TRƯỜNG THCS HẢI HẬU

ÔN THI HSG TOÁN 7

I. Các phép tính trên tập hợp R
Thực hiện phép tính, tính giá trị biểu thức, tìm x, y,…
Bài 1: Thực hiện phép tính
1

1) 3  5   0,5  0,  3
2

2 2
9
3

1 1
45  1  1  1   
2)
   
;
19  2  3  4   



 1
:  1  ;
 3

5.415.99  4.320.89
3)
5.210.619  7.229.276

212.35  4 6.9 2
510.7 3  255.492
4) 2 6 4 5 
(2 .3)  8 .3 (125.7) 3  59.143

 3 4  7  4 7  7
5)    :     :
 7 11  11  7 11  11

3 2 1  3 2 1 
6) A      :    
 2 5 10   2 3 12 

3
3
 0, 6   0, 7 5
1
3
7
7) S 
11
11
 2, 2 
 2, 7 5
7
13

2 2

7
11 
8) A 
3 3
0, 6  
7 11
0, 4 

1 1 1
 
6 8 10
3 3
  0,3
6 8

2 2
1
1 

0,4  
 0, 25 
2021

9 11  3
5  : 2021 . 1  1  1  1 .
9) M =



2022 
7 7
1
2 3 6 
 1,4  
1  0,875  0,7  2022
9 11
6


10 5 5
3 3
 
  0,9
7 11 23  5 13
10) A 
16 8 8
1
3
248   
 0, 2 
7 11 23 13
10
155 




1 

1 





1 
 




7 

7 


7  
 

7 


11) 1  1  1   ... 1 

9
20
33
2900

1 




1 


1 


12) B = 1    1   1   ...  1 
 1 
 1 
.
2
3
4
2022
2023
2024
13) A 

1  31 
1  17 
1   1 1 1
1 
 9     4         ... 


31  5 
2 2 
5    2 6 12
930 

 z 
14) Cho x, y, z  0 và x – y – z = 0 .Tính B = 1  1 
 x 

x 
1 
y 

y

z

15) Cho a, b, c, d  0; a  b  c  0; c  5d . Tính giá trị của biểu thức:
 a   b   c  a  b

A  1   1   1  
 4 .
 b   c   a  d


16) Cho a + b + c + d = 2000 và
Tính giá trị của : S =
17) Cho a, b, c thỏa mãn
Tính giá trị biểu thức Q 

(

1
1
1
1
1




a  b  c b  c  d c  d  a d  a  b 40

a
b
c
d



bcd cd a d ab abc
)(

)

+

(

)(

)

+(

)(

)

= 2024

1
1
1


a b b c c a

ab
2 bc
3 ca
3
 ;
 ;
 .
a  2b 5 b  2c 4 c  2a 5
abc
Tính giá trị biểu thức P 
.
ab  ac  bc

18) Cho các số a, b, c thỏa mãn

GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG ĐOÀN

Trang 1

TRƯỜNG THCS HẢI HẬU

ÔN THI HSG TOÁN 7

Bài 2. Tìm x,y....
7 

2

3)  x  1   1  0


6) 3

3

16

1
21
: 2x 1 =
2
22

2 1

2

4

5

2) 1 : 1  x  :      
9 
3  2  5  9

1) 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;

4) 2 .3x  3x 2  99

5) 2 x 3  2 x  224

7) x  3  1  2017

8)

4

2

x  1 2  3

9) x  6  2x  10
10) 7) x  1  x  2  x  3  x  4  10x
3 3
3
 
7 11 101 
12) 2 x  3  ( 1 ) y và y 
5 5
5
2
 
7 11 101

11) x  2019  2020  x  2021  x  13x.
1 1 1
 
2 3 4
5 5 5
 
4 6 8

13) Cho x  2  y 1  ( x  y  z  2)2016  0 . Tính giá trị của : A = 5x2y2016z2017
14) Tìm x, y, z biết (2x – y + z)2024 + |𝑦 − 𝑧| + (z – 4)2022 = 0
15) Tìm x, y, z biết
16) Cho

 2 x  1

2026

2

 y  
5


2026

 x yz 0

x  16 y  25 z  9


và 2 x 3  1  15 . Tính giá trị của biểu thức B  x  y  z.
9
16
25

II. Bài toán về đơn thức, đa thức.
Bài 3. Các phép toán với đơn thức, đa thức, nghiệm của đa thức, xác định đa thức,…
1) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2. Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm
nghiệm.
2) Cho hai đa thức: f ( x )  ( x  1)( x  3) và g(x)  x  ax  bx  3 . Xác định hệ số a;b của đa
3

2

thức g(x) biết nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) .
3) Cho f ( x)  ax3  bx2  8 x  6.
Tìm a, b để f ( x ) chia cho x  2 dư 14 và f ( x ) chia cho x  1 dư 16.
4) Cho đa thức: f ( x)  x 2  ax  b thỏa mãn f (1)  6 và f (1)  4 .
a) Tìm các hệ số a, b ;
5) Cho f  x   x 2  2 x . Tính tổng S 

b) Tính f (2) ./ Chứng tỏ x=-2 là nghiệm của f ( x)
2
2
2
2
.


 ... 
f 1 f  3  f  5 
f  2025 

6) Chứng minh rằng đa thức : f(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 không có nghiệm nguyên .
7) Cho biết(x-1).f(x)=(x+4) .f(x+8) với mọi x .Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 2 nghiệm.
8) Chứng minh đa thức x2 + 4x + 10 không có nghiệm.
9) Cho các đa thức P(x) = 3x4 – x3 +4x2 + 2x + 1; Q(x) = -2x4 -x2 +x -2.
a/ Tính P(x) +Q(x)
b/ Tìm đa thức H(x) biết Q(x) – H(x) = -2x4 -2.
c/ Tìm nghiệm của đa thức H(x)
10) Cho đa thức f(x) = (m - 2)x + 2m - 3
GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG ĐOÀN

Trang 2

TRƯỜNG THCS HẢI HẬU

ÔN THI HSG TOÁN 7

a) Tìm nghiệm của f(x) khi m = 1.
b) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm là -4.
c) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
11) Cho hai đa thức: f ( x)   a  4  x 3  4 x  8 và g ( x)  x3  4bx 2  4 x  c  3 trong đó a,b,c là hằng
số.
a) Khi a = 1 ; b = -1 c = 2. Tính f ( x)  g ( x )
b) Xác định a,b,c để f ( x)  g ( x)
12) Cho đa thức A  x   x  x2  x3  ...  x99  x100 .
a) Chứng minh rằng x   1 là nghiệm của đa thức A  x  .
b) Tính giá trị của đa thức A  x  tại x 

1
2

2
13) Cho đa thức bậc hai P  x   ax  bx  c ( a, b, c là hệ số, a  0 )

a) Tìm đa thức P  x  biết rằng P  0   3; P  1  2; P 1  6
3
b) Cho đa thức Q  x   4 x  1. Tìm đa thức R  x  , biết:

P  x  .Q  x   R  x   8 x 4  24 x3  x 2  3 với mọi x
III. Tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau:
Bài 4. Tìm x, y, z….
1) Tìm x, y, z biết: 2 x  y  3 y  2 z và x + z = 2y.
5

2) Tìm x; y biết:

15

1+3y 1+5y 1+7y


12
5x
4x

3) Tìm x, y, z biết : x  1  y  3  z  2 và x - 3y + 4z = 4
2

4

3

x y z
4) Tìm các số x,y,z biết rằng
  và x+2y – 3z = -20
2 3 4

5) Tìm x, y biết:

2x 1 3y  2 4x  6 y  2


3
2
5x

 x  0;

2x  3 y 1  0 .

6) Cho x , y là các số thực khác 0 và x  y  1 thỏa mãn x  3  y  2  x  y  3 . Tính giá trị của
y

x

biểu thức A  21 y  ( x  y  6)
16
36
28
7) Tìm x; y; z biết:


và x.y.z = 16128
x  12 y  27 z  21
8) Tính giá trị biểu thức Q  a 2  b2  c2 với a, b, c thỏa mãn: (3a  2b)2  | 4b  3c | 0
và 5a  2b  20
2025

Bài 5. Tính giá trị biểu thức.
1) Cho

a
b
c
a b bc ca




. Tính : P 
.
bc ca a  b
c
a
b

2) Cho a,b,c là ba số thực dương, thoả mãn điều kiện: a  b  c  b  c  a  c  a  b .
c

a

b

 b  a  c 
Hãy tính giá trị của biểu thức B  1  1  1   .
 a  c  b 
GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG ĐOÀN

Trang 3

TRƯỜNG THCS HẢI HẬU

ÔN THI HSG TOÁN 7

3) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2 a  b  c  d  a  2b  c  d  a  b  2 c  d  a  b  c  2 d
a
b
c
d
Tính M 

ab bc cd da



cd da ab bc

2 b  c  a 2c  b  a 2 a  b  c
.


a
b
c
3a  2b 3b  2c 3c  2a

4) Cho a, b, c  0 và dãy tỉ số:
Tính: P 






 3a  c  3b  a  3c  b 

5x 2  3y 2
5) Cho x  y (x,y ≠ 0). Tính giá trị biểu thức: C =
2
2
3

6) Cho

10x  3y

5

x y
y z
2x  3y  4z
 và  . Tính M 
3 4
5 6
3x  4 y  5z

Bài 6. Chứng minh đẳng thức
1. Cho a  c . với a , b , c  0 . Chứng minh rằng:
c

b

a a  c2
b  a b2  a2
 2 2
a)  2 2
b)
b b c
a
a c
a
c
2. Cho tỉ lệ thức  . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
2

b

d

3

3. Cho:

a
abc
a
b c
  . Chứng minh: 
  .
d
b
c d
bcd 

3a 6  c 6 (a  c) 6
=
3b 6  d 6 (b  d ) 6
IV. Ðại lượng tỷ lệ thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch:
4. Cho a = c . Chứng minh rằng:
b
d

(b +d

 0)

Bài 7. Giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.
1) Tổng ba phân số tối giản bằng 5 25 các tử của chúng tỉ lệ nghịch với 20; 4; 5. Các mẫu của
63

chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. Tìm ba phân số đó.
2) Tìm độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 13cm, Biết ba đường cao tương ứng với
ba cạnh lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm.
3) Kỳ thi học sinh giỏi cấp xã môn toán, ba khối 6; 7; 8 có tất cả 120 học sinh dự thi. Tính số học
3
số học sinh dự thi môn toán khối 6,
13
1
1
tăng
số học sinh dự thi môn toán khối 7 và tăng
số học sinh dự thi môn toán khối 8 thì
15
3

sinh dự thi môn toán của mỗi khối biết rằng nếu tăng

số học sinh dự thi của 3 khối là như nhau.
4) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là 85 em, Nếu chuyển 10 học
sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7; 8; 9. Hỏi lúc
đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
5) Trong đợt quyên góp tết vì người nghèo năm 2026, học sinh ba khối 6; 7; 8 của một trường
THCS trên địa bàn xã Phúc Lộc đã quyên góp được tổng cộng 15 800 000 đồng. Biết rằng số
tiền quyên góp của khối 6 và khối 7 tỉ lệ nghịch với

1
1
và ; số tiền quyên góp của khối 7 và
2
5

khối 8 tỉ lệ thuận với 7 và 6. Tính số tiền quyên góp được của mỗi khối.
6) Ba đơn vị kinh doanh vận tải cùng góp vốn đầu tư theo hình thức mua cổ phần. Lúc đầu, số
cổ phần dự định chia cho ba đơn vị tỉ lệ với 7, 8, 9. Tuy nhiên, sau đó do có sự thay đổi về
chính sách, số cổ phần được chia lại theo tỉ lệ 6, 7, 8. Chính vì sự thay đổi này, có một đơn vị
GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG ĐOÀN

Trang 4

TRƯỜNG THCS HẢI HẬU

ÔN THI HSG TOÁN 7

đã nhận được ít hơn so với dự định ban đầu là 12 cổ phần. Tính tổng số cổ phần mà ba đơn vị
đã mua và số cổ phần mỗi đơn vị nhận được thực tế.
7) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I , II , III tỉ lệ với 7;6;5. Nhưng sau đó
vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ 6;5;4. Như vậy có một đội làm nhiều hơn
3

so với dự định là 6m . Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
V. Xác suất của biến cố
Bài 8.
1) Trong một hộp đựng 8 quả bóng trắng, 7 quả bóng đỏ và 5 quả bóng xanh. Các quả bóng có
cùng kích thước và khối lượng. Không nhìn vào hộp lấy ngẫu nhiên một quả bóng, tính xác
suất của biến cố lấy được quả bóng màu trắng.
2) Một hộp có chứa 100 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; ...; 100.
Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất
của biến cố “ Số xuất hiện trên thẻ là số chính phương chia hết cho 9”.
3) Một hộp có 100 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,..., 99,100 (hai thẻ
khác nhau ghi hai số khác nhau). Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Hãy tính xác suất của
biến cố: “Số trên thẻ được rút ra là số có tổng các chữ số bằng 9”.
4) Trong một hộp thưởng chứa 5 quả bóng xanh , 20 quả bóng trắng, n quả bóng màu đỏ, các quả
bóng có cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Biết xác suất lấy được quả bóng màu
đỏ là

3
. Tính số quả bóng màu đỏ.
4

5) Một chiếc hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2;3...;52 hai
thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất thực
nghiệm của các biến cố:
a) A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số bé hơn 12”.
b) B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút là số chia cho 3 và 5 dư 1”.
6) Gieo 2 lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trong hai lần
gieo không nhỏ hơn hơn 8
7) Trong một túi có 20 viên bi được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi.
a) Tính xác suất của biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi được rút ra là các số có chứa chữ số
2”.
b) Phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi (mà không nhìn vào túi) để chắc chắn rằng trong số các
viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi ghi số lẻ?
4
8) Bạn Hạnh tung đồng xu một số lần liên tiếp. Biết xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt sấp là
9
và tích của số lần xuất hiện mặt sấp với số lần xuất hiện mặt ngửa là 500 . Hỏi bạn Hạnh đã
tung đồng xu bao nhiêu lần?
VI. Hình học:
- Quan hệ vuông góc và song song.
- Chứng minh tam giác bằng nhau, tam giác đặc biệt, đẳng thức hình học.
- Tính chất phân giác của góc, trung trực của đoạn thẳng…
- Các đường thẳng đồng quy trong tam giác.
- Ðiểm thẳng hàng, điểm cố định, bất đẳng thức hình học….
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AM  BC và MA = MC.
b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD
tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.
c) Chứng minh: MD + ME  AD + AE.
GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG ĐOÀN

Trang 5

TRƯỜNG THCS HẢI HẬU

ÔN THI HSG TOÁN 7

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 30o . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho góc BCM
bằng 2 góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN bằng 2 góc ABC. Gọi giao điểm
3

3

của CM và BN là K.
a) Tính góc CKN.
b) Gọi F và I theo thứ là hình chiếu của điểm K trên BC và AC. Trên tia đối của tia IK lấy điểm D
sao cho IK = ID, trên tia KF lấy điểm E sao cho KF = FE ( E  K). Chứng minh DBC là tam giác
đều.
c) Chứng minh ba điểm: D, N , E thẳng hàng.
Bài 11. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao
cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I ,
M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC . Biết
Tính


HEM

và


H
BE

= 50o ;


M
EB

=25o .


BM
E

d)Từ H kẻ HF  BE  F  BE  . CMR: HF  BE  BH  HE
Bài 12. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam
giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
a) Chứng minh rằng: ADC = ABE.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều.
c) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Bài 13. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM, ACN
vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D.
a) Chứng minh: AMC = ABN.
b) Chứng minh: BN  CM.
c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN.
d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.
Bài 14. Cho tam giác ABC ( AB  AC ) có A  900 , các phân giác BD và CE ( D  AC, E  AB) cắt
nhau tại O . Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM  BA, CN  CA .
a) Tính số đo góc BOC và chứng minh EN // DM ;
AIM  90;
b) Gọi I là giao điểm của BD và AN . Chứng minh 

c) Gọi giao điểm của CE với AM , AN . lần lượt là K và Q . Chứng minh IK  AO.
Bài 15. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE , CF  E  AC , F  AB  . Gọi M là trung điểm của
BC. Trên tia đối của tia MF lấy điểm D sao cho MF  MD.
a) Chứng minh CD  BF và CD / / BF .
b) Lấy điểm P bất kì nằm giữa B và F , trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho
MP  MQ. Chứng minh D, Q, C thẳng hàng.

c) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K , trên tia đối của tia FE lấy điểm I sao cho EK  FI .
Chứng minh tam giác MIK cân.
GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG ĐOÀN

Trang 6

TRƯỜNG THCS HẢI HẬU

ÔN THI HSG TOÁN 7

Bài 16. Cho tam giác nhọn ABC , M là trung điểm của BC . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với
 ). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và
AC và AD  AC (điểm B nằm trong góc DAC
 ). Lấy P là giao điểm của AC và DE , gọi I là giao
AE  AB (điểm C nằm trong góc EAB
điểm của AM và DE
.
a) Chứng minh 
ABD  AEC
b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN  MA . Chứng minh CN  AE và 2.AM  DE .
c) So sánh AP và AI .
Bài 17. Cho tam giác ABC có ABgóc với tia phân giác của góc BAC tại N và cắt AB tại C, cắt AC tại F.
a. Chứng minh : ANE  ANF

b. Chứng minh rằng: AE 

AB  AC
2

Bài 18. Cho tam giác PQK, M là trung điểm của QK. Trên tia đối của của tia MP lấy điểm E sao
cho ME = MP. Chứng minh rằng:
a) PK = EQ và PK // QE.
b) Gọi I là một điểm trên PK; J là một điểm trên EQ sao cho PI = EJ . Chứng minh ba điểm I , M ,
J thẳng hàng.
Bài 19. Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Chứng
minh rằng: DB < DC.
Bài 20. Cho tam giác ABC có BC  2 AB ; D là trung điểm của cạnh BC , E là trung điểm cạnh
BD . Trên tia AE lấy điểm N sao cho E là trung điểm của đoạn thẳng AN
1) Chứng minh AB //ND .
2) Chứng minh AD  NC .
3) Trên đoạn thẳng AD lấy điểm F tùy ý  F  A  . Chứng minh: FC  FE  AE
0
ABC cắt AC tại D, phân giác 
ACB cắt
Bài 21. Cho ABC nhọn có góc A bằng 60 . Phân giác 
AB tại E. BD cắt CE tại I.


a) Tính số đo BIC
b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF  BE. Chứng minh CID  CIF
c) Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM  IB  IC. Chứng minh BCM đều
Bài 22. Cho ABC nhọn và điểm D thuộc cạnh BC (D khác B và C). Qua A kẻ đường thẳng xy
song song với BC. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC và xy lần lượt tại M và
E. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB và xy lần lượt tại N và F.
a/ Chứng minh rằng AE = BD và EF = BC
b/ Chứng minh rằng ba đường thẳng AD; BE; CF cùng đi qua một điểm
c/ Chứng minh rằng MF // CN
Bài 23. Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D, tia phân giác
của góc ACB cắt AB tại E. Kẻ DH vuông góc với BC tại H, EK vuông góc với BC tại K.
a) Chứng minh rằng BA  BH và BD  AH.
b) Chứng minh AB  AC  BC  HK.
c) Tính số đo góc HAK.
GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG ĐOÀN

Trang 7

TRƯỜNG THCS HẢI HẬU

ÔN THI HSG TOÁN 7

VII. Tổng hợp
Bài 24. Toán về giá trị nguyên, số chính phương.
1) Tìm số nguyên x, y biết: 5  y  1
x

4

8

2) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3
3) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6
4 y 1
4) Tìm số nguyên x và y biết:  
x 5 10
5) Tìm x, y nguyên biết: xy  3x  y  6
6) Tìm các cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn: x3  xy  1  2 y  x .
7) Tìm các số nguyên x , y thoả mãn: x 2  xy  2  2 x  y .
8) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) sao cho: 2 xy  6 x 2  y  3x  7.
9) Cho các số nguyên x, y thỏa mãn x 2  y  1  1 và x  y . Tính  x  2y  5 
10) Cho Q =

2026

.

27 - 2x
. Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?
12 - x

Bài 25. Toán suy luận logic toán học
1) Tìm các số a, b, c biết ab = 2, bc = 6 và ac = 3.







2) Tìm các số tự nhiên a, b sao cho: 2016a  13b  1 2016  2016a  b  2015
a

a

b

3) Tìm các số nguyên dương x, a, b biết: 4x  19  3 và 2x  19  3
4) Tìm các số nguyên dương a, b sao cho: 3a  3a  5b  5b  651 .
5) Tìm tất cả các giá trị nguyên x, y thoả mãn 2 x  2025  y  5  y  5 .

6) Tìm các số tự nhiên x; y sao cho:  2026.x  3.y  1  2026 x  2026.x  y   225

7) Cho a; b; c; d là các số nguyên dương thỏa mãn: a 2  b 2  2027  c 2  3d 2  . Chứng minh rằng

a  b  c  d là hợp số
Bài 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức.
1) Với x là số nguyên, tìm giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức M = 15  x ?
5 x

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x – 2) + y  x + 3
2

x
y
z
t



với x, y, z, t là các số tự nhiên
x y  z x y t y  z t x z t
khác 0. Chứng minh M  2 .
3) Cho biểu thức M 

1 1 1
2 3 4

4) Cho A  1     ... 

1
2

2024

1

. Chứng minh 1012  A  2024 .

Bài 27. Nguyên lí Diricle
1) Cho 2024 số a1 , a2 , a3 ,..., a2024

là

các

số

tự

nhiên

khác

thỏa

0

mãn:

1 1 1
1
1
   ... 

 1 . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số trong 2024 số đã cho
a1 a2 a3
a2023 a2024

là số chẵn.
2) Gọi a1 , a2 , a3 ,...., a100 là các số tự nhiên thoả mãn:

1
1
1
1
199
.
 2  2  ... 

2
2
a1 a2
a3
a100
100

Chứng minh rằng ít nhất hai số tự nhiên trong các số trên bằng nhau.

GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG ĐOÀN

Trang 8