Định lí Rolle và ứng dụng
Ths. Nguyễn Bá Thủy

I. Đặt vấn đề
Công tác bồi dưỡng học sinh khá và giỏi là nhiệm vụ rất quan trọng được tiến hành thường xuyên và liên tục trong suốt quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng. Với đối tượng học sinh khá và giỏi, người thầy giáo ngoài việc dạy cho học sinh cách giải bài toán còn cần phải hướng dẫn học sinh cách tìm tòi, định hướng phương pháp giải, sáng tạo bài toán mới và đi tìm những lời giải đẹp cho các bài toán. Từ đó tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong học tập toán.
Với suy nghĩ trên, trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá và giỏi toán lớp 12 phần phương trình, chúng tôi đã hướng dẫn học sinh tìm những phương pháp, những lời giải hay và độc đáo cho các bài toán, đặc biệt là các bài toán khó. Quá trình đó đã đưa chúng tôi đến với định lí Rôn (Rolle) — Một định lí rất đẹp, một công cụ rất mạnh để giải các bài toán về phương trình. Đề tài này của chúng tôi sẽ tìm hiểu các ứng dụng của Định lí Rolle trong việc nghiên cứu các phương trình.
Trước hết chúng ta hãy làm quen với định lí này:
“Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra f(a) = f(b) thì tồn tại c((a; b) sao cho f’(c) = 0”.
Chứng minh:
Theo định lí Lagrange vì f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) nên tồn tại c((a; b) sao cho: nhưng vì f(a) = f(b) nên ta có f’(c) = 0.
(Định lí này có thể được chứng minh trực tiếp mà không cần sử dụng định lí Lagrange)
Để ứng dụng giải toán ta có thể hiểu định lí Rôn như sau: “Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra nếu phương trình f’(x) =0 có n nghiệm trên (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá (n+1) nghiệm trong khoảng đó”.
Thật vậy, nếu phương trình f(x) = 0 có nhiều hơn (n+1) nghiệm trên khoảng (a; b). Chẳng hạn là n+2 nghiệm, được kí hiệu bởi: x1< x2< ...< xn+2, như vậy ta có
do đó trong mỗi khoảng (xi; xi+1) phương trình f’(x) = 0 sẽ có một nghiệm ( trong khoảng (a; b) phương trình f’(x) = 0 sẽ có n+1 nghiệm. (Vì n+2 số x1, ...xn+2 sẽ xác định n+1 khoảng).
Chính nhờ cách hiểu này mà định lí Rôn trở thành một công cụ rất mạnh để giải toán. Đặc biệt là trong việc giải phương trình và chứng minh phương trình có n nghiệm trong một khoảng nào đó.
Vận dụng định lí Rolle nghiên cứu phương trình.
Phương pháp chung: — Ta biến đổi phương trình cần giải về dạng: f(x) = 0.
Xét hàm số