CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT
Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT
Bài 1: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b,

(a > b)

c,

a, Ta có :
b, Ta có :
c, Ta có :
Bài 2: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b,

c,

không 4,2,5

a, Ta có:Nếu n là số lẻ thì
Nếu n là số chẵn thì
b, Ta có:Vì
c, Ta có :
Bài 3: Chứng minh rằng:
a,
HD:

, Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì :
là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3
là 1 số lẻ nên không cho 4,2 và có chữ số tận cùng khác 0 và 5

b,

không

5

c,

a, Ta có:Nếu n là số chẵn thì
Nếu n lẻ thì

, Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì

b, Ta có :

, Vì

cùng là : 0, 2, 6, Do đó :

là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận
sẽ có tận cùng là 6, 8, 2 nên không

c, Ta có :
Bài 4: Chứng minh rằng:
a,
HD:

,37

5
chia hết cho 37

b,

c,

a, Ta có :
chia hết cho a và chia hết cho 37
b, Ta có:Vì a, b là hai số tự nhiên nên a,b có các TH sau:
TH1: a, b cùng tính chẵn lẻ=> (a+b) là 1 số chẵn nhưu vậy a+b chia hết cho 2
TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì 1 trong 2 số phải có 1 số chẵn khi đó số đó chia hết cho 2
c, Ta có:
Bài 5: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 6: Chứng minh rằng:
Bài 7: Chứng minh rằng số có dạng :
HD :

luôn chia hết cho 11

Ta có :
1

Bài 8: Tìm n là số tự nhiên để:
HD:
Ta có:

, Để

Ta có:
Và
Thử vào ta thấy
Bài 9: CMR : 2x+y 9 thì 5x+7y 9
HD:

thỏa mãn yêu cầu đầu bài

Ta có :
Bài 10: Chứng minh rằng:
a, Nếu
HD:

thì

b, Cho

cmr

a, Ta có:

hay (a+c) – (b+d) 11

Khi đó
b, Ta có:

vì có (a+c) - ( b+d)

11

Ta có
Bài 11: Chứng minh rằng:

mà

a, CMR:
HD:

nên

b, Cho

cmr

a, Ta có:Ta có
b, Ta có :Ta có
Nên
Bài 12: Chứng minh rằng:
a,
HD:

nếu

b, Cmr nếu

thì

a, Ta có :
b, Ta có :
Bài 13: Chứng minh rằng:
a, Cho
HD:

cmr

b, Nếu

thì

a, Ta có :
b, Ta có :
Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu
HD :
Ta có :
Bài 15: Chứng minh rằng:
a, 2a - 5b+6c 17 nếu a-11b+3c 17 (a,b,c
HD:

thì
=>
Z)

b, 3a+2b

17

10a+b

17 (a,b

Z)
2

a, Ta có:a-11b+3c 17 và 17a-34b +51c 17 nên 18a-45b+54c 17 => 9(2a-5b+6c)
b, Ta có: 3a+2b 17 và 17a - 34b 17 nên 20a – 32b 17 <=>10a – 16b 17
<=> 10a +17b – 16b 17<=> 10a+b 17

17

Bài 16: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b,
a, Ta có :
=> 2000a+200b+20c+2d 29
=> 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d 29
=> (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) 29 => (a+3b+9c+27d) 29

b, Ta có:
21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c
=> 16a - 32b +64c 21 => 16(a- 2b +4c) 21
Bài 17: Chứng minh rằng:

21

a,
HD:

(c chẵn)

