PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Mục đích của sáng kiến
* Tính mới của Sáng kiến:
Trong đề thi tốt nghiệp THPT, bài toán trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong
không gian là một trong những bài toán cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các
tính chất, các kỹ năng tính toán của học sinh. Do học sinh không có tư duy trực quan nên
thường nhầm lẫn giữa các khái niệm như véctơ chỉ phương của đường thẳng với véctơ
pháp tuyến của mặt phẳng , cách tìm điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng,
nhầm giữa viết phương trình tổng quát của mặt phẳng với phương trình tham số, chính tắc
của mặt phẳng.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm lớp 12 tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học
sinh, và đặc biệt năm học 2024-2025 lần đầu tiên triển khai thi theo hình thức mới môn
Toán, vì vậy tôi viết sáng kiến: “Bài toán trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không
gian đáp ứng kì thi tốt nghiệp THPT cho học sinh lớp 12 Trường THPT Lương Tài số
2”. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả
cao khi giải bài tập trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian và đạt và đạt kết
quả cao trong kì thi TN THPT.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tiếp tục tìm hiểu sâu hơn về vấn đề
này, lập được một số lượng bài toán đa dạng phong phú cho học sinh luyện tập. Từ đó
giúp đồng nghiệp và học sinh thêm nguồn tư liệu ôn tập cho học sinh.
* Ưu điểm nổi bật của Sáng kiến được áp dụng vào thực tiễn của đơn vị:
Sáng kiến đã được áp dụng tại cơ sở ở Trường THPT Lương Tài số 2, bước đầu
minh chứng tỉ lệ thi thử TN THPT ngày càng cao.
2. Đóng góp của Sáng kiến để nâng cao chất lượng quản lý, dạy học của ngành
giáo dục nói chung và của đơn vị nói riêng
Thông qua sáng kiến kinh nghiệm người học không chỉ hoàn thiện hệ thống kiến
thức, kỹ năng còn rèn cho người học những đức tính, phẩm chất của người lao động mới:
cẩn thận, chính xác, kỷ luật, linh hoạt, sáng tạo, đặc biệt là tình yêu trong học tập. Sáng
kiến giúp cho giáo viên, cũng như học có tư duy linh hoạt trong việc lựa chọn, phối hợp
các phương pháp trong bài tập trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian

2

Kết quả của việc áp dụng sáng kiến giúp cho người quản lý có thêm thông tin của
về người dạy, người học giúp người quản lý có kế hoạch sử dụng, sắp xếp hợp lý, hiệu
quả.
Phần 2. NỘI DUNG
Chương 1: Khái quát thực trạng vấn đề
mà sáng kiến tập chung giải quyết
Thời gian và các bước tiến hành tìm hiểu việc dạy của giáo viên và việc học của
học sinh năm học 2024-2025.
Khảo sát chất lượng thông qua kết quả kiểm tra 45', và kết quả thi thử TN THPT
lần 2 có nhiều học sinh không làm được bài toán trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong
không gian.
Nguyên nhân dẫn đến kết quả trên: Khi dạy nội dung phương pháp tọa độ trong
không gian phân phối chương trình có thời lượng không đủ cho cho học sinh luyện tập,
các sách tham khảo thường viết với nội dung tự luận, nên khi làm trắc nghiệm nhiều học
sinh sợ mà không học ,thiếu tinh thần cầu thị, không tìm tòi khám phá.
Giáo viên cần biết được những khó khăn của học sinh mà có phương pháp phù
hợp nhằm động viên khích lệ, hướng dẫn học sinh cách làm bài tập trắc nghiệm, đặc biệt
cần có nhiều bài toán nhiều mức độ tạo hứng thú cho học sinh. Trong quá trình dạy học
phương pháp tọa độ trong không gian cần phát huy tính sáng tạo của học sinh khá và giỏi
chú ý cần động viên giúp đỡ những học sinh trung bình, yếu bằng nhiều mức độ hệ thống
bài tập.
Về phía học sinh khả năng tính toán còn hạn chế, trình độ của học sinh nhà trường
không đồng đều. Tài liệu tham khảo chưa phù hợp với trình độ học sinh. Các em còn chưa
có khả năng hệ thống, tổng hợp kiến thức.
Chương 2: Những giải pháp đã được áp dụng lần đầu tại đơn vị
Giải pháp 1: Kiến thức cơ bản
1.TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Lý thuyết:



thì

3



thì






thì


Thì trung điểm M của AB là:
Thì trọng tâm của tam giác ABC là:
Thì trọng tâm của tứ diện ABCD (Nếu là tứ diện):



và

thì tích có hướng của hai véc tơ đã cho là

.
B. Bài tập
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1). Thì tam giác
tam giác.

là

A . Tam giác cân
B . Tam giác có ba góc nhọn
C . Tam giác đều
D . Tam giác vuông
HD: Tính ba cạnh sử dụng Định lý Pitago
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1). Diện tích S của tam
giác

là:

A . S=15/2
B . S=15

4

C . S=45/2
D . S=

.

HD: Tính ba cạnh, tam giác vuông
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1). Mặt phẳng (ABC) có
phương trình là
A . (ABC): 7x - 4y + 2z = 0
B . (ABC): 6 x- 4y + 2z = 0
C . (ABC): 5x - 4y + 2z = 0
D . (ABC): 4x - 4y+ 2z = 0
HD: Thay tọa độ điểm A, B chọn phương án C
Bài 4: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1), Chọn mệnh đề đúng trong
các mệnh đề sau
A . Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng.
B . Phương trình mặt phẳng (ABC): x + y + z -1= 0.
C . Phương trình mặt phẳng (ABC): x + y + z +1 = 0.
D . Diện tích tam giác ABC là 6.
HD: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn phương án B
Bài 5: Cho
các mệnh đề sau

Chọn mệnh đề đúng trong

A . Bộ ba vectơ

đồng phẳng.

B . Bộ ba vectơ

không đồng phẳng.

C . Tồn tại hai số thực m, n thỏa mãn
D . Tồn tại hai số thực x, y thỏa mãn
HD: x = 1; y = 2, phương án D
Lưu ý : Từ các bài tự luận ta có thể tạo ra các câu hỏi trắc nghiệm
Bài toán gốc: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' biết
A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A'(0;0;3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

5

b)Tính thể tích hình hộp.
c) Chứng tỏ rằng AC' đi qua trọng tâm của hai tam giác A'BD và B'CD'.
d)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên đoạn A'C.
Bài 6: Tọa độ của điểm C' là: A. C'(1;2;0).

B. C'(1;0;3).

C. C'(1;3;2).

D. C'(1;2;3).

Bài 7: Thể tích V khối hộp ABCD.A'B'C'D' là: A. V= 2.
C. V= 6.

B. V= 3.

D. V=12.

Bài 8: Tọa độ giao điểm của AC' với mặt phẳng (A'BD) là E: A. E(1/2;1;0).
E(1;0;3).
C. E(1/3;3;2).

D.

Bài 9: Tọa độ giao điểm của AC' với mặt phẳng (B'CD') là F: A. F(2;1;0).
F(1;0;3).
C. F(1;3;2).

B.

D.

Bài 10: Thể tích V khối chóp A.A'BD là: A. V= 2.
C. V= 1.

B.

B. V= 3.

D. V=4.

2. MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG
A. Lý thuyết
1. Phương trình mặt phẳng
a. Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A 2+B2+C2≠0
là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó
tuyến của nó.

là một vectơ pháp

b. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ
tuyến có dạng :

làm vectơ pháp

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 .
c. Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và nhận
và
cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :

.
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
a. Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A'x+B'y+C'z+D'=0
 (P) cắt (Q)  A : B : C ≠ A': B': C'

làm

6
 (P) // (Q)

 A : A' = B : B' = C : C' ≠ D : D'

 (P) ≡ (Q)

 A : B : C : D = A': B': C': D'

b. Cho hai mặt phẳng cắt nhau :

(P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A'x + B'y + C'z + D'= 0 .
Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A'x + B'y + C'z + D') = 0
(trong đó m2 + n2 ≠ 0)
3. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công
thức :

4. Góc giữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và
(Q): A'x + B'y + C'z + D'= 0.

Ta có :


(00≤φ≤900)
 hai mặt phẳng vuông góc nhau.

 Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox,
không có biến y thì song song Oy, không có biến z thì song song Oz.
5. Phương trình đường thẳng:

a . Phương trình tham số của đường thẳng :

7

Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và

là vectơ chỉ phương

của đường thẳng.

b . Phương trình chính tắc của đường thẳng :
Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và

là vectơ chỉ phương

của đường thẳng.
6. Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
a . Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Cho hai đ.thẳng () đi qua M có VTCP


() chéo (') 



() cắt (')





() // (')





() ≡ (')



và (') đi qua M' có VTCP

.

với

Lưu ý: - Khi hai véc tơ chỉ phương không cùng phương ta thường xét hệ phương trình để
tìm giao điểm, nếu có một nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau, nếu hệ vô
nghiệm thì hai đường thẳng chéo nhau.
- Khi hai véc tơ chỉ phương cùng phương ta lấy một điểm trên đường này thay vào
đường kia nếu thỏa mãn thì hai đường thẳng trùng nhau, nếu không thỏa mãn thì hai
đường thẳng song song.
b . Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng () đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP
(α): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT


() cắt (α)



.

và mặt phẳng

8



() // (α)





() nằm trên mp(α)





() cắt mp(α) tại một điểm
trình.

, việc tìm giao điểm ta giải hệ phương

7. Khoảng cách:
a . Khoảng cách từ M đến đường thẳng (), () đi qua M0 có VTCP

.

b . Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

, (') đi qua M'(x'0;y'0;z'0) có VTCP

8. Góc :
a . Góc giữa hai đường thẳng:
() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP
(') đi qua M'(x'0;y'0;z'0) có VTCP

b . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
() đi qua M0 có VTCP
Gọi φ là góc hợp bởi () và mp(α)

, mp(α) có VTPT

.

9

B . Bài tập
Bài toán gốc: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1),
và D (-1; 1; 2 ).
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
d. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC).
Bài 11: Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
A . (ABC): 2x + 3y - 6z + 1 = 0
B . (ABC): 2x - 3y + 6z = 0
C . (ABC): 2x - 3y + 6z - 1 = 0
D . (ABC): 2x + 3y - 6z + 2 = 0
HD: Thay tọa độ của B, C, A thấy phương án B đúng
Bài 12: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A . Mặt phẳng (ABC) chứa điểm D
B . Mặt phẳng (ABC) đi qua gốc tọa độ
C . Mặt phẳng (ABC) song song với trục Oy
D . Mặt phẳng (ABC) song song với trục Oz
HD: Viết PT MP (ABC): 2x - 3y + 6z = 0 nên chọ phương án B
Bài 13: Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là h:
A.h=½

B . h =1

C . h = 1/7

D . h =2

HD: Viết PT MP (ABC): 2x - 3y + 6z = 0, tính khoảng cách nên chọn phương án B
Bài 14: Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC)
là:
A . (ABC): 2x + 3y - 6z + 1 = 0
B . (ABC): 2x - 3y + 6z - 7 = 0
C . (ABC): 2x - 3y + 6z - 1 = 0
D . (ABC): 2x + 3y - 6z + 2 = 0
HD: Viết PT MP (ABC): 2x - 3y + 6z = 0, nên thay tọa độ D vào phương án B, C loại C

10

Bài 15: Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AC:
A . (Q): -3x + 4y + 3z +15 =0
B . (Q): -3x + 4y - 3z - 6 =0
C . (Q): 3x - 4y - 3z - 6 =0
D . (Q): -3x - 4y + 3z +5 =0
HD: Véc tơ
là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) nên thử tiếp phương
án A hoặc C, chọn phương án C
Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và song song với CD:
A . (Q): 6x + 4y + 3z +15 =0
B . (Q): 6x - 2y - 3z - 6 =0
C . (Q): 3x - y + 2z - 7 =0
D . (Q): 3x - 4y + 3z +5 =0
HD: Thay tọa độ B vào (Q) chỉ phương án C thỏa mãn, chọn phương án C
Nhằm tăng kỹ năng, tốc độ tính toán cần thường xuyên cho học sinh làm cả tự
luận và trắc nghiệm

Bài 17: Cho hai đường thẳng:
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng () và (') không cắt nhau nhưng vuông
góc nhau.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ()và (').
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua () và vuông góc với (').
d. Viết phương trình đường vuông góc chung của ()và (').
Bài 18: Trong không gian Oxyz cho A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3).
a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB.
b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng
AB.
c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường
thẳng CD xuống mặt phẳng (P).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 19: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).

11

a) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng
(ABC).
d) Tìm tọa độ điểm D' đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
e) Tìm tọa độ điểm C' đối xứng C qua đường thẳng AB.
Bài 20: Trong không gian Oxyz cho A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường thẳng

():

.

a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C. Chứng minh rằng (α) và ()
vuông góc nhau, tìm tọa độ giao điểm H của chúng.
b) Chuyển phương trình của () về dạng tổng quát. Tính khoảng cách từ M(4;-1;1)
đến ().
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với (), biết (d) và () cắt
nhau.
3.MẶT CẦU
A. Lý thuyết
1 . Phương trình mặt cầu:
Phương trình mặt cầu dạng chuẩn tâm I(a;b;c) bán kính R là:
101\* MERGEFORMAT (.)
Phương trình mặt cầu thường gặp
202\* MERGEFORMAT
(.)
với

là phương trình mặt cầu tâm I(-a;-b;-c), bán kính
.

2 Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) :
(P): Ax+By+Cz+D=0.

tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng

 Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.

12

 Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.
 Nếu d(I,(P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là
đường tròn có phương trình :

 Bán kính đường tròn

.

 Tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).
B . Bài tập
Bài 21: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0. Xác
định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
A.
B.
C.
D.
Bài 22: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0. Tìm k
để mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu(S).
A.
B.
C.
D.
Bài 23: Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;2), B, C, D lần lượt là hình chiếu của A lên ba
mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx). Xác định tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD.
A.
B.
C.
D.

13

HD: Tâm là trung điểm của OA, R= OA/2.
Bài 24: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 9 = 0 và mặt cầu (S): x 2
+ y2  + z2 + 2x + 4y – 2z + 19 = 0. Chọn mệnh đề đúng
A.
B.
C.

là đường tròn có bán kính R = 5

D.

là đường tròn có bán kính R = 3

Làm các bài tập tự luận sau:
Bài 1: Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
b) Gọi A' là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. hãy viết phương
trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A', B, C, D.
c) Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A'.
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc OC tại C. Chứng minh O, B,
C thẳng hàng. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính 
 với mặt phẳng(P).
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB lên mặt phẳng(P).
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – 1 = 0. mp(P) cắt các trục tọa độ tại
A, B, C.
a) Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt tọa độ.
Tìm tọa độ giao điểm D của (d):
diện ABCD.

với mp(Oxy). Tính thể tích tứ

b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD. Lập phương trình đường tròn
ngoại tiếp ACD. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
(TN THPT 2001-2002)
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi :
.
a) Chứng minh ABAC, ACAD, ADAB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

14

b) Viết phương trình tham số của đường (d) vuông góc chung của hai đường thẳng
AB và CD. Tính góc giữa (d) và mặt phẳng (ABD).
c) Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp
diện (α ) của (S) song song với mặt phẳng (ABD).
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng
(P): x + y + z – 2 = 0.
a) Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P).
b) Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC
c) Cho D(0;3;0).Chứng tỏ rằng DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách
giữa đường thẳng DC và mặt phẳng (P).
Giải pháp 2: Rèn luyện kỹ năng, tốc độ tính toán
1. TRẮC NGHIỆM TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÓ ĐÁP ÁN
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu `
. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
A.

và

.

B.

và

.

C.

và

D.

và

.
.

Hướng dẫn:
Thường học sinh chọn phương án A, B do chưa nắm chắc phương trình dạng tổng quát
của mặt cầu, giáo viên cần viết lại và nhấn mạnh tọa độ của tâm, bán kính.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
A.

và

B.

và

C.

và

D.

và

.

.
.
.
.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
A.

và

.

B.

và `

.

.

15

C.

và `

D. `
và `
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu `
. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
A.

và

.

B.

và

.

C.

và

D.
và
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu `
. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
A.

và

.

B.

và

.

C.

và

D.
và
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu `
. Tìm tọa độ tâm I của (S), biết rằng (S) cắt mặt
phẳng

theo một đường tròn có bán kính R=3.

A.

.

B.

.

C.
D.
2. TRẮC NGHIỆM TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KHÔNG CÓ ĐÁP ÁN
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(0; –1;
3), C(1; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C và vuông góc với AB.
A. x + y – 3z + 1 = 0

B. x + y – 3z – 1 = 0C. x + y + 3z – 5 = 0D. x – y + 3z

–1=0
Câu 2. Cho hai điểm A(1; –1; 2), B(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 5 = 0. Tìm
tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
A. (–2; –6; 8)

B. (–1; –3; 4)

C. (3; 1; 0)

D. (0; 2; –1)

16

Câu 3. Cho điểm A(–2; 2; –1) và đường thẳng d:

. Viết phương trình mặt

phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d.
A. y + z – 6 = 0

B. x + y + 6 = 0

C. y + z – 1 = 0

D. y + z – 2 = 0

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x –
y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là
A. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 4

B. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 9

C. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 3

D. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 5

Câu 5. Cho hai điểm A(1; –1; 5) và B(0; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,
B và song song với trục Oy.
A. 4x + y – z + 1 = 0

B. 2x + z – 5 = 0

C. 4x – z + 1 = 0

D. y + 4z – 1

=0
Câu 6. Trong mặt phẳng Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(1; 3; 2),
D(–2; 3; –1). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là
A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0
và (Q): x + y + z – 1 = 0. Phương trình đường giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
A. (d):

B. (d):

C. (d):

D. (d):

Câu 8. Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 6 = 0 và điểm A(2; –1; 0). Tìm tọa độ hình
chiếu của A lên mặt phẳng (P).
A. (1; –1; 1)

B. (–1; 1; –1)

Câu 9. Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng (d):

C. (3; –2; 1)

D. (5; –3; 1)

. Tìm tọa độ hình chiếu

vuông góc của A lên đường thẳng (d).
A. (2; –3; –1)

B. (2; 3; 1)

C. (2; –3; 1)

D. (–2; 3; 1)

17

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; –4; 0), B(0; 2; 4), C(4;
2; 1). Tọa độ điểm D trên trục Ox, sao cho AD = BC.
A. D(0; 0; 0), D(6; 0; 0)

B. D(–2; –4; 0), D(8; –4; 0)

C. D(3; 0; 0), D(0; 0; 3)

D. D(–2; 0; 0), D(8; 0; 0)

Câu 11. Cho điểm A(1; 0; 1), B(0; 2; 3) và C(0; 0; 2). Độ dài đường cao hạ từ C của tam
giác ABC là
A. 2

B. 3

C. 1/2

D. 1

Câu 12. Cho bốn điểm A(2; 3; –4), B(1; 2; 3), C(–2; 1; 2), D(–1; 2; 3). Viết phương trình
mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
A. (x – 2)² + (y – 3)² + (z + 4)² = 16

B. (x – 2)² + (y – 3)² + (z + 4)² =

C. (x + 2)² + (y + 3)² + (z – 4)² = 16

D. (x + 2)² + (y + 3)² + (z – 4)² =

32
32
Câu 13. Cho đường thẳng (d):

và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0. Viết

phương trình đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với
(d).
A.

B.

C.

D.

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –1; 1) và mặt phẳng (P): 2x
– y + 2z + 2 = 0. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng (P).
A. B(–2; 0; –4)

B. B(–1; 3; –2)

C. B(–2; 1; –3)

D. B(–1; –2; 3)

Phần III. KẾT LUẬN
1. Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập đến của Sáng kiến
Sáng kiến đã đề cập các giải pháp, kĩ năng chính nhằm rèn luyện tư duy cho học
sinh, qua đó giúp giáo viên cũng như học sinh nắm kiến thức Bài toán trắc nghiệm
phương pháp tọa độ trong không gian có tính hệ thống hơn cả về lý thuyết và bài tập.

18

Trong mỗi giải pháp đều có hệ thống bài tập nhiều mức độ có hướng dẫn để minh họa làm
sáng tỏ giải pháp đã đưa ra.
2. Hiệu quả thiết thực của Sáng kiến nếu được triển khai, áp dụng trong đơn vị,
ngành, tỉnh
Sáng kiến đã góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán học ở Trường
THPT Lương Tài số 2. Sáng kiến đã góp phần nâng cao chất lượng giờ dạy, tăng tỉ lệ học
sinh vào học tại các trường ĐHCĐ; nâng cao kết quả thi TN THPT của Trường trong
những năm qua. Sáng kiến đã giúp cho giáo viên, học sinh có hệ thống bài tập minh họa
đa dạng, nhiều mức độ, giúp cho học sinh cách lựa chọn phương pháp giải phù hợp cho
Bài toán trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian.
3. Kiến nghị với các cấp quản lý
- Tăng cường kiểm tra đánh giá giáo viên hàng năm, tiếp tục giao cho các trường
THPT viết các chuyên đề toán.
- Tăng cường trao đổi học tập kinh nghiệm giữa các trường THPT trong tỉnh.

Phần IV. PHỤ LỤC
Tài liệu tham khảo
1. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên) Sách giáo khoa Toán học 12. Nhà
Xuất bản Giáo dục Việt Nam.
2. Đề thi thử do Bộ GDĐT công bố 02 đợt.

19

3. Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Nguyễn Khắc Minh.
Trắc nghiệm Toán 12 (11/2016) Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam.
4. Tạp chí Toán Học Và Tuổi Trẻ (Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam).