Trường THCS Cẩm Thạch
CHUYÊN ĐỀ 1:
Ngày soạn: 3/9/2022
Ngày dạy:

GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

I. Phương pháp:
HS vận dụng các phép biến đổi dựa vào quy tắc cộng trù nhân chia số hữu tỉ, các công
thức liên quan đến lũy thừa để biến đổi tính toán.
II. BÀI TẬP:
Câu 1.
Thực hiện các phép tính sau:
2181.729  243.81.27
3 .9 .234  18.54.162.9  723.729
5.415  9 9  4.3 20.8 9
c)
5.2 9.619  7.2 29.27 6

a)

2

2

b)

1
1
1
1
1


 

1.2 2.3 3.4
98.99 99.100

Lời giải

2181.729  243.3  81.9
2181.729  7292

32.92.243  93.2.6.162  723.729
729.243  729.1944  723.729
729(2181  729)
729.2910


1
729(243  1944  723) 729.2910
1
1
1
1
1


 .... 

b)
1.2 2.3 3.4
98.99 99.100
1 1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
  ;
  ;
  ; …..;
 
;
 
Ta có
1.2 1 2 2.3 2 3
3.4 3 4
98.99 98 99 99.100 99 100

a)

Vậy :

1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1
        



 .... 

 
1.2 2.3 3.4
98.99 99.100 1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
1
99
1

.
100 100
5.230.318  2 2.320.2 27
2 29.318 (5.2  3)

2
c)
5.29.219.319  7.2 29.318
2 28.318 (5.3  7.2)
Câu 2.

1.5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54
1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45

Tính nhanh: A 

Lời giải

1.5.6 1  2.2.2  4.4.4  9.9.9  1.5.6
1.5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54

2
A
1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45 = 1.3.5 1  2.2.2  4.4.4  9.9.9  1.3.5
.
Câu 3.

Tính tổng:

2
2
2
2


 
.
1.4 4.7 7.10
97.100

Lê Thị Hưng

Lời giải
1

Trường THCS Cẩm Thạch
1 1 1 1
2
2 1 1
2
2 1 1
2
2 1 1
 (  )
 (  )
 (  );
 (  );....
1 .4 3 1 4
1 .4 3 1 4
4.7 3 4 7 7.10 3 7 10
2
2 1
1
2 1 1 1 1 1 1
1
1
 ( 
)  B= (     
 .....  
)
......;
97.100 3 99 100
3 1 4 4 7 7 10
99 100
Câu 4.

Ta có

Tính tổng S 1.2  2.3  3.4  ...  99.100
S 1.2  2.3  3.4  ...  99.100

Lời giải

3S 3 1.2  2.3  3.4  ...  99.100  = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 99.100.3

= 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + 99.100.(101 - 98)
= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - ... - 98.99.100 + 99.100.101
Vậy S = 99.100.101: 3 = 33. 100 . 101 = 333300
Câu 5.

Tính giá trị biểu thức

212.13  212.65 310.11  310.5

210.104
39.2 4

Lời giải

12

12

10

10

12

10

2 .13  2 .65 3 .11  3 .5
2 .78 3 .16
3  3 6

 10

10
9 4
2 .104
3 .2
2 .104 39.16
2 1 1
2 99 33
 B= ( 
) .

3 1 100
3 100 50
Câu 6.

Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí : A =

636363.37  373737.63
.
1  2  3  ....  2006

12 12 12
4
4
4 

12  

4  

 124242423
6 
19
37
53
17
19
2006
.
:
B= 1 .
1 3
3
5
5
5  237373735 .
41 

5  
 3 

3 37 53
17 19 2006 


Lời giải

636363.37  373737.63
63.(10101.37)  37.(10101.63)
=
1  2  3  ....  2006
1  2  3  ....  2006
37.63.(10101  10101)
0
=
1  2  3  ....  2006
12 12 12
4
4
4 

12  

4  

6 
19 37 53 :
17 19 2006 . 124242423
1
.
B =
1 3
3
5
5
5  237373735
41 

5  
 3 

3 37 53
17 19 2006 

 
1
1
1 
1
1
1 
 12. 1  

 4 1   

47   19 37 53   17 19 2006   41.3.1010101
:
.
= .
1
1
1
1
1
1   47.5.1010101
41





 5 1 

 3 1  
 17 19 2006  
  19 37 53 
A =

Lê Thị Hưng

2

Trường THCS Cẩm Thạch
47
5 41.3
.( 4. ).
= 3.
41
4 47.5
Câu 7.

=

Tính: C =
C=

101  100  99  98  ...  3  2  1
;
101  100  99  98  ...  3  2  1

101  100  99  98  ...  3  2  1
101  100  99  98  ...  3  2  1

D=

Lời giải

3737.43  4343.37
.
2  4  6  ...  100

Ta có:
*) 101 + (100 + 99 + ... + 3 + 2 + 1)=101 + 101.100 : 2 = 101 + 5050 = 5151
*)

(101 - 100) + (99 - 98) + ... + (3 - 2) + 1
101 - 100 + 99 - 98 + ... + 3 - + 1=        50 cap      
= 50 + 1 =

51

5151
101 .
51
3737.43  4343.37
b) B =
Ta có:3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = 0
2  4  6  ...  100

Vậy C =

Vậy B = 0 ( vì 2 = 4 + 6 + ...+ 100  0).
Câu 8.

Tính tổng S =

27  4500  135  550.2
.
2  4  6  ....14 16  18

Lời giải

270.450  270.550 270(450  550) 270000


3000
(2  18).9
S=
90
90
2

Câu 9.

Tính các giá trị của biểu thức.
a) S = 1+2+3+4+.........+100.
1 3
4(3   
1
3 7
b) B = -1 .
1 3
5
3 

3 37

3
4
4
4
) 4  
53 :
17 19 2003 .
3
5
5
5
5  
53
17 19 2003

c) C =

1
1
1
1
1



 ... 
.
1.2 2.3 3.4 4.5
99.100

Lời giải
a) Tổng : S =1 +2 +3 +...+100 có 100 số hạng .
= ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + ... + 950 + 51) có 50 cặp . = 50 . 10 = 5050.
b) A =

1
1 .
5

Lê Thị Hưng

1 3
3
4
4
4
4( 3  

) 4  
3 37 53 :
17 19 2003
1 3
3
5
5
5
(3  

) 5  
3 37 53
17 19 2003

3

Trường THCS Cẩm Thạch
1
1
1
 
)
6 4
6 4 4
6 4.5
17 19 2003
.
:
Ta có : A = = - . :  .  6.
1
1
1
5 1
5 1 5
5 4
5(1   
)
17 19 2003
1
1
1
1
1
c) B =
+
+
+
+............+
2.3
3.4
4 .5
5.6
99.100
1 1 1 1 1
1
1
1
99
.
Ta có : B = 1 - + - + - +........+
=1=
2 2 3 3 4
99 100
100
100
Câu 10.
4(1 

1 1 1
1
 3  ...  100
2
3 3 3
3

Tính tổng A  

Lời giải

1 1 1
1
3 A 1   2  3  ...  99
3 3 3
3

1 1 1
1
A   2  3  ...  100
Ta có
3 3 3
3

1
3100  1
1 1 1
1
1 1 1
1
 3 A  A (1   2  3  ...  99 )  (  2  3  ...  100 )  2 A 1  100  100
3 3 3
3
3 3 3
3
3
3
100
3 1
Vậy A  100 .
2.3
Câu 11.

Tính:
A=

5
5
5
5


 ... 
11.16 16.21 21.26
61.66 .

C = 1  1  ... 
1.2

2.3

B= 1  1  1  1  1  1
2

6 12

20

30

42 .

1
1
 ... 
1989.1990
2006.2007 .

Lời giải

A= 1  1  1  1  1  1  ...  1  1  1  1  5
11 16 16

21 21 26

61 66

11 66

66 .

B= 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 1  1  6
2

2 3 3 4

4 5 5 6

6

7

7

7.

C = 1  1  1  1  ...  1 
2

2 3

1
1
1
1
2006
 ... 

1 

1989 1990
2006 2007
2007 2007 .

Câu 12.

Tính tổng: M =

10 10
10
10


 .... 
56 140 260
1400

Lời giải

10 10
10
10
5
5
5
5


 ... 


 ... 
=
56 140 260
1400
4.7 7.10 10.13
25.28
5 1 1 1 1
1 1
1
1 
5 6
5
= .       ...    = .  .
3  4 7 7 10 10 13
25 28 
3 28 14

M=

Lê Thị Hưng

4

Trường THCS Cẩm Thạch
Câu 13.

Tính giá trị biểu thức:
12

12

2 .13 + 2 .65
+
210.104
Câu 14.

Tính tỷ số

A
B

10

212.13 + 212.65
+
210.104
10

310.11 + 310.5
39.24

Lời giải

3 .11 + 3 .5
= 3 +3 = 6
39.24

A= + ++ ; B = + + + .
Lời giải

40
35
30
25



31.39 39.46 46.52 52.57
40  1
1  35  1
1  30  1
1  25  1
1 
1  5.26
 1
=                = 5   
8  31 39  7  39 46  6  46 52  5  52 57 
 31 57  31.57
91
65
39
143



B=
19.31 19.43 23.43 69.19
13  7 5  13  3 11 
28  13.52
A 5.26 13.52 5
 24
        13 



:
 .

19  31 43  23  43 57 
57
B 31.57 57
62
 31.19 43.57 

A=

Câu 15.

Cho A  34  51  85  68 , B  39  65  52  26
7.13

13.22

22.37

37.49

Ta có:

7.16

16.31

Lời giải

31.43

34
51
85
68
34  1 1 
68  1
A



  
  .....   
7.13 13.22 22.37 37.49 6  7 13 
12  37
39
65
52
26
39  1 1 
26  1
B



  
  .....   
7.16 16.31 31.43 43.49 9  7 16 
6  43

.
Câu 16.

43.49

Tính tỷ số A .

1  17  1 1 
  

49  3  7 49 
1  13  1 1 
A 34 26 17
  
  : 
49  3  7 49 
B 49 49 3

(Đề thi HSG 6 huyện)

7
5

13.46. 28  27 
18 
 13
Thực hiện dãy tính:
5
5
5
5

59.212 



 14 84 204 374





.

Lời giải

295
212 .295 2.11.17 187
13.18

.

Ta có: A 
59.5.212 .18 5.7
315 .
 1
1
1
1 
12
59.2 .5. 




 2.7 2.3.7 2.3.17 2.11.17 
13.46 .

Lê Thị Hưng

5

B

Trường THCS Cẩm Thạch
(Đề thi HSG 6 huyện)

Câu 17.

 39
33  21
 0, 415 

:
600  9
21 3  65
Tính
 :
54 75 7 2  18, 25  13 15  16 17
36
102

Lời giải

7
0,96.
21 3
21 3 2, 24 8
3
  :
 .
Ta có:  : 9
54 75 30  13 5  16 1 54 75 28
9
12
12
6
Câu 18.
(Đề thi HSG 6 huyện)

Tính

101  100  99  98  . . .  3  2  1
423134 . 846267  423133
a) A = 101  100  99  98  . . .  3  2  1
b) B = 423133 . 846267  423134 .
Lời giải
423133 . 846267  846267  423133
101 . 51
1
101
a) A =
b) B =
423133 . 846267  423134
51
Câu 19.
(Đề thi HSG 6 huyện)
Tính nhanh:
a) A =

24.47 - 23
24 + 47 - 23

3+

.

3

-

3

+

3

-

3

7 11 1001 13
9 9 9
- + - +9
1001 13 7 11
9

1  2  2 2  23    22012
22014  2

b) B = -329  + -15  + -101 + 440 + 2019

c) M 

Lời giải

a) Đặt A E.F
24.47 - 23
1128 - 23 1105
E=
=
=
24 + 47 - 23
71 - 23
48
æ 1 1
ö
1
1
3ç
1+ - +
- ÷
÷
ç
ç
è 7 11 1001 13 ÷
ø 1
F=
=
æ1
ö 3.
1
1
1
÷
9ç
- + - +1÷
ç
ç
è1001 13 7 11 ÷
ø
1105
Suy ra A =
.
144
b) B  329    15    101  440  2019 B  329  101  10   440  2019  5 
B  440   440  2014 2014

1  2  2 2  23    22012
22014  2

c) M 

Lê Thị Hưng

6

Trường THCS Cẩm Thạch
- Đặt A 1  2  22  23    22012
- Tính được A = 22013 - 1
- Đặt B = 22014 - 2
2013
- Tính được B = 2 (2 - 1)
1
2

- Tính được M = .
(Đề thi HSG 6 huyện Nghĩa Đàn 2012-2013)

Câu 20.

Thực hiện phép tính một cách hợp lý:
2 2013 2 1
1
- .
+
3 2012 3 2012 3

a) A = .

2  2013

a) A  
3  2012

Lời giải

1  1 2 2013  1 1 2 1
   1
  .
2012  3 3 2012
3 3 3

(Đề thi HSG 6 huyện năm 2006 - 2007)

Câu 21.

2 2 2
2
+ + 293
Rút gọn biểu thức: A = 73 53 17
3
3 .
+ + 7 5 17 293
Câu 22.
(Đề thi HSG 6 huyện 2013 - 2014)

Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí :
 1313

a) (- 2013).2014 +1007.26

10   130 1515 



b) 
 

 1414 160   140 1616 
Lời giải

a)  2013.2014  2014.13 2014  2013 13  2014.  2000   4028000
 1313

10   130 1515 

13

1

13 15

13 13

1

15

16




 
  0  0  1 1
b) 
 
  
16
 1414 160   140 1616  14 16 14 16 14 14 16 16
Câu 23.
(Đề thi HSG 6 huyện)

Tính A =

1
1
1
1
1
1
+ + +
+
+
.
10 40 88 154 238 340

Lời giải

3
3
3
3
3
3
+
+
+
+
+
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
9
= - + - + + + + = =
2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 17 20 2 20 20
3A =

Câu 24.

(Đề thi HSG 6 huyện 2013 - 2014)

Tính giá trị của các biểu thức sau:
2
a) 2  6  24  : 4  2014

Giải
Lê Thị Hưng

1

1

7

1


 

b)  1  2  3  :  1  3  4 
3
4
12
2


 



7

Suy ra A = 3 .
20

Trường THCS Cẩm Thạch
2
a) 2  6  24  : 4   2014 2  36  24  : 4   2014

2.12 : 4  2014 2.3  2014 6  2014 2020

1
1 
7
1 1 1  7

b)  1  2  3  :  1  3  4     :  
3
4 
12
2   3 4   12

Câu 25. (Đề thi HSG 6 huyện)

1 1 1
  : 1 .
2  12 12

Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao?

23 23232323 2323 232323
;
;
;
99 99999999 9999 999999

Câu 26. (Đề thi HSG 6 huyện)

Tính giá trị của biểu thức sau:

1   1 1
1
1 1 1 
1 1
A   
 . .
 :  
  1: 30.1009  160 
 7 23 1009   23 7 1009 7 23 1009 

Lời giải

Ta viết lại A như sau :

1 
 1 1
  
 .23.7.1009
1
23 7 1009 

A

1
1 1 1 
 1 1
23  7 .1009  161  1
 . .
  
 .23.7.1009
 23 7 1009 23 7 1009 
7.1009  23.1009  23.7
1


1
7.1009  23.1009  23.7  1 23.1009  7.1009  23.7  1
Câu 27. (Đề thi HSG 6 huyện)

Tính nhanh:
a) 35.34  35.86  65.75  65.45
Câu 28. (Đề thi HSG 6 huyện)

b) 21.7 2  11.7 2  90.7 2  49.125.16

Thực hiện các phép tính sau:

2181.729  243.81.27
1
1
1
1
1


 

b)
1 .2 2 .3 3 .4
98.99 99.100
3 .9 .234  18.54.162.9  723.729
15
1
1 1
1
5.4  99  4.320.89






1
c) 2 2 2
d)
2
3 4
1002
5.29.619  7.2 29.276

a)

a)

2

2

2181.729  243.3  81.9

Lời giải



2181.729  7292
729.243  729.1944  723.729

3 2.9 2 .243  9 3.2.6.162  723.729
729(2181  729)
729.2910


1
729(243  1944  723) 729.2910

b) Ta có:
1 1 1 1
1 1 1
1 1
1
1
1
  ;
  ;
  ;
 
1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4 99.100 99 100

Lê Thị Hưng

8

Trường THCS Cẩm Thạch
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1


 

        
 
1.2 2.3 3.4
98.99 99.100 1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
1
99
1 

.
100 100

Vậy

c) Ta có:
1
1 1 1

  ;
2
2 1.2 1 2

1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1

  ;

  ;...;

 
2
2
2
3
2 .3 2 3
3.4 3 4
99.100 99 100
4
100
1
1
1
1
1
1
1
1



 

Vậy 2  2  2   
2
2
3
4
10 0
1 .2 2 .3 3 .4
99.100
1 1 1 1 1
1
1
1 99
1         
1  
 1.
2 2 3 3 4
99 100
2 100

5.230.318  22.320.2 27
229.318 (5.2  3)
 28 18
2
d)
5 .29.219.319  7.2 29.318
2 .3 (5.3  7.2)
Câu 29. (Đề thi HSG 6 huyện)

Tính nhanh:

A=

1.5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54
1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45

Lời giải

A=

1.5.6 1  2.2.2  4.4.4  9.9.9  1.5.6
1.5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54
= 1.3.5 1  2.2.2  4.4.4  9.9.9 1.3.5 2 .


1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45

Câu 30. (Đề thi HSG 6 huyện)

Tính các tổng sau một cách hợp lí.
a) 1  6  11  16  ...  46  51

52
52
52
52
52
52





b)
1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31

Lời giải

a) Dãy trên có số các số hạng là:
51  1 : 5  1 11 (số hạng)
Vậy tổng 1  6  11  16  ...  46  51 (51  1).11: 2 286
b) Ta có:
52
52
52
52
52
52 5.  5  5  5  5  5  5 







 1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31 
1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31

 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 
1
30 150
5.  1   
 
 
 
 
 5.  1 
 5. 
31 31
 6 6 11 11 16 16 21 21 26 26 31 
 31 
Câu 31. (Đề thi HSG 6 huyện)

Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100
Lời giải
S 1 .2  2.3  3.4  ...  99.100

3.S   1.2
  2.3  3.4  ...  99.100 .3

3.S 1 .2.3  2.3.3  3.4.3  ...  99.100.3

3.S 1
 .2.3  2.3. 4  1  3.4. 5  2   ...  99.100. 101  98 

3.S 1 .2.3  1.2.3  2.3.4  2.3.4  3.4.5  ...  98.99.100  99.100.101

Lê Thị Hưng

9

Trường THCS Cẩm Thạch
S  99.100.101: 3  33. 100 . 101  333300
Câu 32. (Đề thi HSG 6 huyện)

Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí :
1)

12 12 12
4 4
4 

12  

4  

6
636363.37  373737.63
19 37 53 :
17 19 2006  . 124242423
2) B 1 . 
A

41  3  1  3  3 5  5  5  5  237373735
1  2  3  ....  2006
3 37 53
17 19 2006 


Lời giải
1) A =

636363.37  373737.63
63.(10101.37)  37.(10101.63)
37.63.(10101  10101)
0
=
=
1  2  3  ....  2006
1  2  3  ....  2006
1  2  3  ....  2006

12 12 12
4 4
4 

12  

4  
6 
19 37 53 :
17 19 2006  . 124242423
2) B = 1 . 

41  3  1  3  3 5  5  5  5  237373735
3 37 53
17 19 2006 

 
1 1
1  
1 1
1 
12.  1  

41  



47
47
5 41.3
19 37 53   17 19 2006   41.3.1010101


:
.
.(4. ).
= .
=
=3
1 1
1 
1 1
1   47.5.1010101
41  

41
4 47.5
 3  1  19  37  53  5  1  17  19  2006  



 

Lê Thị Hưng

10

Trường THCS Cẩm Thạch
CHUYÊN ĐỀ 2:
Ngày soạn:
Ngày dạy:

TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số

(hoặc a : b = c : d).

Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay
ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu

thì

Tính chất 2: Nếu

và a, b, c, d

,

thì ta có các tỉ lệ thức sau:

,

,

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
-Tính chất: Từ

suy ra:

-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
suy ra:
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số

ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

và

Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt

, suy ra:

,

Theo giả thiết:
Do đó:
KL:
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Lê Thị Hưng

11

Trường THCS Cẩm Thạch
Do đó:
KL:
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết

mà

Do đó:
KL:
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:

,

và

Giải:
Từ giả thiết:

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(*)

Ta có:
Do đó:

;

;

KL:
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt

( sau đó giải như cách 1 của VD1).

Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:

mà
Suy ra:

,

KL:
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:

và

Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt

, suy ra

,

Theo giả thiết:
+ Với
ta có:
Lê Thị Hưng

12

Trường THCS Cẩm Thạch

+ Với

ta có:

KL:
hoặc
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x
Nhân cả hai vế của

+ Với

với x ta được:

ta có

+ Với

ta có

KL:
hoặc
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)

và

c)
e)

b)

và

,

d)

và

và

và

f)

Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)

và

c)
e)

b)

và

,

d)

và

và

và

f)

Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
c)

và

b)

và

và

d)

e)

f)

và
và

Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
c)
e)

Lê Thị Hưng

và

b)

và

và

d)
f)

và
và

13

Trường THCS Cẩm Thạch
Bài 5: Tìm x, y biết rằng:
Bài 6: Tìm x, y biết rằng:
Bài 7: Cho

và

Tìm giá trị của:
Giải:
( Vì
)
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a)

và 5x – 2y = 87;

b)

và x2 + y2 + z2 = 14.

b)

và 2x – y = 34;

c)

Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
b) x + y = x : y = 3.(x – y)
Giai
a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y.
Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và
bằng hai lần tổng của a và b ?
Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau:

. Biết a+b+c

.Tìm giá trị của mỗi tỉ số

đó ?
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết
rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của
trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Giải:
=> ab(ab-2cd)+c2d2=0
(Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)
=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

Lê Thị Hưng

14

Trường THCS Cẩm Thạch

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức:

ta thường dùng một số phương pháp sau:

Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số

và

có cùng giá trị.

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+)
+)
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có:

.Chứng minh rằng:

(1)
(2)

Từ giả thiết:

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

(đpcm)

Cách 2: (PP2)
Đặt

, suy ra

Ta có:

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(đpcm)

Cách 3: (PP3)Từ giả thiết:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
(đpcm)
Hỏi: Đảo lại có đúng không ?
Lê Thị Hưng

15

Trường THCS Cẩm Thạch
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức

. Chứng minh rằng:

Giải:
Cách 1: Từ giả thiết:

(1)

Ta có:

(2)
(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

(đpcm)
Cách 2: Đặt

, suy ra

Ta có:

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(đpcm)

Cách 3: Từ giả thiết:
(đpcm)

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức:

. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết
các tỉ số đều có nghĩa).

1)
3)

Lê Thị Hưng

2)
4)

16

Trường THCS Cẩm Thạch
5)

6)

7)

8)

Bài 2: Cho tỉ lệ thức:

.

Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
a)

b)

d)

c)

e)

g)

f)

h)

i)

Bài 3: Cho

. Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho

. Chứng minh rằng:

Bài 5: Cho
Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
CMR: Ta có đẳng thức:
Bài 7: Cho

và

Chứng minh rằng:
Bài 8: Cho
Bài 9: Chứng minh rằng nếu :

Lê Thị Hưng

Chứng minh rằng:
thì

17

Trường THCS Cẩm Thạch
Bài 10: Cho

và

Chứng minh rằng:
Bài 11: CMR: Nếu

thì

Bài 12: Chứng minh rằng nếu :

Bài 13:

Cho

.

Bài 14. Cho tỉ lệ thức :
Giải. Ta có :

. Đảo lại có đúng không?
thì

CMR:
. Chứng minh rằng:

.

=

;

Bài 15: Chứng minh rằng nếu:
Bài 16: CMR: Nếu

thì

thì

. Đảo lại có đúng không?

Bài 17: CMR nếu
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :
Bài 18:

Cho

Bài 19: Cho

.

CMR:

. Các số x, y, z, t thỏa mãn:

và

Chứng minh rằng:
Bài 20: Chứng minh rằng nếu:

thì

Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn:
và
Lê Thị Hưng

18

Trường THCS Cẩm Thạch
Chứng minh rằng:
Bài 22: CMR nếu

.Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

Bài 23: Cho

. Chứng minh rằng nếu

thì giá trị của P

không phụ thuộc vào x.
Bài 24: Cho biết :
Bài 25: Cho

. CMR: abc + a'b'c' = 0.
. Các số x, y, z, t thỏa mãn:

và

Chứng minh rằng:
Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn:

và

Chứng minh rằng:
Bài 27: Cho

. Chứng minh rằng nếu

thì giá trị của P

không phụ thuộc vào x.
Bài 28: Cho tỉ lệ thức:

;

Chứng minh rằng:

Bài 29: Cho dãy tỉ số :

Lê Thị Hưng

; CMR:

19

.
.

Trường THCS Cẩm Thạch

Ngày soạn:
Ngày dạy:
Dạng 1:
1. Lý thuyết

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một
số a( a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của
nó.
TQ: Nếu
Nếu
Nếu x-a  0=> = x-a
Nếu x-a  0=> = a-x
*Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
TQ:
với mọi a  R
Cụ thể: =0 <=> a=0
≠ 0 <=> a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số
có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
TQ:
Lê Thị Hưng

20

Trường THCS Cẩm Thạch
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn
hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
TQ:
và
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ: Nếu
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
TQ: Nếu
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. TQ:
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
TQ:
* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
TQ:
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai
số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
TQ:
và
2. Các dạng toán :
I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1:
( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của
mọi số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có
- Nếu k > 0 thì ta có:
Bài 1: Tìm x, biết:
a)
Giải
a)
* 2x-5 = 4
2x = 9
x
= 4,5
* 2x-5 = - 4
2x =5-4
2x =1
x =0,5
Tóm lại:
x = 4,5;

b)

c)

x =0,5

b)
Lê Thị Hưng

21

d)

Trường THCS Cẩm Thạch
= - ....
Bài 2: Tìm x, biết:
a)

b)

c)

Bài 3: Tìm x, biết:
a)

b)

c)

d)

Bài 4: Tìm x, biết:
a)

b)

c)

Bài 5: Tìm x, biết:
a)

b)

c)

d)

Buổi

:
Dạng 2:
( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
Vận dụng tính chất:

ta có:

Bài 1: Tìm x, biết:
a)
b)
c)
d)
a)
Trường hợp 1: 5x-4=x+2
5x- x =2+4
x= 1,5
Trường hợp 2: 5x-4=-x-2
5x + x =- 2+ 4
x=
Vậy x= 1,5; x=
Câu b.c.d HS làm.
Bài 2: Tìm x, biết:
Lê Thị Hưng

22

d)

Trường THCS Cẩm Thạch
a)

b)

c)

d)

Dạng 3:
( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt
đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
(1)
Điều kiện: B(x)
(*)
(1) Trở thành

( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều

kiện ( * )
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu
Nếu
Ta giải như sau:
(1)
 Nếu A(x)
thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều
kiện )
 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với
điều kiện )
VD1: a) Tìm x  Q biết =2x
* Xét x+  0 ta có x+ =2x
*Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x
Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm x, biết:
a)

b)

Bài 2: Tìm x, biết:
a)

c)
b)

c)

Bài 3: Tìm x, biết:
a)
b)

c)

Bài 4: Tìm x, biết:
a)
b)

c)

Bài 5: Tìm x, biết:
a)
b)

c)

Buổi

:

d)

Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

Ngày soạn:
Ngày dạy:
Lê Thị Hưng

d)

23

Trường THCS Cẩm Thạch
Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ1 : Tìm x biết rằng
(1)
Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế
trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
Giải
Xét
x–1=0
x = 1; x – 1 < 0
x < 1; x – 1 > 0
x>1
x- 3 = 0
x = 3; x – 3 < 0
x < 3; x – 3 > 0
x>3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:
x
x–1
x–3
Xét khoảng x < 1 ta có: (1)

-

x

3 ta có:
(1)

Kết luận: Vậy x =

0

+

(giá trị này không thuộc khoảng đang xét)

( giá trị này thuộc khoảng đang xét)

(x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
- 4 = -1 ( Vô lí)

.

VD2 : Tìm x:
+ =0
Nhận xét x+1=0 => x=-1
x-1=0 => x=1
Ta lập bảng xét dấu
x
-1
x+1
0
+
x-1
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
Nếu x<-1
Nếu -1  x  1
Nếu x >1
HS giải tương tự VD trên
GV yêu cầu HS làm BT sau: (cả BT về nhà)
Lê Thị Hưng

-

+

(x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
2
= 2x – 1
x =

Xét khoảng x > 3 ta có: (1)

+

3

(1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
-2x + 4
= 2x – 1
x=

Xét khoảng 1

1
0

1
0

24

+
+

Trường THCS Cẩm Thạch
Bài 4.1: Tìm x, biết:
a)

b)

c)
Bài 4.2: Tìm x, biết:
a)
c)
Bài 4.3: Tìm x, biết:
a)
c

d)

d)

d

Bài 4.4: Tìm x, biết:
a)
c)

b)

b)
d)

Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt
Phương pháp:
(1)
Điều kiện: D(x)
kéo theo
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a)
c)

b)
d)

HD:

ĐK: 4x
x
Với x
thì : x+1 >0; x+2>0 ; x+3 >0
Khi đó: tao có: x+1 + x+2 + x+3 = 4x
3x – 4x = -6
x=6 tmđk
Vậy x = 6 là giá trị cần tìm
Bài 5.2: Tìm x, biết:
a)
b)
c)
d)
Dạng 6: Dạng hỗn hợp: 2 tầng dấu GTTĐ
Phương pháp: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong
VD: Tìm x, biết:
Lê Thị Hưng

25

Trường THCS Cẩm Thạch
a)
* + =
=
Hoặc:
2x-1=
hoặc 2x-1= 2x = + 1
2x = - + 1
* + ==- - (không thỏa mãn)
Vậy có 2 giá trị x thỏa mãn đề bài: x= ; x=
GV y/c HS làm các BT:
Bài 6.1: Tìm x, biết:
a)

b)

Bài 6.2: Tìm x, biết:
a)

b)

d)
Bài 6.3: Tìm x, biết:
a)

c)
e)

b)

c)

Dạng 7:
Phương pháp: Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp
bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ
khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung:
B1: đánh giá:
B2: Khẳng định:
Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:
a)

b)

c)

GV HD HS làm 1 câu, sau đó y/c HS giải
Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
a)

b)

c)

* Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng
* Cách giải:
(1)
(2)
Từ (1) và (2)
Lê Thị Hưng

nhưng kết quả không thay đổi

26

Trường THCS Cẩm Thạch
Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:
a)
b)

c)

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:
a)
b)

c)

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm
của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a)
b)
c)
Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :
a)

b)

c)

d)

d)

Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:
a)

b)

c)

d)
Dạng 8:

Phương pháp: Cách giải: Sử dụng tính chất:
Từ đó ta có:
Bài 8.1: Tìm x, biết:
a)
d)
Bài 8.2: Tìm x, biết:
a)
d)

b)
e)

c)

b)
e)

c)
f)

1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối
Bài 1: Tìm x, biết:
a)
Ta lập bảng xét dấu
x
-3
3
x+3
0
+
2x-6
0
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
* Nếu x<-3
Lê Thị Hưng

f)

27

+
+

Trường THCS Cẩm Thạch
Khi đó phương trình trở thành
6 - 2x - x - 3 = 8
-3x
=8-3
-3x
=5
x
= - ( không thỏa mãn x<-3)
* Nếu - 3  x  3
6 - 2x + x + 3 = 8
-x
= -1
x
= 1 ( thỏa mãn - 3  x  3)
* Nếu x >3
2x-6 + x + 3 = 8
3x
= 11
x
= ( thỏa mãn x >3)
2
3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức:
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a)
x-y-2 =0
x=-1
<=>
y+3 =0
y= -3
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :
a)
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a)
Bài 4: Tìm x thoả mãn:
a)
II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1:
với
* Cách giải:
* Nếu m = 0 thì ta có
* Nếu m > 0 ta giải như sau:
(1)
Do
nên từ (1) ta có:

từ đó tìm giá trị của

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a)
b)

c)

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a)
b)

c)

Lê Thị Hưng

28

và

tương ứng .

Trường THCS Cẩm Thạch
Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a)
b)

c)

d)

Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)
b)
c)

d)

Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)
b)
c)

d)

2. Dạng 2:
với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
(1)
(2)
Từ (1) và (2)
từ đó giải bài toán

như dạng 1 với

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)
b)
c)

d)

Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)
b)
c)
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức:

d)
xét khoảng giá trị của ẩn số.

Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a)
b)
c)

d)

Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và
b) x +y = 4 và
c) x –y = 3 và
d) x – 2y = 5 và
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và
b) x – y = 3 và
c) x – y = 2 và
d) 2x + y = 3 và
4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải :
Đánh giá:
tìm được giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a)
b)

c)

Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)
b)
c)
Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)
b)
c)
Lê Thị Hưng

29

d)

Trường THCS Cẩm Thạch
5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá:
(1)
Đánh giá:
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)

b)

c)

d)

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)

b)

c)

d)

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)

b)

c)

d)

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với
a)
b)
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a)
b)
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a)

b)

c)

Bài 4: Rút gọn biểu thức khi
a)

b)

Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a)
c)

với x < - 0,8
với

b)
d)

với
với x > 0

==============&=&=&==============
IV – Tính giá trị biểu thức:
Lê Thị Hưng

30

Trường THCS Cẩm Thạch
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với

b) N =

với

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
a)
c)

với
với

b)

với

d)

với

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:
a)
c)

với

b)

với

với x...