b,
a, Ta có:Vì e,

b, Ta có:Vì
16
=> (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) 16, mà c chẵn nên 8c 16 => (8a+4b+2c+d) 16
Bài 18: Chứng minh rằng:
a, Cho a - b 7 cmr 4a+3b 7 (a,b Z)
b, Cmr m +4n 13
10m+n 13
HD:
a, Ta có:a – b 7 nên 4(a –b) 7 => 4a – 4b +7b 7 => 4a +3b 7
b, Ta có:m+4n 13 => 10(m+4n) 13 => 10m +40n – 39n 13 =>10m+ n 13
Bài 19: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 6a+11b 31 thì a+7b cũng 31, điều ngược lại có đúng không?
HD:
Ta có :6a +11b 31 => 6( a+7b) - 31b 31 => a+7b 31
Bài 20: Cho a,b là các số nguyên, CMR 5a+2b 17 khi và chỉ khi 9a+7b 17
HD:
Ta có :5a +2b 17 => 5a – 68a +2b -51b 17 => - 63a – 49b 17 => -7( 9a +7b) 17 => 9a+7b 17
Bài 21: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 2a+3b 7 thì 8a + 5b 7
HD:
Ta có:2a+3b 7 => 4(2a+3b) 7 =>8a +12b 7=> 8a+12b -7b 7=>8a+5b 7
Bài 22: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu a - 2b 7 thì a-9b 7, điều ngược lại có đúng không?
HD:
Ta có:a – 2b 7 => a- 2b -7b 7=> a - 9b 7, Điều ngược lại vẫn đúng
Bài 23: Cho a,b là các số nguyên và 5a+8b 3 cmr
a, - a +2b 3
b, 10a +b (-3)
c, a +16b 3
HD:
a, Ta có:5a +8b 3=> 5a- 6a+8b-6b 3=> -a+2b 3
b, Ta có:5a +8b 3 => 2(5a+8b) 3=>10a+16b 3=>10a+16b-15b 3
c, Ta có:5a +8b 3=> 5(a+16b) – 72b 3 =>a+16b 3
Bài 24: Cho biết a-b 6, CMR các biểu thức sau cũng chia hết cho 6
a, a +5b
b, a +17b
c, a - 13b
HD:
3

a, Ta có:a-b 6 => a-b+6b 6=> a+5b 6
b, Ta có:a-b 6 => a-b +18b 6=> a+17b 6
c, Ta có:a - b 6 => a-b-12b 6=> a-13b 6
Bài 25: CMR : nếu 

thì

và ngược lại

4

Bài 26: Cho hai số nguyên a và b không chia hết cho 3, nhưng khi chia cho 3 thì có cùng số dư:
CMR: (ab-1) 3
HD:
Ta có:a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r Z, r=1,2) khi đó
ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r2-1
Bài 27: Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau 1 số tự nhiên có hai chữ số gồm chính hai chữ số ấy
viết theo thứ tự ngược lại thì được 1 số chia hết cho 11.
HD:
Ta có :Gọi số tự nhiên có 2 chữ số là

theo bài ra ta có

vì
Bài 28: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của 4 số tự nhiên liên
tiếp thì không chia hết cho 4
HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a,a+1,a+2 xét tổng
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta được 
Bài 29: Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẻ liên tiếp thì
không chia hết cho 10
HD:
Gọi 5 số chẵn liên tiếp là a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được:
Vì a là số chẵn
xét tổng ta được :

Tương tự với 5 số lẻ liên tiếp :

Bài 30: Khi chi 135 cho 1 số tự nhiên ta được thương là 6 và còn dư, Tìm số chia và thương
HD:
Gọi số chia là x và số dư là r, Khi đó
=>
Từ
Từ
, Vậy
Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết 1 số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14 , sau đó bạn
Thắng đem chia số đó cho 8 thì đươc dư là 4 , nhưng khi chia cho 12 thì được dư là 3
a, CMR bạn Thắng làm sai ít nhất 1 phép chia
b, Nếu phép chia thứ nhất đúng, thì phép chia cho 12 dư bao nhiêu?
HD:
Gọi số cần tìm là n=
a, n chia 8 dư 4 =>n chẵn và n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn
b, Vì a+b=14 nên

3 dư 2 khi đó 4

Nếu phép chia thứ nhất đúng thì

chia 12 dư 8

chia 8 dư 4=>

4 => 3

12 => n chia 12 dư 8

Bài 32: Chứng minh rằng nếu
chia hết cho 37 thì
và
đều chia hết cho 37
Bài 33: Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
Bài 34: Tìm 1 số tự nhiên biết nếu chia cho 17 thì được số dư đúng bằng hai lần bình phương của số thương
Bài 35: Chứng minh rằng không thể tồn tại 1 số tự nhiên khi chia cho 21 dư 7 và khi chia cho 84 lại dư 3
5

Bài 36: Cho 4 số nguyên dương khác nhau thỏa mãn : tổng của hai số bất kì chia hết cho 2 và tổng của ba số
bất kì chia hết cho 3, Tính giá trị nhỏ nhất cảu tổng bốn số đó

6

Bài 37: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 và 27, biết rằng hai số giữa của nó là 97
HD:
Gọi số cần tìm là

vì

5 nên b = 0 hoặc b = 5 => 2 trường hợp

TH1: Với
chia hết cho 27

, Khi đó số cần tìm là 2970 thỏa mãn

TH2: Với
, Khi đó số cần tìm là 6975 không
chia hết cho 27
Bài 38: Tìm 1 số có hai chữ số biết số đó chia hết cho tích các chữ số của nó
HD:
Gọi số cần tìm là
=>
Mà
Và
, mà do b chia hết cho a=>
Do k là số có 1 chữ số nên k= 1;2;5
Với k=1=> a=b, ta có các số 11,22,33,....99, có số 11 thỏa mãn
Với k=2=>b=2a, ta có các số 12, 24, 36, 48, có các số 12, 24, 36 thỏa mãn
Với k=5=> b=5a ta có số 15 thỏa mãn.
Vậy các số cần tìm là 11, 12, 24, 36, 15
Bài 39: Cho số tự nhiên
HD:
Ta có:

bằng ba lần tích các chữ số của nó, cmr b

a

=3ab=>10a+b=3ab=>10a+b a =>b a

Bài 40: Tìm a, b, c biết:
HD:
Ta có:

, Mà

Ta có:

Mà
Bài 41: Tìm a,b biết: a-b=3 và
HD:
Ta có:Để :
mà a và b là số chó 1 chữ số nên
kết hợp với a - b =3 để tìm a và b
Bài 42: Tìm a,b biết:c,
HD:

và a - b=4

Để
Do a, b là hai số tự nhiên có 1 chữu số nên:
, Kết hợp với

để tìm a,b

Bài 43: Tìm a,b biết rằng:
Bài 44: Tìm a biết rằng:
Bài 45: Cho
a/
HD:
a, Ta có:

b/

, CMR các biểu thức sau chia hết cho 7
c/

7

b, Ta có:
c, Ta có:
Bài 46: Cho
HD:

Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 không?

Ta có:
Ta có:

, nên để

và chia hết cho 37

( 20 số 1 ) có tổng các chữ số là 1+1+1+...+1=20

không chia hết cho 3 nên
Bài 47: CMR: nếu 7x+4y 29 thì 9x+y
HD:

29

Ta có:
Bài 48: CMR nếu
HD:

thì a+3b+9c+27d chia hết cho 29

Ta có:

Khi đó:
Bài 49: Chứng minh rằng nếu x,y là các số nguyên sao cho
và ngược lại
HD:
Ta có:
Bài 50: Cho
HD:

thì

cũng chia hết cho 13

. Từ đó ta đi ngược lại là ra
, CMR A không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n
, Vì

0, 2, 6, Do đó :

là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận cùng là :
sẽ có tận cùng là 2, 4, 8 nên không

5, vậy A không chia hết cho 35

Bài 51: Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, CMR :
HD:
Ta có: Vì a, b là số lẻ nên
Đặt
Khi đó :
Và

, Mà
đều chia hết cho 2

Nên
,
Khi a, b là số chính phương lẻ liên tiếp
Bài 52: Tìm số nguyên tố tự nhiên n biết 2n+7 chia hết cho n+1 và 12n+1
HD:
Ta có :
Tương tự :
8

Bài 53: Tìm x,y nguyên dương biết (x+1) chia hết cho y và (y+1) chia hết cho x
HD:
Ta có : Vì vai trò của x, y bình đẳng nên giả sử :
Nếu
Nếu
là số nguyên dương
Mà

(1)
, Thay vào (1) ta có :

Vậy các cặp số (x ; y) phải tìm là : (1 ;1), (1 ;2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ;2)
Bài 54: Tìm 1 số có ba chữ số biết số đó chia cho 11 được thương bằng tổng các chữ số của số đó
HD :
Ta có : Gọi số cần tìm là :
Theo bài ra ta có :
, Vì

là số có hai chữ số nên 0 < a< 2

=> a = 1, Khi đó ta có :
Bài 55: Chứng minh rằng :
HD :

thì

Vì
Với:
TH1 :
TH2:
Bài 56: CMR:
với mọi n là số nguyên dương
Bài 57: Chứng minh rằng 2x+3y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x+5y chia hết cho 17
HD:
Ta có :
Khi đó :
Bài 58: CMR:
nguyên
HD:

, Chứng minh tương tự điều ngược lại
chia hết cho 12, Với a, b, c, d là các số

Ta có :
Trong 4 số a,b,c,d chắc chắn có hai số chia cho 3 có cùng số dư, Nên hiệu của chúng chia hết cho 3,
Như vậy M đã chia hết cho 3
Lại có trong 4 số nguyên a,b,c,d hoặc có 2 số chẵn hoặc có 2 số lẻ, Giả sử a,b là số chẵn, c,d là số lẻ
Khi đó
9

Hoặc nếu không phải như trên thì trong 4 số trên tồn tại 2 số chia 4 có cùng số dư nên hiệu của
chúng chia hết cho 4, Khi đó M 4
Như vậy M chia hết cho cả 3 và 4 nên M chia hết cho 12
Bài 59: Một số chia cho 7 dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?
HD:
Gọi số đã cho là A, theo bài ra ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7
Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) vậy a+39 đồng thời chia hết cho
7,17,23
Mà 7,17,23 đôi 1 nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, vậy A chia 27737 dư 2698
Bài 60: CMR:
, chia hết cho 17
HD:
Ta có:A =
Bài 61: Khi chia 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số giống nhau cho 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số giống nhau ta được
thương là 2 và còn dư, Nếu xóa 1 chữ số ở số bị chia và xóa 1 chữ số ở số bị chia thì thương của phép chia
vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100, Tìm số chia và số bị chi lúc đầu?
HD:
Gọi số bị chia lúc đầu là
Ta có:

và số chia lúc đầu là

và

, số dư lúc đầu là r

nên

Do a, b là các chữ số nên ta có bảng:
Bài 62: Cho D=1-2+3-4+...+99-100
a, D có chia hết cho 2 không, cho 3, cho 5 không? vì sao?
b, D có bao nhiêu ước số tự nhiên, bao nhiêu ước số nguyên?
HD:
a, Ta tính được D= - 50, nên D có chia hết cho 2, và 5 nhưng không chia hết cho 3
b, D=-50
nên có (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiên, và có 12 ước nguyên
Bài 63: CMR :
chia hết cho 72
HD:
Có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9, và có chữ số tận cùng là 008 nên
chia hết cho 8, Như vậy chia hết cho 8.9 = 72
Bài 64: Cho
HD:

, CMR A chia hết cho 5

Ta có :
Bài 65: Cho 4 số tự nhiên liên tiếp
CMR: tổng của chúng 5

cho 5, khi chia cho 5 được các số dư khác nhau,

Bài 66: Cho
, biết
, cmr
chia hết cho 25
HD:
Ta có:
mà 5 là số nguyên tố
Bài 67: Chứng minh rằng nếu a không là bội của 7 thì
chia hết cho 7
Bài 68: Chứng minh rằng
Bài 69: CMR :

, không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n

Bài 70: Cho a,b là hai số nguyên, CMR : Nếu

thì
10

Bài 71: CMR nếu a, b là các số tự nhiên sao cho
chia hết cho 2013
Bài 72: Chứng minh rằng:
Bài 73: Cho a, b
hết cho 361
HD:

cùng chia hết cho 2003, thì a và b cùng

chia hết cho 405

, thỏa mãn số

Ta có:

chia hết cho 19, Hãy giải thích vì sao M chia

mà 19 là số nguyên tố nên

hoặc

Xét
+ Nếu
+ Nếu

mà

(1)

, mà

Từ (1) và (2) suy ra :

(2)
và

Bài 73: Cho hai số tự nhiên a và b thỏa mãn :
cũng là một bội số của 121
HD:

là 1 bội số của 11, CMR : Số m

Vì 11 là số nguyên tố: mà
Không mất tính tổng quát: giả sử:

hoặc
, ta cần chứng minh

Thật vậy:
Lại có:
Vậy
Bài 73: Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn:

chia hết cho 11,

Chứng minh rằng :
Bài 73: Cho a, b là hai số tự nhiên. CMR:
Bài 73 : Cho a, b là hai số nguyên. CMR:
Bài 74: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho :
HD:

chia hết cho 6. CMR:

Vì
Mà
Khi đó ta có:
Mà
Bài 75: Cho
, CMR : A không là số tự nhiên
HD:
Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của
với các thừa số lẻ nhở hơn 40 và lứn hơn 10
Gọi k11, k12, k13, ..., k40 là các thừa số phụ tương ứng

11

Khi đó tổng A có dạng :

, Trong 30 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất

phân số
có mẫu chứa , nên trong các thừa số phụ k11, k12, ... k40 chỉ có k32 là số lẻ, còn lại các
thừa số phụ khác đều chẵn vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không
chia hết cho 2 nên A không là số tự nhiên
Bài 76: Cho
, CMR : A không là số tự nhiên
HD:
Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của
với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100
Gọi k1, k2, k3, ..., k100 là các thừa số phụ tương ứng
Khi đó tổng A có dạng :

,

Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số
có mẫu chứa ,
nên trong các thừa số phụ k1, k2, ... , k100 chỉ có k62 là số lẻ, còn lại các thừa số phụ khác đều chẵn
vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không chia hết cho 2 nên A
không là số tự nhiên

Bài 77: CMR:
thì A không là số tự nhiên
HD:
Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của
với các thừa số lẻ nhỏ hơn 50, lớn hơn 1
Gọi k2, k3, k4, ..., k50 là các thừa số phụ tương ứng
Khi đó tổng A có dạng :

,

Trong 49 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số
có mẫu chứa ,
nên trong các thừa số phụ k2, k3, ... k50 chỉ có k32 là số lẻ, còn lại các thừa số phụ khác đều chẵn vì
có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không chia hết cho 2 nên A
không là số tự nhiên
Bài 78: Cho
HD:

, CMR A không là số tự nhiên?

, Theo chứng minh của bài 24 thì A không là số tự nhiên
Bài 79: Cho
, Chứng minh rằng
HD :
Tách 2431=17.13.11
Quy đồng A ta thấy rằng b=1.2.3.....18 có chứa 17.13.11
12

Dạng 2 : CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀ ĐỒNG DƯ THỨC
A. Lý thuyết:
+ 1. Một số có chữ số tận cùng là : 0; 1; 5; 6 khi nâng lên lũy thừa
thì được số có chữ số tận cùng là
chính nó (0; 1; 5; 6)
+ 2. Số có chữ số tận cùng là 2; 4; 6 khi nâng lên lũy thừa 4 được số có chữ số tận cùng là 6
+ 3. Số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên lũy thừa 4 được số có chữ số tận cùng là 1
Chú ý 1:
+ 1 số tự nhiên bất kỳ nâng lên lũy thừa 4k+1 thì chữ số tận cùng không thay đổi
+ Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa
được số có chữ số tận cùng là 7
+ Số có tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa
được số có chữ số tận cùng là 3
+ Số có tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa
được số có chữ số tận cùng là 8
+ Số có tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa
được số có chữ số tận cùng là 2
+ Còn lại chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa
được tận cùng là chính nó
+ 4. Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho m thì a được gọi là đồng dư với b theo modum m
KH:
Ví dụ:
+ 5. Một số tính chất về đồng dư:
+ Nếu:
+ Nếu:
+ Nếu:
+ Nếu:
+ Nếu

và d là UC(a; b) thỏa mãn: ( d; m) = 1 thì

+ Nếu
thỏa mãn :
Chú ý : Không được chia 2 vế của dồng dư thức :
Ví dụ :

, điều này là sai.
B. Bài tập áp dụng :

Bài 1:Tìm số dư trong phép chia
khi chia cho 11
HD:
Dấu hiệu chia hết cho 11 là hiệu chữ số hàng lẻ với chữ số hàng chẵn tính từ bên trái chia hết cho 11
Ta có:
Mà
Vậy
chi cho 11 dư 5
Bài 2: Tìm số dư khi chia
cho 7
HD:
13

Ta có:
Mà
Vậy

hay A chia cho 7 dư 5

Bài 3: Chứng minh rằng:
HD:

đều là bội số của 7

Ta có:
Chứng minh tương tự với B
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia:
HD:

khi chia cho 9

Ta có:
Bài 5: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 6: Tìm dư trong phép chia:
HD:

, Nên

,Vì
chia cho 13

Ta có:
Bài 7: Chứng minh rằng :
HD :

, Vậy số dư là 9

Ta có :
Bài 8: Chứng minh rằng :
HD :
Ta có :
Và

, Khi đó :

Mà :
Xét
có
Bài 9: Tìm dư trong phép chia :
HD:

, hay
khichia cho 12

Ta có:
Và
Bài 10: Tìm số dư của
HD :

, Khi đó số dư là 2
, khi chia cho 3 và chi cho 5

Ta có :
, Khi đó A chia 3 có dư là 2
Mặt khác :
14

Khi đó
Mà
Vậy

hay A chia 5 dư 2

Bài 11: Tìm số dư của
HD:

khi chia A cho 11 và khi chia cho 13

Ta có:
Và

, Khi đó A chia cho 11 dư 2

Mặt khác:
Và
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

, Khi đó A chia cho13 dư 7

Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của:
a,
HD:

b,

a, Ta có:

là 1 số lẻ nên chi 4 có 2 TH là

TH1 :
TH2 :
b, Ta thấy :
Bài 14 : Cho
HD :

là 1 số lẻ nên chia 4 có 2 TH là :
, Tìm chữ số tận cùng của A

Ta có :
Bài 15 : Cho
HD:

, Chứng minh rằng:

Ta có:
Bài 16: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 17: Chứng minh rằng:
Bài 18: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
Bài 19: Chứng minh rằng:
a,
b,
Bài 20: Chứng minh rằng:
Bài 21: Chứng minh rằng số có dạng:

c,
có chữ số tận cùng là 7
15

HD:
Ta có:
Bài 22: Chứng minh rằng số có dạng:
HD:
Ta có:
Bài 23: Chứng minh rằng số có dạng
HD:
Ta có:

Bài 24: Tìm chữ số hàng đơn vị của:
a,
b,
c,
d,
Bài 25: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a, A= 24n - 5 (n > 0, n N)
b, B= 24n+2 + 1 (n N)
HD:

c, C= 74n – 1 (n N )

a, Ta có :A=
b, Ta có :
c, Ta có :
Bài 26: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a, D=
HD:

b, E=
a, Ta có :2n =22+n-2 =22.2n-2 =4.2n-2 =>

b, Ta có :
Bài 27: Chứng minh rằng:
a, A =
HD:

b, B=

c, C=

a, Ta có :
b, Ta có : Ta có
c, Ta có :
Bài 28: Chứng minh rằng:
a, E=
b, F=
HD:

có tận cùng là 6

c, H=

a, Ta có :
b, Ta có :
c, Ta có :
Bài 29: Chứng minh rằng:
16

a, I=
HD:

b, K=

c, M=

a, Ta có :
b, Ta có :
c, Ta có :
Bài 30: Chứng minh rằng:
a, D=
HD:

b, G=

cả 2 và 5

a, Ta có :
b, Ta có :
Bài 31: Trong các số sau số nào chia hết cho 2,5 10
a,
HD:

b,
a, Ta có :

b, Ta có :
Bài 32: Trong các số sau số nào chia hết cho 2,5 10
a,
HD:

b,
a, Ta có :

b, Ta có :
Bài 33: Chứng minh rằng:
a, 94260 - 35137 5
HD:

b, 995 – 984 +973 – 962 2 và 5

a, Ta có :
b, Ta có :
Bài 34: Chứng minh rằng:
a,
HD:

Hiển nhiên chia hết cho cả 2 và 5
b,

a, Ta có:
b, Ta có:
Bài 35: Chứng minh rằng:
a,
HD:

thì chia hết cho 10
nên chia hết cho 10
b,

a, Ta có:
Chia hết cho 5, và ta thấy
b, Ta có :
Khi đó chia hết cho 72
Bài 36: Chứng minh rằng:
a,
HD:

đpcm
và có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9
b,

a, Ta có:
17

b, Ta có:
Bài 37: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b,

a, Ta có:
b, Ta có:
Bài 38: CMR:
a,
HD:

b,

a, Ta có:
b, Ta có:
Bài 39: Cho n là số tự nhiên, CMR : A=17n+111...1 (n chữ số 1) 9
HD:
Ta có :
Số 1111....1 có tổng các chữ số là 1+1+1+1+....+1 có n số 1 nên bằng n
Khi đó
có
nên cần 1111....1-n chia hết cho 9
mà 1111.....1 - n có tổng các chữ số là 0 nên chia hết cho 9
Vậy A chia hết cho 9
Bài 40: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:
HD:
Ta thấy mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1
Nên tổng S có chữ số tận cùng là:
Bài 41: Tìm chữ số tận cùng của:
HD:
Ta thấy mọi lũy thừa trong T đều có dạng chia 4 dư 3,
Nên tổng T có chữ số tận cùng là :
Vậy chữ số tận cùng của T là 9
Bài 42 : Tìm số dư của :
a,
khi chia cho 5
b,
khi chia cho 5
Bài 43: Tìm chữ số tận cùng của :
a,
b,
Bài 44: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của 2 số sau giống nhau:
a,
và
Bài 45: Tìm chữ số tận cùng của:
a,
b,
c,
d,
e,
f,

có chữ số tận cùng là 9

+

18

Bài 46: Tìm chữ số tận cùng của:
a,

b,

Bài 47: Tìm chữ số tận cùng của:
Bài 48: Tìm số tự nhiên n để
HD:
Ta có: 10=4.2+2, nên
Bài 49: CMR:

phải có tận cùng là 9=> n=3 hoặc n=7

19

Chú ý:
Đối với tìm 2 chữ số tận cùng:
+ Với các chữ số có tận cùng là 01, 25, 76 thì nâng lên lũy thừa bao nhiên (Khác 0) đều có 2 chữ số tận cùng
là chính nó
+ Các số
luôn có tận cùng là 76 (n>1)
+ Các số:
có tận cùng là 76 và 01
+ Còn lại đưa lên lũy thừa 2,4,5 thì sẽ trở về 76 hoặc 01
Bài 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của:
HD:
Ta có:

Và

Bài 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của :
HD:
Ta có:

Bài 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của:
HD:
Ta thấy:

thấy

là 1 số lẻ nên

Bài 4 :Tìm 2 chứ số tận cùng của :
Bài 5 : Tìm 2 chữ số của :
a,
b,
c,

và

d,
HD :
b,
Bài 6 : Chứng minh rằng :
a,

và

b,
c,
HD:

c, Có 2 chữ số tận cùng là 76
Bài 7: Chứng minh rằng:
HD:
A có chữ số tận cùng là 5 nên A 5
Mặt khác A có tổng các chữ số là :1+1+2+5=9 9 nên A 9
20

Chú ý :
Để đơn giản tìm 2 chữ số tận cùng của 1 số a, ta có 2 TH :
+ a chẵn => Tìm n nhỏ nhất sao cho
+ a lẻ => Tìm n nhỏ nhất sao cho
Bài 8: Tìm dư của
khi chia cho 100
HD:
Ta có:
tận cùng là 76
Bài 9 : Tìm số dư của
khi chia cho 100
HD :
Ta có : 7 là số lẻ=> cần tìm
Khi đó :
có tận cùng là 01
Bài 10 : Tìm số dư của :
khi chia cho 25
HD :
Tìm 2 chữ số tận cùng của
là 43=>
chia cho 25 dư 18
Bài 11 : Tìm 2 chữ số tận cùng của :
HD :
Dựa vào tính chất :
Thấy a chẵn =>

còn nếu a lẻ=>

2 chữ số tận cùng của A chính là 2 chữ số tận cùng của của tổng
với n= 2004

21

Dạng 3 : NHÓM HỢP LÝ
Bài 1: Chứng minh rằng:
a,
HD :

b,

a, Ta có:
b, Ta có:
Bài 2: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b,

a, Ta có:
b, Ta có:
Bài 3: Chứng minh rằng:
HD :
Ta có :
Bài 4: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b, D =

a, Ta có:

( có n chữ số 9)

mặt khác:
( có n chữ số 1) =
Xét:
có tổng các chữ số là 1+1+1+...+1-n=0 nên chia hết cho 3
vậy 111...1+2n chia hết cho 3=> VT chia hết cho 27
b, Ta có:
Xét 111....1 - n chia hết cho 9 => D chia hết cho 81
Bài 5: CMR :
chia hết cho 13 với mọi n
HD:
Ta có:
b, Chứng minh rằng :
Bài 6: Chứng minh rằng:
a,
b,
c,
và 555
d,
HD:

chia hết cho 120

a, Ta có:
b, Ta có:
c, Ta có :

và 555

d, Ta có :
22

Bài 7 : Chứng minh rằng :
HD :
Ta có :
Bài 8 : Chứng minh rằng :
Bài 9 : Chứng minh rằng :
a,
b,
c,
d,
Bài 10: Cho
HD:
Ta có:
Nhận thấy:
Bài 11: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
, àm
là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chẵn
Mà VP +1 nên là số lẻ vậy không chia hết cho 4
Bài 12: Chứng minh rằng:
HD:
Vì
Vì

,
là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận cùng là 0; 2; 6

Khi đó:
sẽ có tận cùng là 6;8;2 nên không chia hết cho 5
Bài 13: Chứng minh rằng: Với mọi n thì
nhưng không chia hết cho 30
Bài 14: Chứng minh rằng:
và 5 với mọi số tự nhiên n
HD:
Ta có:
là số lẻ nên không chia hết cho 2
Tương tự chứng minh có chữ số tận cùng khác 0 và 5 nên không chia hết cho 5
Bài 15: Chứng minh rằng:
a,
b,
HD:
a, Ta có:
b, Ta có:
Bài 16: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b,

a, Ta có:
=>
b, Ta có:
23

Bài 17: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b,
a, Ta có:

lại có:

Lại có:
b, Ta có:
Lại có:

Bài 18: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b,
a, Ta có:
b, Ta có:
mặt khác:

Bài 19: Chứng minh rằng:
a,
b,
HD:
a, Ta thấy ngay tổng B chia hết cho 3, ta cần chứng minh tổng B chia hết cho 40

Như vậy A 120
b, Ta có:

Bài 20: Chứng minh rằng:
a,
b,
HD:
a, Tổng A hiển nhiên chia hết cho 2
(1)
Nên ta cần chứng minh tổng A chia hết cho 105=5.21
24

5 (2)

(3)
Từ (1), (2) và (3) ta thấy: A 210
b, Ta có :
Bài 21: Chứng minh rằng:
a,
HD:

b,

a, Ta có :
3
b, Ta có :

Bài 22: CMR
HD:
Đặt

, Tính B rồi thay vào A ta được :
100

Bài 23: CMR:
HD:

Bài 24: Cho
HD:

Bài 25: CMR :
HD:

, Tìm dư của A khi chia cho 7

, Nhận thấy ngay A chia 7 dư 3
chia hết cho 31 nếu n là số nguyên dương bất kỳ

Bài 26: Cho n là số nguyên dương, CMR :
, là bội của 10 thì
cũng là bội của 10
HD:
Nếu
, Là bội của 10 thì
có tận cùng là số 0=> có tận cùng là 9
Mà

(đpcm)
25

Bài 27: CMR :
HD:

Bài 28: Cho
HD:

là bội của 30

, CMR S chia hết cho 10 và 3S+4 chia hết cho

Mặt khác:
Bài 29: Cho
HD:

, CMR: N là 1 số nguyên

, Để Chứng minh N alf 1 số nguyên thì N chia hết cho 10 hay:
Vậy N chia hết cho 10, Khi đó N là 1 số nguyên
Bài 30: CMR:
Bài 31: Chứng minh rằng :
HD :
Ta có :
Bài 32: Chứng minh rằng :
HD :
Ta có:
Bài 33: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 34: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 35: Chứng minh rằng:
a,
b,

, vậy nhóm 4 số hàng của tổng A

Bài 36: Tìm số dư của A khi chia A cho 7 biết:
HD:
Nhóm 3 số hạng
Bài 37: Chứng minh rằng:
a,
b,
c,
e,
HD:

d,

a,
c, Tổng chữ số
Bài 38: Chứng minh rằng:
26

a,
b,
c,
Bài 39: Chứng minh rằng:
HD:
Nhóm 3 và nhóm 4
Bài 40: Chứng minh rằng:
a,
b,
HD:
b, Nhóm 3
Bài 41: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có: 217=7.31
Bài 42:Cho
HD:
Nhóm 4
Bài 43: Chứng minh rằng:
HD :

Bài 44: Cho biểu thức :

và 41

, CMR: A 40

chia hết cho 120 với mọi x là số tự nhiên

, Tìm số dư khi chia B cho 91

27