Nội dung
Phần I: Các vấn đề cơ bản Toán 9
Vấn đề 1: Rút gọn biểu thức chứa căn
- Kiến thức cần nhớ
- Một số bài toán có lời giải
- Một số bài tập tự luyện
Vấn đề 2: Phương trình bậc hai một ẩn số
- Kiến thức cần nhớ
- Một số bài tập có lời giải
- Một số bài tập tự luyện
Vấn đề 3: Hàm số đồ thị bậc nhất – Bậc hai
- Một số kiến thức cần nhớ
- Một số bài tập có lời giải
- Một số bài tập tự luyện
Vấn đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình–Hệ PT
- Kiến thức cần nhớ
- Một số bài tập có lời giải
- Một số bài tập tự luyện
Vấn đề 5: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
- Kiến thức cần nhớ
- Một số bài tập có lời giải
- Một số bài tập tự luyện
Vấn đề 6: Bất đẳng thức – Giá trị Min – Max của biểu thức
- Một số bài tập tiêu biểu có lời giải
Vấn đề 7: Hình học phẳng và không gian
- Kiến thức cần nhớ
- Một số bài tập có lời giải
Phần II : Một số đề thi tiêu biểu có đáp án và biểu điểm
Phần III: Một số đề thi tự luyện theo cấu trúc đề thường gặp
Mục lục

PHẦN I: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9

VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ:
A.1. Kiến thức cơ bản
A.1.1. Căn bậc hai
a. Căn bậc hai số học
- Với số dương a, số
được gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
- Một cách tổng quát:
b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi
là căn thức bậc hai của A, A
được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
xác định (hay có nghĩa)
A 0
b. Hằng đẳng thức
- Với mọi A ta có
- Như vậy: +
nếu A 0
+
nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
a. Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có:
+ Đặc biệt với A 0 ta có
b. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các thừa số
không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm,
ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
a. Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:
b. Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương a/b, trong đó
a không âm và b dương ta có thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết
quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số
b dương ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có
, tức là

+ Nếu A 0 và B 0 thì
+ Nếu A < 0 và B 0 thì
b. Đưa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 thì
+ Nếu A < 0 và B 0 thì
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B

0 và B

0, ta có

d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
- Với các biểu thức A, B, C mà

và

- Với các biểu thức A, B, C mà

, ta có
và

, ta có

A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
- Với mọi a thì
b. Tính chất
- Với a < b thì
- Với mọi a, b thì
- Với mọi a và

thì

A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n (
) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)






Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dương là số dương
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0

c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
 Số âm không có căn bậc chẵn
 Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
 Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
d. Các phép biến đổi căn thức.



xác định với
xác định với
với A
với

A



với

với A, B mà
với A, B



với





Bài 1: Tính:
a.
b. B = +

A, B

với

A, B mà

A, B mà B

với

A, B mà B

với

A, mà

với

0
0,

A, mà

B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI.

và

c. C = 5. + . +

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a.

.

b. B = + =
= = =3
c. C = 5. + . + = 5. + . +
= + + =3
Bài 2: Cho biểu thức A =
a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tim giá trị của x để A =

.

c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9
HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện
Với điều kiện đó, ta có:
b). Để A =
Vậy

thì

(thỏa mãn điều kiện)

thì A =

c). Ta có P = A - 9

=

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có:
Suy ra:

. Đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 3: 1) Cho biểu thức

khi
. Tính giá trị của A khi x = 36

2) Rút gọn biểu thức

(với

)

3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên
để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A =
2) Với x

0, x  16 ta có :

B=

=

3) Ta có:

.

Để
nguyên, x nguyên thì
là ước của 2, mà Ư(2) =
Ta có bảng giá trị tương ứng:
1
2
x
17
15
18
14
Kết hợp ĐK
, để
nguyên thì
Bài 4: Cho biểu thức:

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a). Điều kiện để P xác định là :;

.

Vậy P =
b) ĐKXĐ:
P=2

=2

Ta có: 1 +

 x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).

Bài 5:Cho biểu thức M =
a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x
Z để M
Z.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
M=
a.ĐK

0,5đ

Rút gọn M =
Biến đổi ta có kết quả: M =
M=

Đối chiếu ĐK:

Vậy x = 16 thì M = 5

c. M =
Do M

nên

là ước của 4

nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4

Lập bảng giá trị ta được:
vì
Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P < 0
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1

Vậy P =

Víi a > 0 và a ≠ 1

b) Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên > 0
 P = < 0  1 - a < 0  a > 1 ( TMĐK)
Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) :

a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Rút gọn:
Q= -(1+):
= -.
= - =
= =
b) Khi có a = 3b ta có:

Q= = =

Bài 8: Cho biểu thức

a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
a)

b) Ta có
Do đó

( vì xy = 16 )
Vậy min A = 1 khi

Bài 9: Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tính giá trị của P với
HƯỚNG DẪN GIẢI:

a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :
b) Đkxđ :

c) Thay

vào biểu thức

, ta có:

Bài 10: Cho biểu thức:
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có:

.

