ven cho hai trường hợp

và

Đáp án C.
Ví dụ 13: Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý,
14 học sinh giỏi cả môn Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả. Hỏi
lớp đó có bao nhiêu học sinh?
A. 54

B. 40

C. 26

D. 68

Lời giải
Gọi T, L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lý.
Ta có:

: là số học sinh giỏi Toán
STUDY TIP

: là số học sinh giỏi Lý

là số phần tử của tập
hợp A.

: là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý
Khi đó số học sinh của lớp là:

.

Mà

.

Vậy số học sinh của lớp là

.
Đáp án B.

Ví dụ 14: Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em
học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn
Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn
Hóa. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết rằng
mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa?
A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Lời giải
Gọi T, L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa.
Khi đó tương tự Ví dụ 13 ta có công thức:
STUDY TIP

Vậy có 5 học sinh giỏi cả 3 môn.
Đáp án C.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 38

Câu 1: Cho tập hợp

.

A.

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.

B.

A.
C.

B.

D.

C.

Câu

D.

5:

Cho

tập

hợp

. Khi đó tập

Câu 2: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp:

hợp M có bao nhiêu phần tử?

.
A.

B.

C.

D.

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Câu 6: Cho tập hợp
,

. Quan hệ nào sau đây là

đúng?
Câu 3: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp:
.

A.

B.

C.

D.

A.
B.
C.

Câu 7: Cho tập hợp A có 4 phần tử. Hỏi tập A
có bao nhiêu tập con khác rỗng?
A. 16
Câu

B. 15
8:

D.
Câu 4: Trong các tập hợp sau: tập hợp nào
khác rỗng?

C. 12
Cho

D. 7
tập

hợp

. Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A.

A. 15

B.

B. 16

C. 22

D. 25

Câu 15: Số các tập hợp con có 3 phần tử có

C.

chứa a, b của tập hợp

D.
Câu 9: Ký hiệu H là tập hợp các học sinh của
lớp 10A. T là tập hợp các học sinh nam, G là
tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A. Khẳng
định nào sau đây sai?
A.

B.

C.

D.

Câu 10: Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề
nào sau đây là sai?

A. 5

B. 6

A.

B.

C.

D.

D. 8

Câu 17: Cho tập hợp

và

. Có tất cả bao nhiêu tập hợp X
?

A. 5

B.

C. 7

Câu 16: Trong các tập hợp sau đây, tập hợp
nào có đúng hai tập hợp con?

thỏa mãn

A.

là:

B. 6

C. 4

D. 8

Câu 18: Cho hai tập hợp

C.
D.

Tập nào sau đây bằng tập

Câu 11: Số phần tử của tập hợp:
là:
A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

C. 12 D. 10

là:
B. 2

C. 4

D.
19:

Cho

tập

là:

hợp

?

A.

B.

C.

D.

Câu

20:

Cho

các

D. 3

Câu 14: Số các tập hợp con gồm hai phần tử
của tập hợp

C.

bằng tập

Câu 13: Số phần tử của tập hợp:

A. 0

B.

. Tập nào sau đây

là:
A. 16 B. 8

A.

Câu

Câu 12: Số tập con của tập hợp:

?

. Khi đó:
A.

B.

tập

hợp

C.

D.

Câu 21: Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng
đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14 học sinh chơi
cả bóng đá và bóng bàn và 6 học sinh không
chơi môn nào. Số học sinh chỉ chơi 1 môn thể
thao là?
A. 48

B. 20

C. 34

D. 28

§3. Các tập hợp số
A. Lý thuyết
Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực
.

Dạ
ng
1

B. Các dạng toán điển hình
Biểu diễn tập hợp số
Ví dụ 1: Cho tập hợp
A.

. Tập A là tập nào sau đây?
B.

C.

D.

Lời giải
Theo định nghĩa tập hợp con của tập số thực

ở phần trên ta chọn

.
Đáp án D.

Ví dụ 2: Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho tập hợp

A.

?

B.

C.

D.
Lời giải
Vì

gồm các số thực x mà

nên chọn A.
Đáp án A.

Ví dụ 3: Cho tập hợp

thì X được biểu diễn là hình nào

sau đây?

A.

B.

C.

D.
Lời giải
Giải bất phương trình:
Đáp án D.

Dạ
ng
2

Các phép toán trên tập hợp số
Ví dụ 1: Cho tập hợp
A.

và tập

. Khi đó

B.

C.

STUDY TIP

là:

D.

Lời giải
Vì

nên chọn đáp án C.
Đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hai tập hợp

. Khi đó

là tập nào sau

đây?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Ta có thể biểu diễn hai tập hợp A và B, tập
và B nên

là phần không bị gạch ở cả A

.
Đáp án A.

Ví dụ 3: Cho
A.

. Khi đó
B.

là tập hợp nào sau đây?
C.

D.

Lời giải
Vì với

hay
Đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hai tập hợp
A.

. Tập hợp

B.

C.
Lời giải
.

là:
D.

Đáp án A.
Ví dụ 5: Cho tập hợp
A.

. Khi đó

là:

B.

C.

D.

Lời giải

STUDY TIP
với

Ta có:

.
Đáp án C.

Ví dụ 6: Cho các số thực a, b, c, d và
đúng?

. Khẳng định nào sau đây là

A.

B.

C.

D.
Đáp án A.

Ví dụ 7: Cho ba tập hợp

. Khi đó tập

là:
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Dạ
ng
3

Ta có:

.
Đáp án B.

Các bài toán tìm điều kiện của tham số
Ví dụ 1: Cho tập hợp
A.

hoặc

C.

. Tìm điều kiện của m để
B.
D.
Lời giải

STUDY TIP

Để

thì

hoặc

.

Đáp án B.
Ví dụ 2: Cho tập hợp

và

để B có đúng hai tập con và
A.

. Tìm m

.

B.

C.

D.

Lời giải
STUDY TIP
PT

Để B có đúng hai tập con thì B phải có duy nhất một phần tử, và

nên B có

một phần tử thuộc A. Tóm lại ta tìm m để phương trình

(1)

có nghiệm duy nhất lớn hơn 0.

có nghiệm duy nhất lớn
hơn 0 có trường hợp:

+ Với

ta có phương trình:

+

+ Với

:

+

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0 điều kiện cần là:

(không thỏa mãn).

+
+) Với

ta có phương trình

Phương trình có nghiệm
+) Với

(không thỏa mãn).

, ta có phương trình

Phương trình có nghiệm duy nhất

thỏa mãn.
Đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hai tập hợp
A.

B.

. Điều kiện để
C.
Lời giải

D.

là:

Điều

kiện

để

là

.
Ví dụ 4: Cho hai tập hợp
để

và

. Tìm tất cả các giá trị của

.

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Ta tìm a để

là

.
Đáp án B.

Ví dụ 5: Cho hai tập hợp
tất cả các giá trị của m để
A.

B.

. Tìm
.
C.

D.

Lời giải
Giải bất phương trình:

Để

thì:

Đáp án B.

C.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Câu 7: Chọn kết quả sai trong các kết quả sau:

Xem đáp án chi tiết tại trang 39
Câu 1: Cho hai tập hợp
Tìm

.

B.

C.

D.

C.
D.
Câu 8: Cho tập hợp

Câu 2: Cho hai tập hợp
;

với m là tham số. Điều kiện để
. Tìm

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Cho
B.

C.

D.

Câu 4: Cho 3 tập hợp

C.

Câu 5: Cho hai tập hợp
. Khi đó
A.

B.

C.

D.

Câu 6: Cho hai tập hợp

A.

B.

.

C.

hoặc

D.

hoặc

Câu 9: Cho tập hợp
Điều kiện để

bằng:

B.

D.

B.

.
là:

A.

hoặc

B.

hoặc

C.

hoặc

D.

hoặc

Câu 10: Cho hai tập hợp
và
bằng:

,

. Tìm m để
A.

và

.

B.

C.

D.

Câu 11: Cho 3 tập hợp
,

bằng:

là:

A.

,

. Khi đó

. Khi đó

.

. Tìm

A.

A.

A.
B.

.

A.

,

D.

,
.

.

Tìm

m

để

A.

B.

C.

D.

§4. Số gần đúng. Sai số
A. Lý thuyết
1. Sai số tuyệt đối của một số gần đúng
Nếu a là số gần đúng của số đúng

thì

được gọi là sai số tuyệt đối

của số gần đúng a.
STUDY TIP
Thông thường ta
không thể tính
chính xác được
mà chỉ đánh giá
.

2. Độ chính xác của một số gần đúng
Nếu
đúng của

thì

hay

. Ta nói a là số gần

với độ chính xác d và quy ước viết gọn là

.

3. Quy tắc làm tròn số
Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó
bởi chữ số 0.
Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn 5 hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên,
nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.
Chẳng hạn số quy tròn đến hàng nghìn của
là
4.

là

, của

.

là sai số tương đối của số gần đúng a.

5. Chữ số k của số gần đúng a là chữ số đáng tin nếu sai số tuyệt đối

không

vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số k đó.

B. Các dạng toán điển hình
Ví dụ 1: Biết số gần đúng
các chữ số đáng tin của a.

có độ chính xác

. Hãy xác định

A. 3, 7, 9

B. 3, 7, 9, 7

C. 3, 7, 9, 7, 5

D. 3, 7, 9, 7, 5, 4

Lời giải
Vì sai số tuyệt đối đến hàng trăm nên các chữ số hàng nghìn trở lên của a là đáng
tin.
Vậy các chữ số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5.
Đáp án C.
Ví dụ 2: Biết số gần đúng
sai số tương đối của a.

có độ chính xác

A.

B.

C.

D.

. Hãy ước lượng

Lời giải
Theo Ví dụ 1 ta có các chữ số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5
Cách viết chuẩn của
Sai số tương đối thỏa mãn:

(tức là không vượt quá

).
Ví dụ 3: Biết số gần đúng

có sai số tương đối không vượt quá

, hãy ước lượng sai số tuyệt đối của a và viết a dưới dạng chuẩn.
A.

B.

C.

D.
Lời giải

Từ công thức

, ta có

Vậy chữ số đáng tin là 1, 7, 3, 4.
Dạng chuẩn của a là

.
Đáp án B.

Ví dụ 4: Tính chu vi của hình chữ nhật có các cạnh là

(m) và

(m) và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.

STUDY TIP
Hình chữ nhật có
hai kích thước lần
lượt là a, b thì chu
vi

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chu vi

(m)

Sai số tuyệt đối
Vậy

(m).
Đáp án D.

Ví dụ 5: Tính diện tích S của hình chữ nhật có các cạnh là
và

(m)

(m) và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải.
A.

(

);

B.

(

);

C.

(

);

D.

(

);

Lời giải
STUDY TIP

Diện tích

(

Sai số tương đối

không vượt quá:

Sai số tuyệt đối

không vượt quá:

)

.
Đáp án A.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 39
Câu 1: Xấp xỉ số π bởi số

. Hãy đánh giá

sai

đối

số

tuyệt

biết:

.
A.

B.

C.

D.

B. 2,242

C. 4,2

A.
B.
C.

Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi AL và CI
tương ứng là đường cao của các tam giác ADB
và BCD. Cho biết
. Diện tích
của hình chữ nhật ABCD (chính xác đến hàng
phần trăm) là:
A. 4,24

Câu 5: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm
2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối
của thống kê này không vượt quá 10000 người,
hãy viết số trên dưới dạng chuẩn và ước lượng
sai số tương đối của số liệu thống kê trên.

D. 4,2426

Câu 3: Độ cao của một ngọn núi đo được là
m. Với sai số tương đối mắc phải là
. Hãy xác định sai số tuyệt đối của kết
quả đo trên và viết h dưới dạng chuẩn.

D.

,

Câu 6: Độ cao của một ngọn núi đo được là
với sai số tương đối mắc phải là
. Hãy viết h dưới dạng chuẩn.
A. 2373 m

B. 2370 m

C. 2373,5 m

D. 2374 m

Câu 7: Trong một phòng thí nghiệm, hằng số c
được xác định gần đúng là 3,54965 với độ
chính xác

. Dựa vào d, hãy xác

định chữ số chắc chắn của c.

A.

A. 3; 5; 4

B. 3; 5; 4; 9

B.

C. 3; 5; 4; 9; 6

D. 3; 5; 4; 9; 6; 5

C.
D.
Câu 4: Kết quả đo chiều dài một cây cầu có độ
chính xác là 0,75m với dụng cụ đo đảm bảo sai
số tương đối không vượt quá
dài gần đúng của cầu.
A. 500,1m

B. 499,9m

C. 500 m

D. 501 m

. Tính độ

BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 1
Xem đáp án chi tiết tại trang 40
D. Phương trình bậc hai
Câu 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề:

nghiệm

là

điều

cân tại A”, Q = “

C. Ngày mai là thứ mấy?

và

đủ

để

vuông

là số thực”. Khẳng định

nào sau đây là đúng?

D. Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam.
Câu 2: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
A.

B.

C. 8 là số nguyên tố

D.

là số chẵn

P=“

”

Q=“

”

R=“

là số lẻ”

A.

tại A”;

=“

B. Q đúng

C. Q và R đúng

D. Không có

không vuông tại A”,

D.

= “

không vuông cân tại A

=“

”.

=“

vuông tại B”;
”.

= “

không vuông cân tại

không vuông tại A hoặc không cân
tại A”;

Câu 4: Xét mệnh đề: “Phương trình bậc hai
có nghiệm thì

Câu 6: Cho các mệnh đề:
=“

”. Phát biểu nào sau đây sai?
là điều kiện cần để

phương trình bậc hai

có

nghiệm.

”.

F=“

”.

Phủ định các mệnh đề E và F là:
A.

B. Phương trình bậc hai
nghiệm là điều kiện cần để

=“

không vuông tại A hoặc không cân

C.

A. P đúng

=“
”

B.

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

hai

cần

Câu 5: Cho hai mệnh đề: P = “

B. Các bạn học bài đi!

C. Nếu

kiện

.

A. Bạn học lớp mấy?

A.

có

;

có
.

.
B.

;

thì phương trình bậc

.

có nghiệm.
C.

;

Câu 11: Cho hai tập hợp
D.

và

. Số tập hợp X thỏa mãn:

;
là:

.
A. 2

Câu 7: Cho ba tập hợp:

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 12: Một lớp học có 40 học sinh. Trong đó
có 25 học sinh thích học Toán, 20 em thích học
Văn. Biết rằng mỗi em trong lớp đều thích ít
nhất một môn Toán hoặc Văn. Hỏi lớp có bao
nhiêu em thích cả hai môn?
A. 10

Khẳng định nào sau đây đúng.

B. 8

C. 6

D. 5

Câu 13: Cho tập hợp
A.

B.

C.

Tập hợp A là tập nào sau đây?

D.

Câu 8: Ký hiệu nào sau đây để chỉ

không

phải là một số nguyên?

A.

B.

C.

D.

Câu 14: Cho tập hợp
Khi đó

A.

B.

C.

D.

Câu 9: Cho tập hợp E gồm n phần tử. Số tập
con khác
của tập hợp E là:
A.

B.

C.

D.

.

.

là tập hợp nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Câu

15:

Cho

tập

hợp

,

. Tìm điều kiện của m để

Câu 10: Cho hai tập hợp

,

. Có bao nhiêu tập hợp X mà

A.

B.

C.

D.

.

Câu 16: Cho hai tập hợp
.

.
A. 1

B. 2

C. 3

Tìm m để

D. 4
A.

B.

và B có 4 tập hợp con.
C.

D.

Câu 17: Cho hai tập hợp:

Tìm tất cả các giá trị của m để
A.

B.

C.

D.

.

Câu 18: Trong một thí nghiệm hằng số C được
xác định gần đúng là

với độ chính xác

. Dựa vào d hãy xác định xem có
bao nhiêu chữ số chắc chắn của C.
A. 2

B. 3

C. 4

Câu 19: Cho
lấy số

D. 5
. Giả sử ta

làm giá trị gần đúng của

.

Hãy tính sai số tương đối của a theo x.
A.

B.

C.

D.

Câu 20: Cho số thực

. Điều kiện cần và

đủ để hai khoảng

và

khác rỗng là:
A.

B.

C.

D.

có giao

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 1
I. MỆNH ĐỀ

Câu 1: Đáp án D.
Vì

là mệnh đề chứa biến.

Câu 2: Đáp án D.
Vì

thì A là điều kiện đủ để có B và B là điều kiện cần để có A.

Câu 3: Đáp án C.
Vì hai tam giác có diện tích bằng nhau chưa chắc đã bằng nhau.
Câu 4: Đáp án B.
Vì điều ngược lại không đúng:

Chẳng hạn
thì

vô lý.

Câu 5: Đáp án B.
Vì

là

Câu 6: Đáp án A.
Vì:

là

Câu 7: Đáp án A.
Vì hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác đó có diện tích bằng nhau.
Câu 8: Đáp án D.
Vì

thì

hoặc

. Chẳng hạn

và

là sai vì

.

Câu 9: Đáp án B.
Vì thay lần lượt các giá trị x bằng 0; 5; 3; 4 vào
đúng.
Câu 10: Đáp án A.

thấy

cho mệnh đề

Vì tích của 3 số tự nhiên lien tiếp chia hết cho 6.
II. TẬP HỢP. CÁC PHÉP TOÁN
Câu 1: Đáp án B.
Ta có
Vì

.
nên
.

Câu 2: Đáp án A.
Giải phương trình
.
Câu 3: Đáp án D.
Giải phương trình
.
Câu 4: Đáp án D.
Ta đi liệt kê các phần tử của các tập hợp A, B, C, D:
- Với tập hợp A: Giải phương trình
- Với tập hợp B: Giải phương trình
vì
- Với tập hợp C: Giải phương trình

vì
- Với tập D: Giải pt
.
Câu 5: Đáp án B.

vô nghiệm

Vì
nên

.

Khi đó tập hợp M có 1 phần tử duy nhất là

.

Câu 6: Đáp án C.
Ta thấy mọi phần tử của A đều thuộc C và mọi phần tử của B đều thuộc C nên
chọn C.
Câu 7: Đáp án B.
Vì số tập con của tập 4 phần tử là

Số tập con khác rỗng là

Câu 8: Đáp án A.
Ta thấy

.

Câu 9: Đáp án D.
Vì

.

Câu 10: Đáp án B.
Ta có thể dùng biểu đồ Ven ta thấy

Câu 11: Đáp án D.
Giải phương trình

.

trên

.

Câu 12: Đáp án A.
Giải phương trình

Đặt

ta có phương trình

Với

ta có

Với

ta có:

Vậy A có 4 phần tử suy ra số tập con của A là
Câu 13: Đáp án C.
Giải phương trình

.

Vậy A có 4 phần tử.
Câu 14: Đáp án A.

.

Cách 1:
Số tập

con

có

2 phần

tử

trong

đó có

phần

tử

a là

5

tập

.
Số tập con có 2 phần tử mà luôn có phần tử b nhưng không có phần tử a là 4 tập:
,

,

,

.

Tương tự ta có tất cả

tập.

Cách 2 (lớp 11):
Số tập con có 2 phần tử từ tập A có 6 phần tử là:
Câu 15: Đáp án A.
Tập con có 3 phần tử trong đó a, b luôn có mặt.
Vậy phần tử thứ 3 sẽ thuộc một trong các phần tử c, d, e, f, g (5 phần tử) nên có 5
tập con.
Câu 16: Đáp án B.
Vì tập hợp

có hai tập con là

và chính nó.

Câu 17: Đáp án C.
Vì

nên X phải chứa 3 phần tử

của A. Mặt khác

chỉ có thể lấy các phần tử a, b, c, d, e.
Vậy X là một trong các tập hợp sau:
,

,

.

Câu 18: Đáp án A.
Vì

gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.

Câu 19: Đáp án C.
Vì
Câu 20: Đáp án C.
Ta có

nên

.
Câu 21: Đáp án B.
Gọi A là tập hợp các học sinh chơi bóng đá
B là tập hợp các học sinh chơi bóng bàn
C là tập hợp các học sinh không chơi môn nào
Khi đó số học sinh chỉ chơi bóng đá là

II. TẬP HỢP. CÁC PHÉP TOÁN
Câu 1: Đáp án B.

Câu 2: Đáp án B.

Câu 3: Đáp án A.
Vì

gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B nên

Câu 4: Đáp án A.

.
Câu 5: Đáp án A.

.

Câu 6: Đáp án D.
Ta có:

Câu 7: Đáp án D.
Câu 8: Đáp án B.

Câu 9: Đáp án C.

Câu 10: Đáp án A.

Ta đi tìm m để

hay
Câu 11: Đáp án A.

Ta đi tìm m để
- TH1: Nếu

- TH2: Nếu

Vì

nên

thì

IV. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
Câu 1: Đáp án A.
Ta có (sử dụng máy tính bỏ túi)

Do vậy

Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn
Câu 2: Đáp án A.

Ta có:
do đó

.

Lại có
Suy ra diện tích của hình chữ nhật là:

Câu 3: Đáp án A.
Theo công thức

ta có:

.

Và h viết dưới dạng chuẩn là

(m)

Câu 4: Đáp án C.
Độ dài h của cây cầu là:
(m)
Câu 5: Đáp án A.
Vì các chữ số đáng tin là 7; 9; 7. Dạng chuẩn của số đã cho là

(Bảy

mươi chín triệu bảy trăm nghìn người). Sai số tương đối mắc phải là:

Câu 6: Đáp án B.
, ta có:

h viết dưới dạng chuẩn là

m.

Câu 7: Đáp án A.
Ta có:

nên chữ số 4 (hàng phần trăm) là chữ số chắc chắn, do

đó c có 3 chữ số chắc chắn là 3; 5; 4.
ĐỀ KIỂM
Câu V.
1: Đáp
án D. TRA CHỦ ĐỀ 1
Các đáp án A; B; C không phải là mệnh đề vì không biết tính đúng sai của chúng.
Câu 2: Đáp án C.
Các đáp án A; B; D là mệnh đề chứa biến.
Câu 3: Đáp án B.
Câu 4: Đáp án B.

Vì

có nghiệm là điều kiện đủ để

.

Câu 5: Đáp án D.
Câu 6: Đáp án C.
+E=“

”
.

+F=“

”
.

Câu 7: Đáp án A.
nên

Câu 8: Đáp án C.
Vì

là một phần tử, còn

là một tập hợp nên đáp án A, B, D đều sai.

Câu 9: Đáp án B.
Cho tập hợp E gồm n phần tử thì số tập con khác

của tập hợp E là

.

Câu 10: Đáp án D.
Vì
mà
là tập hợp con của tập có 2 phần tử nên có

tập con.

Câu 11: Đáp án C.
Vì

nên X phải chứa các phần tử

Vậy X có 4 tập hợp đó là:

;

và
;

.
và

Câu 12: Đáp án D.
Gọi T và V lần lượt là tập hợp các học sinh thích môn Toán và môn Văn.

.

có:

là số học sinh thích môn Toán.
là số học sinh thích môn Văn.
là số học sinh thích cả hai môn Toán và Văn.

Ta có:

là số học sinh của lớp.

Từ

Câu 13: Đáp án C.
Câu 14: Đáp án A.
Câu 15: Đáp án D.
Để

thì

hay
Câu 16: Đáp án B.
Vì B có 4 tập hợp con
có 2 phần tử.
Các phần tử của B phải dương. Vậy ta đi tìm m để phương trình:
có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu 17: Đáp án C.
Ta có: