CHUYÊN ĐỀ 2. TỨ GIÁC
LÝ THUYẾT
Hình thang
Hình thang làtứgiáccóhaicạnhđối song song
Đểchứng minh hình thang ta cầnchứng minh haicạnhđối song song
Hình thang cân
Hình thang cânlàhình thang cóhaigóckềmộtđáybằngnhau.
Tínhchất: + Trongmộthình thang cânthìhaicạnhbênbằngnhau.
+ Trongmộthình thang cânthìhaiđườngchéobằngnhau.
Đểchứng minh hình thang cân ta cầnchứng minh
+ Chứng minh hình thang cóhaigóckềmộtđáybằngnhau
+ Chứng minh hình thang cóhaiđườngchéobằngnhau.
Đườngtrungbìnhcủa tam giác
Đườngtrungbìnhcủa tam giácthì song songvớicạnhthứbavàbằngnữacạnhấy.
Hìnhbìnhhành
Hìnhbìnhhànhlàtứgiáccócáccạnhđối song song
Tínhchất: + cáccạnhđốibằngnhau
+ cácgócđốibằngnhau
+ Hai đườngchéocắtnhautạitrungđiểmcủamỗiđường.
Dấuhiệunhậnbiết:
TứgiáclàCáccạnhđối song song
Tứgiáccáccạnhđốibằngnhau
Tứgiáccócácgócđốibằngnhau
Tứgiáccóhaiđườngchéocắtnhautạitrungđiểmmỗiđường
Tứgiáccóhaicạnhđối song songvàbằngnhau.
Hìnhchữnhật
Hìnhchữnhậtlàtứgiáccóbốngócvuông
Tínhchất: Hìnhchữnhậtcótấtcảcáctínhchấtcủahìnhbìnhhànhvàhình thang cân. Nhưngcầnchú ý cáctínhchấtsau:
Cáccạnhđối song songvàbằngnhau
Hai đườngchéobằngnhauvàcắtnhautạitrungđiểmmỗiđường.
Dấuhiệunhậnbiết
Tứgiáccóbagócvuông
Hình thang câncómộtgócvuông
Hìnhbìnhhànhcómộtgócvuông
Hìnhbìnhhànhcóhaiđườngchéobằngnhau.
Ápdụngvào tam giác:
Trongmột tam giácvuôngđườngtrungtuyếnứngvớicạnhhuyềnbằngnữacạnhấy.
Nếumột tam giáccóđườngtrungtuyếnứngvớimộtcạnhbằngnữacạnhấythì tam giácđólà tam giácvuông.
Hìnhthoi
Hìnhthoilàtứgiáccóbốncạnhbằngnhau.
Tínhchất: Hìnhthoicótấtcảtínhchấtcủahìnhbìnhhànhnhưngcầnchú ý vềtínhchấtđườngchéo. Tronghìnhthoi, haiđườngchéovuônggóc, haiđườngchéolàcácđườngphângiáccủacácgóccủahìnhthoi.
Dấuhiệunhậnbiết:
Tứgiáccóbốncạnhbằngnhau.
Hìnhbìnhhànhcóhaicạnhkềbằngnhau.
Hìnhbìnhhànhcóhaiđườngchéovuônggócvớinhau.
Hìnhbìnhhànhcómộtđườngchéolàphângiáccủamộtgóc.
Hìnhvuông
Hìnhvuônglàtứgiáccóbốnggócvuôngvàcóbốncạnhbằngnhau.
Tínhchất: Hìnhvuôngcóđầyđủtínhchấtcủahìnhchữnhậtvàhìnhthoi.
Dấuhiệunhậnbiết:
Hìnhchữnhậtcóhaicạnhkềbằngnhau
Hìnhchữnhậtcóhaiđườngchéovuônggócvớinhau
Hìnhchữnhậtcómộtđườngchéolàđườngphângiáccủanó
Hìnhthoicómộtgócvuông
Hìnhthoicóhaiđườngchéobằngnhau.


BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD, ABBài 2. Cho ba điểm A, B, C theothứtựấynằmtrênmộtđườngthẳng d, biết AB>BC. Trongcùngmộtnữamặtphẳngbờlàđườngthẳng d vẽhai tam giácđều ADB, BEC. Gọi M,N, P, Q, I theothứtựlàtrungđiểmcủacácđoạnthẳng BD, AE, BE, CD, DE.
Chứng minh bađiểm I, M, N thẳnghàng, bađiểm I, Q, P cũngthẳnghàng.
Chứng minh tứgiác MNPQ làhình thang cân.
Chứng minh 2NQ=DE.
Bài 3. Lấyhaicạnh AB, AC của tam giác ABC (với
𝐵𝐴𝐶≠60dựng ra phíangoàigóc A hai tam giácđều ABD và ACE. Lấy AD và AE làmcạnhdựnghìnhbìnhhành ADFE. Chứng minh tam giác FBC là tam giácđều.
Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi P làđiểmthuộcmiềntrong tam giácsaochogóc PAC bằnggóc PBC. Gọi L, M theothứtựlàchânđườngvuônggóckẻtừ P đến BC, AC. Chứng minh rằngnếu D làtrungđiểmcủacạnh AB thì DL=DM.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Trêntiađốitia BA lấyđiểm D, trêntiađốicủatia CA lấyđiểm E thỏamãn BD=CE=BC. Gọi F làgiaođiểmcủa BE và CD. Kẻ qua F đườngthẳng song songvớitiaphângiáccủagóc A, đườngthẳngnàycắtcạnh AC tại M. Chứng minh AB= CM.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuônggóctại A, kẻđườngcao AH vàtrungtuyến AM. Đườngphângiáccủagóc A cắtđườngtrungtrựccủacạnh BC tạiđiểm D. Từ D kẻ DE vuônggócvơi BC và DF vuônggócvới AC. Chứng minh
AD làtiaphângiácgóc HAM.
Ba điểm E, M,F thẳnghàng.
Tam giác BDC là tam giácvuôngcân.
Bài 7. Cho tam giác ABC. Trongnữamặtphẳngchứađỉnh A, bờlàđườngthẳng BC, vẽhìnhvuông BCDE vàtrongnữamặtphẳngcóchứađỉnh C, bờlàđườngthẳng AB vẽhìnhvuông ABFG. Chứng minh AE=FC và EA vuônggócvới FC.
Bài 8. Cho hìnhvuông ABCD.Từmộtđiểm M thuộcđườngchéo BD, ta kẻ ME vuônggócvới AB và MF vuônggócvới AD. Chứng minh
DE=CF và DE vuônggóc CF
CM=EF và CM vuônggóc EF
BF=CE và BF vuônggóc CE.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuôngtại A và ABChứng minh D thuộcđoạnthẳng HC.
Gọi F làgiaođiểmcủa DE và AC. Đườngthẳng qua F song songvới AB cắtđườngthẳng qua B song songvới AC tạiđiểm G. Chứng minh tứgiác ABGF làhìnhvuông.
Chứng minh bađườngthẳng AG, BF, HE đồngquy.
Chứng minh tứgiác DEHG làhình thang.
Bài 10. Cho đoạnthẳng AB= a vàmộtđiểm M bấtkìthuộcđoạnthẳngấy. Trongcùngmộtnữamặtphảngbờlàđườngthẳng AB vẽcáchìnhvuông AMCD, BMEF.
Chứng minh AE vuônggóc CB tạimộtđiểm ta gọilà H.
Chứng minh D, H, F thẳnghàng.
Gọi I làtrungđiểmcủađoạn DF. TínhkhoảngcáchtừI đếnđườngthẳng AB theo a, suy ra rằng I làđiểmcốđịnh ko phụthuộcvàovịtrícủa M trênđoạn AB.
Bài 11. Cho mộtgócvuôngxAy quay xungquanhđỉnh A củahìnhvuông ABCD. Cạnh Ax cắtcácđườngthẳng BC và CD theothứtựtạicácđiểm M, N vàcạnh Ay cắtcácđườngthẳng BC, CD theothứtựcácđiểm P, Q
Chứng minh các tam giác NAP, MAQ là tam giácvuôngcân.
Gọi F làgiaođiểmcủa QM và PN, F và I theothứtựlàtrungđiểmcủacácđoạnthẳng QM và PN. Chứngtứgiác AFEI làhìnhchữnhật.
Khi gócvuôngxAy quay quanhđỉnh A thìcácđiểm F, I di chuyểntrênđườngthẳngcốđịnhnào?