 ĐKXĐ:



Với x > 0 và

ta có:

P=

( Đk: x

9)

Với x > 0 , x

thì P =

b) P = - 1
( ĐK: x > 0,

Đặt

đk y > 0

Ta có phương trình:

Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0

( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0),
Với

thì x =

( thoả mãn đkxđ)

( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)

)

Vậy với x =
c)

(đk: x > 0;

thì P = - 1

)

( Do 4x > 0)
 Xét
Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)
( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)

Theo kết quả phần trên ta có :

Kết luận: Với

thì
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Câu 1 Cho biểu thức :
1) Tim điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
2) Rút gọn biểu thức A .
3) Giải phương trình theo x khi A = -2 .

Câu2 Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của
khi
Câu3 Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Câu4 Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x =
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 5 Cho biểu thức : A =
a. Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.
Câu 6 Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trịn nguyên của x để
Câu 7 Cho
a) Rút gọn P.
b) Tìm a biết P >
c) Tìm a biết P =
Câu 8 Cho
a) Chứng minh
b) Tính P khi
2.Tính

.
.

nhậ giá trị nguyên.

Câu 9 Cho biểu thức
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi
c) Chứng minh rằng

.
với mọi gía trị của x thỏa mãn

.

Câu 10 Cho
a) Tìm TXĐ
b) Rút gọn biểu thức M.
c) Tính giá trị của M tại

.

Câu 11 Cho biểu thức:

.

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
Câu 12 Cho biểu thức:

.

1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
Câu 13 Cho biểu thức:

.

a. Chứng minh
b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
Câu 14 Cho biểu thức:

.

1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
Câu 15 Rút gọn biểu thức:
Câu 16 Cho biểu thức:

.
.

1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T<1/3.
Câu 17 Cho biểu thức:
1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.

Bài 18: Cho biểu thức :
với m ≥ 0 ; n ≥ 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A với

.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 19: Cho biểu thức
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để
Bài 20: Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để

nhận giá trị nguyên.

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Phương trình bậc hai
*) Nếu

phương trình có hai nghiệm phân biệt :

*) Nếu

phương trình có nghiệm kép :

*) Nếu

phương trình vô nghiệm.

III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phương trình bậc hai
*) Nếu

phương trình có hai nghiệm phân biệt :

*) Nếu

phương trình có nghiệm kép :

*) Nếu
phương trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình

và

thì :

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình :
(Điều kiện để có u và v là
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình

)
có hai nghiệm :
có hai nghiệm :

IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm)    0
2. Vô nghiệm   < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

 a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
 a.c < 0 và S > 0
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:
Bài 1. Giải các phương trình sau :

Giải
Vậy phương trình có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm
Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phương trình có nghiệm :
Đặt
. Ta có phương trình :
a+b+c=1+3-4=0
=> phương trình có nghiệm :

(thỏa mãn);
Với:

Vậy phương trình có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm
(ĐKXĐ :
Phương trình :

)

(loại)

=> phương trình có hai nghiệm :

(thỏa mãn ĐKXĐ)
(thỏa mãn ĐKXĐ)

Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m :
(1)
a/ Giải phương trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tính
theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
.
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào
giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta có phương trình :

Vậy với m = - 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình :
(1) Ta có:
Phương trình có nghiệm
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
*)
*)
c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm
Khi đó
Do đó
=> phương trình có hai nghiệm :

Thử lại :

+) Với
=> loại.
+) Với
=> thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm

.

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình :

Thay

vào (b) ta có phương trình :

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :
Thử lại :

Vậy với

+) Với

=> thỏa mãn.

+) Với

=> thỏa mãn.
phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.

e/ Phương trình (1) có nghiệm
Khi đó :
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :

Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – 3 = 0
Bài 3:
Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

(là nghiệm)

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: '=12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm  ' = 3m-2  0  m 
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m 

thì phương trình có nghiệm

b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

(là nghiệm)

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ' = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất  ' = 3m-2 = 0  m =

(thoả mãn m ≠ 1)

Khi đó x =
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
với m =

thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m =
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =

-1=

≠ 0)

Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 =
Vậy m =

và nghiệm còn lại là x2 = 6

Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2

10.

HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có: ' = (m-1)2 – (– 3 – m ) =
Do

với mọi m;

  > 0 với mọi m

 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0
Vậy m 

hoặc m  0

e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:
 x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) 
Vậy

(

)

Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn

;

của phương trình ở trên
HƯỚNG DẪN GIẢI:

với x1; x2 là nghiệm

a) Ta có ' = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Vậy m = 2
b) Ta có ' = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm    0  2 – m  0  m  2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m  2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
Khi đó:

(m≠1)
(m≠1)

 y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 -

.y +

Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

= 0 (m≠1)

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0
* m

:

m - 1 + (-2m) +m +1 = 0

;

Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phương trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
HDẫn :
Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là

:

mx2 + (mn + 1)x + n = 0
HDẫn :
Bài 4: Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .
HDẫn :

26 > 0

có 1 biệt số không âm .

Bài 5: Cho hai phương trình : x2 + (m - 2)x +

=0

(1)

và 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .
HDẫn :

;

có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
HDẫn : (m -2)x = m - 2
nghiệm)

: + m =2 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +2 = 0 ( vô

+ m 2 : x = 1 ; m = -3
Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
HDẫn : (m - 4)x = m - 4
( vô nghiệm)
Bài 8 : Gọi
(1)

: + m = 4 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +3 = 0

+ m 4 : x = 1 ; m = -2
là những nghiệm của phương trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0

và

Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn :

HDẫn :

*

*

(t/m)

Bài 9 : Cho phương trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. Xác định m để giữa hai
nghiệm
ta có hệ thức :
HDẫn :

*

*

Bài 10: Cho phương trình
trình. Tìm giá trị của m để
HDẫn :

*

loại m =

. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương

=

*
Bài 11: Cho phương trình

(1)

Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1, x2 . hãy tìm m để
HDẫn :

*

=

*
Bài 11: Cho phương trình x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. Tìm các giá trị của m để
phương
trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2HDẫn :

*

= 1>0 * x1= m , x2= m + 1

x1 < x2Do đó:

Bài 12: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình: x2 + 2ax + 4 = 0 (1) có
các nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện
HDẫn :

*

= a2 - 4

0

*
( vì

nên 4a2 - 8 > 0 )

Bài 13: Cho phương trình bậc hai
1-Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.

(m=

)

2-Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.
Bài 14: Tìm giá trị m để phương trình:
a) 2x2 + mx + m - 3 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. ( 0b) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
(m = 1)
2
Bài 15: Xác định m để phương trình x - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt
sao
cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

Bài 16: Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc
hai :
.
Hãy xác định giá trị của m để số đo đường cao ứngvới cạnh huyền là

HD GIẢI*

*

khi đó x1 = 1; x2 = 2

Bài 17: Cho hai phương trình
(1) và
Tìm m và n để các phương trình (1) và (2) tương đương.
H.DẪN

*Phương trình (2) có ac = - 6<0
*
* Thử lại, rút kết luận.

.

(2) có 2 nghiệm phân biệt.

(2)

Bài 18: Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương :
(1) và
(2)
H.DẪN

*Phương trình (1) có ac = - 9<0 (1) có 2 nghiệm phân biệt.
*
* Thử lại, rút kết luận.
Bài 19: Cho phương trình
. Tìm m sao cho A =
đạt giá trị nhỏ nhất.
*
*
Bài 20: Cho phương trình
phương trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của

(1). Gọi
.

là các nghiệm của

*
*

=

Bài 21: Cho phương trình
Chứng minh rằng biểu thức H =

có hai nghiệm
.
không phụ thuộc vào m.

HƯỚNG DẪN: *
*
Bài 22: Cho phương trình
Chứng minh rằng biểu thức Q =
vào giá trị của m.

có hai nghiệm

.
không phụ thuộc

HƯỚNG DẪN: *
*
VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT)
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là
các số cho trước và a 0
b. Tính chất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất
sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax,
nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d'): y = a'x + b' (a' 0). Khi đó
+
+
+
+
e. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
 Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong
đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường
thẳng y = ax + b và có tung độ dương
 Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
-Hệ số a trong y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b
II. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm
trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
Kiến thức bổ xung

Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình
- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Một số phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
- Đồ thị (C1): y = f(x) + b được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục tung
b đơn vị
- Đồ thị (C2): y = f(x + a) được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành
–a đơn vị
- Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy
+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy
- Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dưới Ox
+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên trên Ox qua Oy.
III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai.
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó:
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:
Bài tập 1: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P)
và đường thẳng (d)
y=(m-2)x+1 và (d')y=-x+3 (m là tham số ) . Xác định m để (P) ,(d) và (d') có
điểm chung .
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d'):
2x2=-x+3

2x2+x-3=0 (a+b+c=0)

+Khi x=1 thì y=2
+Khi

thì

Vậy (d') cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
Để (P) ,(d) và (d') có điểm chung thì
Vậy với m=3 hay m=

thì (P) ,(d) và (d') có 1 điểm chung

Bài tập 2: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) :
và đường thẳng (d) :
y=mx+1 (m là tham số ).Xác định m để :
a) (d) tiếp xúc (P)
b)(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt .
c) (d) và (P) không có điểm chung .
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x2+mx+1=0 (*)
a) (d) tiếp xúc (P)khi phương trình (*) c