PHAÂN TÍCH ÑA THÖÙC THAØNH NHAÂN TÖÛ
=======================
I/ LÍ THUYẾT:
1/ Caùc phöông phaùp ñaõ hoïc lôùp 8: (Ñaët nhaân töû chung, Haèng ñaúng thöùc, Nhoùm haïng töû)
2/ Phöông phaùp taùch haïng töû:
a/ Phaân tích ña thöùc ax2 + bx + c ta taùch bx thaønh b1x + b2x sao cho b1b2 = ac.
+ Tìm tích ac
+Phaân tích ac ra tích 2 soá nguyeân b1, b2 baát kyø
+ Choïn caëp thöøa soá sao cho: b1 + b2 = ac.
Ví duï: Phaân tích 3x2 – 8x + 4 coù a = 3; b = -8; c = 4
ac = 12 = 1.12 = 3.4 = 2.6 = (-1).(-12) = (-3).(-4) = (-2).(-6) ta choïn caëp soá -2 vaø -6 vì (-2) + (-6) = (-8)
Neân: 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Löu yù: Neáu a = 1 thì x2 + bx + c = (x + b1)(x + b2) vôùi b1 + b2 = b vaø b1.b2 = c
b/ Taùch haïng töû ñeå xuaát hieän hieäu cuûa 2 bình phöông:
Ví duï: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 1 – 2)(2x – 1 + 2) = (2x – 3)(2x + 1)
c/ Ña thöùc töø baäc 3 trôû leân ta thöôøng söû dung theo caùch tìm nghieäm cuûa ña thöùc : “a goïi laø nghieäm cuûa ña thöùc f(x) neáu f(a) = 0” vaø khi a laø nghieäm cuûa ña thöùc f(x) thì f(x) chöùa thöøa soá x – a; töùc laø ta taùch caùc haïng töû sao cho cho coù thöøa soá chung x – a.
+ Nghieäm nguyeân cuûa ña thöùc neáu coù phaûi laø öôùc cuûa haïng töû töï do (haïng töû khoâng chöùa x)
+ Tröôøng hôïp ñaëc bieät neáu f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + ax + a
* coù toång caùc heä soá: an + an-n + … + a = 0 thì x = 1 laø nghieäm cuûa f(x)
* Toång heä soá cuøa caùc soá haïng baäc chaün baèng toång heä soá cuûa caùc soá haïng baäc leû thì x = -1 laø nghieäm cuûa f(x).
Ví duï: 4x3 – 13x2 + 9x – 18
Ta thaáy f(3) = 0 neân x = 3 laø nghieäp cuûa ña thöùc ñaõ cho. Hay ña thöùc treân chöùa thöø soá x – 3. Do ñoù ta coù caùch taùch nhö sau:
4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3)
= (x – 3)(4x2 – x + 6)

3/ Phöông phaùp theâm bôùt cuøng moät soá haïng:
a/ Theâm bôùt ñeå xuaát hieän hieäu cuûa 2 bình phöông:
Ví duï: x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 36x2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 – 6x +9)(2x2 + 6x + 9)
b/ Theân bôùt cuøng moät soá haïng ñeà xuaát hieän thöøa soá chung:
Ví duï: x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) =
= x(x3 + 1)(x – 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[ x(x3 + 1)(x – 1) + 1] =
= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1)
* Chuù yù: Caùc ña thöùc daïng: x3m+2 + x3n+1 + 1 luoân chöùa thöøa soá x2 + x + 1

4/ Phöông phaùp ñoåi bieán:
Ví duï: Phaân tích: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 =
= (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Ñaët y = x2 +10x + 12 thì bieåu thöùc ñaõ cho trôû thaønh :
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 122 + 128 = y2 – 16 = (y – 4)(y + 4)
= (x2 +10x + 12 – 4)( x2 +10x + 12 + 4) = (x2 +10x + 8)( x2 +10x + 16)
= (x + 2)(x + 8) (x2 +10x + 8)

5/ Phöông phaùp heä soá baát ñònh:
Söû duïng khi khoâng tìm ñöôïc nghieäm nguyeân hoaëc nghieäm höõu tæ
Ví duï: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 (1)
Neáu ña thöùc phaân tích ñöôïc thaønh nhaân töû thì 2 nhaân töû phaûi laø baäc 2 vaø coù daïng:
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Ñoàng nhaát thöùc vôùi (1) ta ñöôïc heä ñieàu kieän:


Xeùt bd = 3 vôùi b,d
Z töø ñoù ta choïn b = 3 => d = 1; heä ñieàu kieän trôû thaønh:

=> 2c = -14 –(-6) = -8; Do ñoù c = -4; a = -2.
Vaäy ña thöùc ñaõ cho laø: (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)

II/ BAØI TAÄP:
Phaân tích thaønh nhaân töû:
1/ a/ a3 + 4a2 – 7a – 10 b/ x3 – 6x2 + 11x – 6 d/ x3 + x2 – x + 2
d/ x3 + 5x2 + 8x + 4 e/ x3 – 9x2 + 6x + 16 f/ x4 – 4x2 – 5

2/ a/ 6x2 – 11x + 3 b/ 2x2 – 5xy – 3y2 c/ 2x2 + 3x – 27
d/ 2x2 – 5xy + 3y2 e/ x3 + 2x – 3 f/ x3 – 7x + 6
g/ x2 + 8x – 20 h/ x3 – x2 – 4

3/ a/ x2 + 7x + 12 b/ x2 + 13x + 36 c/ x2 – 8x + 15
d/ t2 – 9x + 20 e/ x2 + 9x + 8 f/ y2 + 11y + 28
g/ b2 + 5b + 4 h/ 2t + 99 – t2 i/ m2 – 2m – 15

4/ a/ 3x2 – 10x – 8 b/ 2x2 – 7x – 4 c/ 3x2 – x – 4
d/ 5x2 + x – 18 e/ 3x2 – 4x – 15 f/ 6x2 + 23x + 7

5/ a/ (x2 – 1 + x)(x2 – 1 + 3x) + x2 b/ (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1
c/ (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 – 10 d/ (2x2 + 3x – 1) – 5(2x2 + 3x + 3) + 24
e/ (x2 + x) – 2(x2 + x) – 15 f/ (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12
g/ x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 h/ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) – 24

6/ a/ a3 + 9a2 + 11a – 21 b/ x3 – 6x2 – x + 30 d/ 9x3 – 15x2 – 32x -12
d/ x4 + 2x3 – 16x2 - 2x + 15 e/ 2x4 - x3 – 9x2 + 13x - 5

7/ a/ 4x4 – 5x2 + 1 b/ a4 + 4 c/ a4 + a2 + 1 d/ a8 + a4 + 1
e/ x5 + x4 + 1 f/ x4 + 2x3 + 1 g/ x7 + x5 + 1 h/ 2x4 – x2 -1

8/ a/ ab(a + b) – bc(b + c) + ca(c + a) + abc b/ a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc
c/ (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3 d/ x(x2 –z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
e/ (x + y + z)3 – x3 – v3 – z3 f/ xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

9/ CMR: A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia heát cho moät soá chính phöông khaùc 1 vôùi n nguyeân döông.
10/ CMR tích 4 soá töï nhieân lieân tieáp coäng theâm 1 laø moät soá chính phöông.
11/ Tìm caùc soá nguyeân a, b, c sao cho: (x + a)(x – 4) – 7 = (x + b)(x + c)
12/ Tìm caùc soá höõu tæ a, b, c sao cho x3 + ax2 + bx + c phaân tích thaønh nhaân töû ñöôïc (x + a)(x + b)(x + c)
13/ Cho ña thöùc P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13 x + 6
a/ Phaân tích P(x) thaønh nhaân töû
b/ CMR: P(x) chia heát cho 6 vôùi moïi x
Z
14/ Cho ña thöùc P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 - 9x + 6
a/ Trong tröôøng hôïp x laø moät soá nguyeân döông. CMR: P(x)
6
b/ Tìm giaù trò cuûa x ñeå P(x) = 0
15/ Cho a + b + c = 1 vaø a2 + b2 + c2 = 1
a/ Neáu
; CMR xy + yz + zc = 0
b/ Neáu a3 + b3 + c3 = 1 Tìm giaù trò cuûa a, b, c.
Gôïi yù: a/ aùp duïng t/c cuûa daõy tæ soá baèng nhau vaø HÑT
b/ Aùp duïng keát quaû caâu 8e
16/ Cho 3 soá phaân bieät a,b, c. CMR: A = a4(b – c) + b4(c –a) + c4(a –b) luoân khaùc 0
Gôïi yù: Phaân tích A = ½(a – b)(a – c)(b – c)[(a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2] neân khaùc 0
17/ Phaân tích thaønh nhaân töû: A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4
CMR neáu a, b, c laø 3 caïnh cuûa tam giaùc thì A > 0
Gôïi yù: A = ( a + b + c)(a + b – c)( c + a – b)(c – a + b) chöùng minh A>0